Диссертация (Топологический анализ неклассических интегрируемых задач динамики твердого тела)

Московский физико-технический институт(государственный университет)На правах рукописиРябов Павел ЕвгеньевичТопологический анализ неклассическихинтегрируемых задач динамики твердого тела01.02.01 – Теоретическая механикаДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степенидоктора физико-математических наукНаучный консультантд. ф.-м.

н.Борисов Алексей ВладимировичМосква – 2016ОглавлениеВведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 1.4Топологический анализгиростата Ковалевской – Яхья . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.1. Аналитические результаты . . . .

. . . . . . . . . . . . .211.2. Критическое множество отображения момента . . . . . .331.3. Относительные равновесия – критические точки ранга 0 .401.4. Классификация критических точек ранга 1 . . . . . . . .721.5. Топология приведенных систем . . . . . . . . . . . . . . .1471.6. Топологические инварианты . . .

. . . . . . . . . . . . .1641.7. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185Глава 2.Топологический анализ волчка Ковалевской в двойномполе сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1862.1. Уравнения и интегралы. Понятие критической подсистемы 1902.2. Описание критических подсистем и классов особенностей1932.3. Классификация критических точек по типам .

. . . . . .2072.4. Изоэнергетический атлас . . . . . . . . . . . . . . . . . .217Глава 3.Топологический анализ одного частного случая интегри-руемости Д. Н. Горячева в динамике твердого тела . . . . . . . 2333.1. Введение . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .2333.2. Параметризация интегральных многообразий. . . . . .2343.3. Вещественное разделение переменных . . . . . . . . . . .2383.4. Допустимая область и бифуркационная диаграмма . . . .2423.5. Фазовая топология . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .2483.6. Аналитическая классификация особенностей и грубый инвариант А. Т. Фоменко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2253Глава 4.Фазовая топология одной неприводимой интегрируемойзадачи динамики твердого тела . . . . . . . . . . . .

. . . . . . 2634.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2644.2. Как можно получить уравнения поверхностей Πℒ ? . . . .2714.3. Новые инвариантные соотношения при отсутствии линейного потенциала и наличии гироскопических сил . . . . .2744.4. Первая система – обобщение интегрируемого случая Богоявленского в динамике твердого тела .

. . . . . . . . . . .2814.5. Вторая система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2884.6. Третья и четвертая системы . . . . . . . . . . . . . . . . .2934.7. Атлас бифуркационных диаграмм и пример сетевой диаграммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3004.8. Заключение . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302Глава 5.Фазовая топологияволчка Ковалевской –Соколова. . . . . . . . . . . . . . . . . 3085.1. Исходные соотношения и постановка задачи . . . . . . .3085.2. Множество относительных равновесий . . . . . . . . . . .3135.3. Диаграммы Смейла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.3165.4. Показатели Морса и изоэнергетические многообразия . .3225.5. Типы и устойчивость относительных равновесий . . . . .3305.6. Разделение переменных и дискриминантные поверхности 3345.7. Критическое множество и типы критических точек . . .3385.8. Примеры изоэнергетических диаграмм и грубая топология 347Заключение. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3563ВведениеАктуальность темы исследования.Современные аналитические и качественные методы исследованиянелинейных дифференциальных уравнений берут свое начало в работах А. Пуанкаре [1], [2], в которых Пуанкаре развил геометрическуютеорию решений дифференциальных уравнений.

Пуанкаре ввел понятия гомоклинических и гетероклинических орбит, связывающих неподвижные точки между собой, и показал, что возмущение этих орбит является причиной сложного поведения решения. В своем трехтомномтрактате “Новые методы небесной механики” [1] А. Пуанкаре на примере ограниченной задачи трех тел обнаружил наличие гомоклиническойструктуры траекторий и указал препятствия к существованию аналитических интегралов для широкого класса динамических систем. Многие аспекты исследования Пуанкаре опередили свое время на несколько десятилетий. На самом деле, изучение сложного движения Пуанкареосновано на совершенно новом подходе: качественном анализе поведения решений.

Он предложил изучать топологические свойства решенийв фазовом пространстве совместно с аналитическими свойствами решений уравнений.Дальнейшее развитие методы теории устойчивости и качественного анализа дифференциальных уравнений получили в работах Д. Биркгофа [3], А.А. Андронова [4], Н.Г. Четаева [5] и других ученых [6], [7],[8]. На базе идей Ляпунова [9] и Пуанкаре [1] были разработаны эффективные аналитические методы исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений, к которым относятся метод нормальныхформ [10], [11], [12], метод малого параметра [13], [14], асимптотические методы [14], [15], [16].Для классической и небесной механики особый интерес представ4ляют гамильтоновы системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Существенный прогресс в качественном анализе поведения гамильтоновых систем был достигнут во второй половине двадцатого векапосле опубликования фундаментальных результатов А.Н. Колмогорова[17], В.И. Арнольда [18], [19], Ю. Мозера [20], впоследствии получивших название КАМ теории.

На основании КАМ теории были полученыважные выводы об устойчивости и общем характере движения близкихк интегрируемым гамильтоновых систем.Важное влияние на развитие аналитической динамики твердого тела и качественной теории динамических систем оказали работы В.В. Козлова, объединенные в монографию "Методы качественного анализа в динамике твердого тела" [21].

В частности, В.В. Козловым доказано несуществование аналитических интегралов уравнений Эйлера–Пуассона, атакже указаны динамические эффекты, препятствующие интегрируемости этих уравнений – расщепление сепаратрис, рождение большогочисла невырожденных периодических решений. Эти результаты далисильный толчок исследованиям по проблеме точной интегрируемостиуравнений движения. Результаты таких исследований систематизированы в монографиях В.В. Козлова "Симметрии, топология и резонансыв гамильтоновой механике" [22] и А.В.Борисова, И.С.Мамаева "Современные методы теории интегрируемых систем" [23]. В [23] интегрируемость многомерных аналогов классических интегрируемых задач динамики твердого тела как правило устанавливается при помощи пред˙ставления Лакса со спектральным параметром ()= [(), ()].

Инварианты матрицы () являются первыми интегралами системы.Современному состоянию топологического анализа динамическихсистем мы обязаны работе С. Смейла (1972 г.) [24], в которой намеченапрограмма топологического исследования классических механическихсистем и указаны пути ее реализации в натуральных системах с сим5метрией. В качестве примера он рассматривал задачи небесной механики. Впоследствии, благодаря работам прежде всего российских ученых В.В. Козлова, Я.В. Татаринова, М.П. Харламова, А.Т. Фоменко,А.В.

Болсинова, А.В. Борисова, И.C. Мамаева, А.А. Ошемкова и других исследованы бифуркации нелинейных по скоростям дополнительных интегралов и соответствующих интегральных многообразий,не укладывающиеся в схему Смейла.Результаты, полученные в XX в., нашли отражение в монографиях [21] (методы качественного анализа в динамике твердого тела), [25](фазовая топология классических интегрируемых задач) и [26] (теориятопологических инвариантов, описание лиувиллевых инвариантов приводимых систем и др.).

Главные достижения относились к задачам динамики твердого тела, в которых существует одномерная группа преобразований конфигурационного пространства (3), касательные преобразования к которым сохраняют кинетическую энергию и момент внешних сил как функции на шестимерном фазовом пространстве R3 ×(3),в силу чего возможна редукция системы к гамильтоновой системе с четырехмерным фазовым пространством 2 . После этого изоэнергетический уровень оказывается трехмерным многообразием, на котором одиноставшийся интеграл задает слоение Лиувилля на двумерные торы. Всебазовые бифуркации в таком слоении были найдены М.П.

Харламовымв его исследованиях [25] классических случаев Эйлера, Жуковского, Горячева-Чаплыгина, Сретенского, Ковалевской, Клебша. Случай Ковалевской, формально проинтегрированный еще в конце XIXв., получилполное решение лишь в наше время в работах В.В. Козлова (1980),М.П.Харламова (1983-1988), А.Т.Фоменко, А.В.Болсинова, П.Рихтера(2000) [27].В течение этих лет был открыт и ряд математических обобщений вдинамике твердого тела, среди которых физический смысл имеют обоб6щения И.В.Комарова [28], [29], Х.М.Яхья [30] на задачу о движении гиростата, случай В.В.Соколова [31] для задачи о движении тела в жидкости и случай Борисова-Мамаева-Соколова [32], описывающий движениетвердого тела с полостями, заполненными вихревой несжимаемой жидкостью.

Все эти задачи также приводятся к системам с двумя степенямисвободы. В то же время имеется ряд интегрируемых систем с тремя степенями свободы, не укладывающихся в имеющиеся схемы исследования и принципиально не сводимых к системам с двумя степенями свободы (О.И.Богоявленский, В.В.Соколов, А.Г.Рейман и М.А.Семенов-ТянШанский, А.И.Бобенко, А.В. Борисов и И.С.

Мамаев [33]). Среди нихв рамках теоретической механики центральное место занимает задачао движении тяжелого магнита в гравитационном и магнитном полях,сформулированная О.И.Богоявленским (1984) [34] при изучении уравнений Эйлера на алгебрах Ли. В 1987 г. А.Г.Рейман и М.А.Семенов-ТянШанский [35] указали в этой задаче третий интеграл, находящийся винволюции с .