Пелевина А.Ф., Зорина И.Г. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия (2002), страница 6

так как Р1(хг,у1,«1) и Рг(хг;уг,«2) — точки, принадлежащие прямым, расстояние между скрешиваюшимпся прямыми вычисляем по формуле >т' = ~прй РЩ~ =т И = 1й ° Р1.7Я (2.23) Решение типовых задач в= 31+2 у=51 — 3 « = -21+ 4. Пример 2,6. Составить канонические н параметрические уравнения прямой, проходящей через точку Р1(2; -3;4) парамх у-1 «+3 лельно прямой — = — = —.

3 5 -2 Решение, Так как направляющяй вектор в = (3; 5;-2) данной прямой является направляюшим вектором искомой прямой, используя формулы (2,12)> составим канонические уравнения' х-2 у+3 «-4 искомой прямой: — = — = —. 3 5 — 2 ' Приравнивая эти выражения параметру 1, запишем параметрические уравнения (2,13): » 7' 7» 1 0 О 5 2 7 = (5; 2, 7). Находим в» = » х в = =ь в1 = О» — 7у+ 29, Составим канонические уравнения (2.12) прямой, проходя- в у — 2 х+5 щей через точку Р» (О; 2; -5): — = — = —, 0 -7 2 4 Пример 2.11. Составкть канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки Р»(4; 3,-1) и Рз(2; -3;6).

в-4 Реи>смие, Используя формулы (2,14), запишем.' 2 — 4 у — 3 «+1 = — .= —, и канонические уравнения прямой имеют — 3 — 3 6+1' х — 4 у-З х+1. вип — = — = —. .-2 -6 7 Пример 2.0. Составить канонические и общие уравнения прямой, проходящей через точку А(3; -5; 1) параллельно оси Ох. Решение. Направляющий вектор прямой в равен орту й осн Ох; в = й = (О; 0; 1), тогда канонические уравнения прямой х-3 у+5 х-1 имеют вид — = — = —, Запишем два уравнения, 0 0 1 1 (х — 3) = О (х — 1) Тогда общие уравнения прямой имеют 1 (у+5) = 0 (х — 1), и — 3=0 внд у+5=0.

Пример 2.10, Н плоскости уО« найти прямую, прохо- дящую через точку Р»(0;2;-5) и перпендикулярную прямой «+2 у-1 «+9 5 2 7 Решение. Так как прямая принадлежит плоскости уО«, то направлюощий вектор прямой в> Л. » = (1; 0; О) и в» 1 в = (4-1, 0 -4). Составим канонические уравнения находим точку Р»(-, , '— ). о „в+1 у хх+4 прямой — = — = —, Пример 2.13, Найти косинус угла между прямыми в — 5 у+ 2 (5в+Зу — х — 7=0 2 1 3 ( 2в + у - 2« + 1 = О, Р е, Зепи>пем направляющий векторе» вЂ” (;; ) = (2 1;3)перешенее, а й к плоскостям »»» = вой прямой, Запишем векторы нормале к пл 7» — — 4(2 1 -2) и найдем направляющий вектор (,, ) второй прямой: вз = »»» х»»з = 5 3 ч~ вз = -5»+81'-7».

Пример 2.12. Привести к каноническому виду общие уравнения прямой 3«+ 2у — х — 1= 0 х — 4у+ 2«+ 9 = О, Решение. Запишем векторы нормалей к данным плоскостям, »»» = (3>2;-1), пз = (1;-4;2). Находим направляющий » у й вектор прямой'. в = »»> хг»з = 3 2 -1 Ф в= О»-7' — 14Й, 1 -4 2 л. За направляющий вектор вг прямои можно взять вектор> ко лииеарный найденному; в> = (О, "1; 2), Найдем точку, принадле жащую прямой, положив у = О.

Решая систему с Зв †« †х.1 2«+9=0 у=О, 2 1 -2 дем косинус угла между прямы х = -21+4 Запишем параметрические уравнения: 2 ° (-5)+1 ° 8+ 3 (-1) 444 >+4 4»44444> 5 =г соВ>Р— ~ соВу> /Г4. ~90 45 Пример 2.14. Проверить, скрещиваются ли данные прях+3 у « вЂ” 2. х у+1 « — 4 мые — = — = — 'и — = — = — и найти рассто- 4 -3 5 1 0 2 яние между ними, Решение, Нам известны направляющие векторы в1 = (4;-3;5) и вз = (1; 0; 2) данных прямых н точки Р1(-3; О; 2), Рз(0; -1; 4), принадлежащие этим прямым; тогда вектор 4 Р1)зз = (3;-1;2), Проверим выполнение условий (2,22).

— ф 1 3 -1 2 -3 5 Ф вЂ” Ф вЂ” и 4 -3 5 = 1(-5 + 6) + 2(-9 + 4) = -9 14 О, 0 2 следовательно, данные прямые скрещиваются. расстояние между скрещивающимися прямымн равно расстоянию между параллельными плоскостями, проведенными через данные прямые. Вектор нормали ж этих плоскостей перпендикулярен векторам вз н вЗ, следовательно, н '0 (в1 Х вЗ). Нахо- у й днм в1 х вз = 4 -3 5 = -64 — Зу'+ Зй, следовательно, и = 1 0 2 = -24 — у'+ й. Используя формулу (2.33), находим расстояние Ш=~ р РР~~~= ~Ив — ! Р|Р ~ /(-о 3 — 1 ~-1~,'1 ° 2! ~ — З~ 1 '~~=,— ~.~=-Я шу р =Я =2 2,19.

Составить канонические и параметрические уравнения прямых, проходящих через точку А(2, -3; 0), если направляющие вектора прямых образуют с координатными осями Ох н 2 Оу углы а = --, 13 = -т. 2.20, Составить канонические, параметрические и 4' 3 и общие уравнения прямой, проходящей через точки А(5; 7;-3) й В(2; 5; 0). 2,21. Привести к каноническому виду общие уравнения (2х+ Зу+ «+ 7 = 0 2.22.

В плоскости хОу найти прямую, проходящую чех-1 уу+3 рез точку Р(4; -5; О) перпендикулярно прямой— « — 4 -2 2.23. Определить острый угол между прямыми х=-51+3 в+5 у —,4 « — 3 у=1 — 1 и — =— 3 2 б «=М вЂ” 7 2.24. Проверить, пересекаются лн прямые < 2х-у+« — 1ю 0 х — 5 у-7 «+2 у+2« — 3=0 Задачн для самостоятельной работы 7 Контрольное заданно 7 2:17.

Составить канонические и общие уравнения прямой, проходящей через точку Р(2;3; -4) параллельно вектору а = = (-4;0;7). 2ЛЗ, Составить канонические и общие уравнения пря- мой, проходящей через точку Р(6;2,-3) параллельно прямой х = 21+2 у = 31+1 «= -г — 4. 2.25, Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки А(4; -3; 8) и С(6; 2,5). 2.26. Привести к каноническому виду общие уравнения 2х — Зу- «.~ 6 = 0 прямой х — бу — 3« — 2= О. 2.27.

Составить канонические и параметрические уравнеНия прямой, проходящей через точку А(2;-; ) р 2'-1'9) па вллельяо (2х+ 9+1 = О прямой 1 < 2х — у+3« — 8 = О «+у †х+7, у 1 х+1 — и 2 Рис. тт (2.24) (2.25) а4ву = соя~( ) <е ° п1 ~вЩ ' х = 44+1 2,28. Доказать параллельность прямых у = -101 — 2 и х= -61+9 2,29, П роверить, скрещиваются ли прямые— х — 2 3 у = -1 — 3 Найти расстояние между кими. « = 31+2, 2.30. Ло аз Д к ать перпекдикулярность прямых :*3 у+2 х-8 х — 2у+8=0 1 — — и -4 -6 у+ Зх — 11 = О, 2.31, Оп е ели р д ть косинус угла между прямыми «=З ~з-В«+9=Π— -41+ 7 2,3, П ямая и р плоскость в пространстве ,Т мой 1 об Пусть в пространстве аа даны канонические уравнения пря.

мои и общее уравнение плоскости я; — — — = п«п — — — в =(и«,'п;р), я; Ах+ Ву+Сх+.0 = О, и = (А;В',С). Определение 2.2. Углом межд зываетс жду прямой и плоскостью пася меньшии из углов межд и ямо" с, у прямой и ее проекпией ка .. Синус угла между прямой и плос и ° о и плоскостью определяем по фар- В ксюрдинатной форме синус угла между прямой и плоскостью определяем по формуле <~А+ ~В+ рС< (2 26) рррр Ррр~ ярррррс ' Бля определения точки пересечения прямой (2. ой .24 с плоскостью (2,25) решим систему уравнений плоскости и прямой, ааписав параметрические уравнения прямой х = п«$+ х1 у = пя+ у1 р1 + «1 А,+Ву+Сх+Ю=О. Подставим яр у, х в уравнение плоскости и наидем параметр подставляем 1 Найденное значение ' - — А + В + рС в параметрические уравнения прямой и вычисляем координаты точки пересечения, Если гпА+ вВ+ р С -4 0 то прямая пересекает плоскость в единственной тачке.

Условие параллельности прямой и плоскости: 12,27) рпА+ пВ+ рС = О и Ах~ + Ву1 + С«1 + Ю 11 0 ( ° Условие ортогональностн прямой н плоскости: (2.28) Условие принадлежности прямой плоскости шА+ пВ+ рС = 0 и Ахз + Ву1 + Ся1 + Ю = О. (2.29) Определение 2.3, Пучком плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую. Если плоскости проходят через прямую, заданную обшими уравнениями с А1х+ В|у+ С~я+ Ю1 = 0 Азх + Вяу+ Сзз + Вз Ов то уравнение пучка плоскостей кмеет вид А|х + В1у+ С1з+ .0з + Л(Азх + Взу+ Сзз+ Вз) = О, (2.30) где Л вЂ” действительный параметр, При различных значениях параметра Л получаем различные уравнения плоскостей, прохо.

дящих через заданную прямую, Решение типовых задач Пример 2.16, Найти точку пересечения прямой — = „х+2 у+3 з = — = - н плоскости х — Зу+ 4з+ 9 = О. 1 2 Решение. Записав параметрические уравнения прямой, решим систему уравнений прямой и плоскости,' х = 31 — 2 у=1 — 3 3 = 2$ х — 39+ 4з+ 9 = О. у =43+ 3 прямой н плоскости: з= -51+2 2х+ 4у — 5з+ 45 = О. Подставляя х, у, з в уравнение плоскости 2(2$ — 1)'+ 4(41+ +3) — 5(-51 + 2) + 45 = О ~ 458+ 45 = О, находим 1 = -1, Подставив найденное значение 1 = -1 в параметрические урав- нения прямой, найдем точку Р1(-3; -1; 7), являющуюся проек- цией тачки Р на плоскость, Пример 2,17.

Найти синус угла между прямой < Зх †у+7 н плоскостью х — 2у+ 2я+ 3 = О. х — 2з-5=0 Решение, Запишем векторы нормалей зз1 = (3;-1;0), я,в = (1; 0;-2) к заданным плоскостям, Найдем направляющий вектор прямой: 7з 0 Ф з = йз + Зу + х. з у 3 -1 1 0 з=гз1хззз= Запишем вектор нормали гз = (1; -2; 2) к заданяой плоскости; Используя формулу (2.26), вычислим синус угла между прямой и плоскостью: Подставим х, у, з в уравнение плоскости 3$ — 2 — 3 ° (1— -3)+ 81+ 9 = О =г 81 + 16 = О ~ 1 = -2.