Пелевина А.Ф., Зорина И.Г. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия (2002), страница 7

Подставив найденное значение $ = -2 в параметрические уравнения прямой, найдем точку Р1(-8; -5;-4) пересечения прямой и плоскости. Пример 2.16. Найти проекцию точки Р(-1;3;2) наплоскость 2х + 4у — Зз + 45 = О. Решение. Проекцией точки на плоскость является основание перпендикуляра, опущенного нз точки Р на плоскость. Составим канонические уравнения примой, перпендикулярной плоскости (з = гз = (2;4;-5)) и проходящей через точку х-, '1 у.-З з — 2 Р(-1; 3> 2): — = — = —, Проекцией точки Р на плас- 2 4 -5 кость является точка пересечения прямой и плоскости.

Записав параметрические уравнения прямой, решим систему уравнений в=21 — 1 /2 1+8 (-2)+ 1 2/ 8 Л~ ~ 6$ + Р /~~(-2)~ + 2~ ВЛ~ Пример 2.18. Составить уравнение плоскости, проходя. х — 3 у+1 « — 2 щей через точку Рз(5;2; -2) и прямую — = — „ 5 "2 -3 Решение. Направляющий вектор прямой е = (5;2; — 3) и точка Рз(3;-1;2) принадлежат искомой плоскости. Возьмем на плоскости переменную точку Р(х; у', «).

Тогда векторы 1зР = (х — Зу+ 1;« — 2), з = (5(2;-3) н РзР1 = (23;-4) принадлежат плоскости (рис. 18). Записав условие компланарностн этих векторов: х — 3 у+1 « — 2 5 2 -3 = 0 =Ф (х — 3)+14(у+1)+11(« — 2) =О, найдем общее уравнение плоскости: х + 14у+ 11« — 11 = О. Найдем уравнение плоскости: Зх — у + 2«+ 9+ 2(х + « — 2) = = О =Ф 5х — у+ 4«+ 5 = О, Пример 2.20. Составить уравнение плоскости, праха- х+3 у — 1 « — 2 дящей через параллельные прямые — = — = — к 2 0 5 х+5 у — 2 « 2 0 5 Решение, Направляющий вектор прямых в = (2; О; 5) и точки Р1(-3;1; 2), Рз(-5; 2; О) принадлежат плоскости. Возьмем иа плоскости переменную точку Р(х; у; «'), Тогда векторы Р1Р = = (х+3;у-1; «-2),в = (2;0;5)и Р1Рз = (-2;1-2)принадлежат плоскости (рис, 19), Запксав условие компланарности этих век- +3 у — 1 « — 2 = 0 =~ 5(х+3)+6(у-1)-2(«-2) = торов: 2 0 5 = О, на дем общее уравненке плоскости 5х + бу — 2«+ 13 = О.

Пример 2.21. Составить уравнение плоскости, проходя- х — 2 у — 5 «+4 щей через прямую — = — = — перпендикулярно к 4 1 -7 плоскости Зх+ 2у — 5« — 3 = О. Решение, Направляющий вектор прямой з = (4;1; — 7), точка Рз(2;5; -4) и нектар нормали к заданной плоскости .в = = (3; 2; -5) принадлежат искомой плоскости, Возьмем нв плоскости переменную тачку Р(х; у;«), Векторы 7~Р = (х — 2;у- -5;«+ 4), в и «з принадлежат плоскости (рис.20), Записав Рис.

1в Пример 2.10. Составить уравнение плоскости, проходя- ( Зх - у+ 2«+ 9 = О щей через точку Рз(1;-2;-3) н прямую ~ 1,х+« †2, Решение. Составим 'уравнение пучка плоскостей (2.30), проходящих через данную прямую; Зх-у+2«+9+Л(х+«-2) = О. Так как плоскость проходит через точку Р~(1;-2; -3), подстэ; внм координаты точки в уравнение пучка плоскостей; 3 ° 1— -( — 2) + 2 (-3) + 9+ Л(1 — 3 — 2) = 0 =~ 8 — 4Л = О =~' Л = 2. Рве, Зе Рис. 19 53 ие компланарпости зткх векторов х — 2 у — 5 «+4 1 4 7 = О => 9(х — 2) — (у — 5)+ 5(«+4) = О, -б найдем общее уравнение плоскости 9х — + б х-ут «+7=0, ер .

2, Найти координаты точки с кочкой Р1(-1'2 1) точки, симметричной с ) относительно плоскос + 3 Решение. Точка Р с ости х у — «-2" = ос — 6=0. относительно плоскост а з1 симметричная с точкой Р '- °; з(-1;2;1) оскости, лежит на прямой, пе пен плоскости и проходящей че ящеи через точку Р1 (рис, 21), Составим 1Йис. 2Й Р (е ЙЙ -(1,3, Ц), Записан параметрические уравнения пеРесечения прямой и плоскости , ре- канонические уравнения х+1 у — 2 « — 1 1 3 -1 ирямй1й, найдем точку Р шив систему х=1 — 1 у=31+2 «= -1+1 х+Зу — « — 26 = О 1 ) — ( — + ) — 26 = О =~ 111 — 22 = О =) 1 = 2 и тогда 1 — 1+ 3(31+ 2) — — 1 1 Р(1;8; — 1). Точка Р(1 8 — 1) Р(;; — . ' (;; — ) является серединой отрезк Р Р, зка 54 2+уз '+" следовательно, 1 = —, 8 = —, -1 = — =~ хз = 3, 2 ' 2 ' 2 уз = 14, «з = -3, тогда искомал точка Рз(3; 14; -3).

Пример 2.23. Вычислить расстояние между параллельными прямыми у+ — — — ив 7 1 3 -7 ! х+5 у+1 « 5) .5(„. 1) 5«=ОФ а+у-«+6 — а 2 1 3 Найдем расстояние от точки Рз(6;0;5), принадлежашей ~6- 5+6~ 7 ЙЙ Й Й,Й ~~ *'Й ~хЙ 1+1+1 3 . Решение. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р~ (-3; О, '4), принадлежащую первой ~рамой н перпендикулярной заданным прямым (ж = а = (3; -7;1)): З(х+ 3)— -7у+ « — 4 = 0 =~ Зх — 7у+ «+ 5 = О, Записав параметрические уравнения второй прямой, найдем точку Р пересечения второй я=31 у=-71-8 прямой и плоскости «=$ — 2 Зх — 7у+ «+ 5 = О. Подставим х, у, «в уравнение плоскости 3 ° 3$ — 7(-71— -8)+ Й вЂ” 2+ 5 = О =~ 591+ 59 = О =) 1 = - 1.

Подставляя найденное значение $ = -1 в параметрические уравнения прямой, находим точку Р(-3;-1,-3), Найдем вектор РР = (О;1;7 и расстоянке межд параллельными прямыми, РР1 = 1+ 49 ~ =э ГРР1 ~ = бзй, Пример 2.24. Найти кратчайгпее.расстояние между пря- х+5 у+1 « .х-6 у х-5 .мыми — = — = — и — = — — —, 3 4 2 1 3 ' Решение. Данные.прямые ие параллельны, поэтому, записав условие компланарности трех векторов Рз Р = (х+5; у+1; «), е1 = (1; 3',4) и яз = (2; 1; 3), составим уравнение плоскости, прокодящей через первую прямую параллельно второй прямой: Контрольное заданно 8 2.32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точи Р(- — ) у (-2; 1; -3) параллельно прямым — =— х+1 у — 2 «+2 х =1+3 3 1 2 и у=21 — 1 «=2, 2.33, Составить уравнение плоскости, проходящей через х = 31 — 1 точку С(3,'1;-2) и прямую у= -21+ 3 2.34, Найти координаты проекции точки Р(-Зр 3; 4) на прях †у+2 « — 8 мую 2 -2 3 2.35.

П раверить, пересекаются ли прямые— и+1 у — 1 «+2 я+3 у+ 1, «+4 — и — = — = †,и составить уравнение плоскости, проходящей через иих. 2.36. Составить уравнение плоскости, проходящей через две пардллельные прямые — = — = — н — = у+2 « — 7 -4 3 -2 -4 3 -2 2,37. Составить уравнение плоскости, проходящей через х — 2 у+4 «+1 прямую — = — = — перпендикулярно к плоскости 1 8 1 х - Зу — «+ 2 = О. 2.38. Найти расстояние между параллельными прямыми х+ 1 зу+1 « — 1 х+2 у — 7 ««+ 1 -1 б 3 -1 б 3 2.39. Составкть урашсение перпендикуляра, опущенного из точки А(2; -1;5) па прямую — = — = —, х — 3 у+1 «-3 6 -2 1 ба Задачи для самостоятельной работы 8 2АО.

Составить уравнение плоскости, проходящей чех — 3 у+1 « — 2 з прямую — — — = — параллельно прямои 3 -3 -1 з у х = -1+1 у=21+2 «=21+3 2,41, Найти координаты точки, симметричной с точкой х-7 у — 1 « Рз(2; -1;3) относительно прямой — ' 2.42. Составить уравнение плоскости, проходящей через (х+у-«+1=0 то ку А(2; 3;1) н прямую 2АЗ. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую — = — = — перпендикулярно плоскости х — 1 у+3 «+2 4 х — + — +-=1 3 2 1 х-2 у — 3 2,44.

Найти синус угла между прямой— = — н плоскостью 2х+ бу — 7«+ 3 = О. «+5 3 2Аб, Найти кратчайшее расстояние между двумя прямыми х-2 у «+1 х-1 у — 2 « — 8 3 О 2 4 -1 1 2АО, Составить уравнение перпендикуляра, опущенного нз х+1 у — 1 «+2 начала координаг на прямуза — = — = —, 2 3 1 Глава 3, ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Задача 1, В параллелепипеде АВСБА1В1С1Р1 Ал = о, А11 = Ь, АА = с, Выразить через а, Ь, с вектор о, конец которого явлкется серединой ребра х, Задача 2. Разложить вектор а по векторам и, д, т. Задача 3, Найти косинус угла между векторами а и Ь, Задача 4. Найти пр„а.

Задача б. Найти координаты единичного вектора ззе, перпендикулярного к плоскости ЬАВС, построенного на векторах АВ и АС. Задача б. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах а и Ь. Задача 7. Компланарны ли векторы а, Ь, с? Задача 8. Вычислить объем пирамиды с вершипамн в точках Аы Аз, Аз, А4, ее высоту, опущенную из вершины Ае на грань (А!АзАз), площадь грани (АзАзАз) Задача О. Найти косинус острого угла между плоскостями аи 6, Задача 10. Задана пирамида ЯАВС координатами вершин: а) составить уравнение плоскости сзАВС; б) найти расстояние от вершины до плоскости сзАВС.

Задача 11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Ме перпендикулярно плоскостям у! и уз. Задача 12. Составить уравнения сторон ЬАзВ~Сз, западного координвтамн вершин, Задача 13. Привести к каноническому виду общие уравнения прямой ?, Задача 14. Найти проекцию точки Мс на плоскость а, Задача 16. НИти угол между прямой! и плоскостью !3. Нйже в таблице приведены условия задач 1-1б типового расчета по вариантам. Таблица Условна ткпового расчета Задача 1 Зайача 2 Задача 3 Номер вари- адгта (т„п) )т( (П( (б;12;-Ц (О;-1;2) ВС АЕ (-3;12;15) (-1;г;Ц Рд Сд ВЕ (1;О;-Ц (о;з;-5) РдАд (3;-3;4) (2;-1;4) Р С (1;1;-Ц (-1;7;-4) АдРд гт — и, т+п (б;-1;7) (1;0;4) АдВд 4т+ тд РЕ (2;-1;И) (1;о;3) Ад Вд В,С, (8;О;5) (4;1;2) АдЕ (8;1;12) (-1;1;Ц АдЕ (-5;9;-13) 10 5тю — тд (1;З;О) (2;-1;Ц (4;1;Ц (2;0;-3) (Зр110) (г;-1;з) (1;О;2) (О;1;Ц (-1;2;Ц (2;О;3) (1;-2;О) (-111;3) (1;1;0) (О;1;-2) (2;0;Ц (1;1;0) (1;2;-Ц (3;0;2) (О;1;-2) (3;-1;Ц 2тп + 2п тп — 2та бдта — Зтд Зт+ 2тд зи7.