Пелевина А.Ф., Зорина И.Г. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия (2002), страница 5

14), В ксюрдинатпой Форме уравнение этой же плоскости имеет внд: А(л — х|) + В(у — у1) + С(» — »1) = О, (2,2) Преобразовав уравнение (2.2), получим общее уравнение плоскости: Ах+ Ву+ С»+ В = О, (2.3) где вектор ж = (А; В; С) является вектором нормали к плоскости. Если плоскость пе проходит через начала координат (Р ф ф О), то уравнение плоскости в отрезках имеет вид -*+ -У+ -' = 1, , (2А) а Ь с где а, Ь, с — величины отрезков, отсскаемых плоскостью на ко- ординатных осях Ол, Оу, О» соответственно, нли в координатной форме: А1 В1 С1 "42 В2 (2,9) Рис, 16 Р1 Р ( Рл и Р, Р,) = О, (2.5) (2.11) и — Х1 У вЂ” У1 Х вЂ” Х1 х2 х1 У2 - У1 х2 х1 ХЗ вЂ” Х1 Уз — У1 ХЗ вЂ” Х1 Решение типовых задач = 0 (2,5) л1х+В15+Сгх+ Ю1 = О Азх+В25+ Сия+ Ю2 = О, 34 В векторной форме уравнение плоскости, проходящей через три данные точки Р1(х11у1,х1 ), Р2(х2, у2; х2), Рз(хз1уд1 хз), не , лежащие иа одной прямой, имеет вид где переменная точка Р(иОу;х) принадлежит плоскости (рис.

15). В коо координатнои форз е уравнение этой же плоскости имеет вид Косинус угла между двумя плоскостями ,А1 В1 . С1 где' — 25 — ' ф —, определяется косинусом угла между норма- 2 2 2 лямк зх1 = (А1, В1; С1) н пз = (А2,' 321 С2) к этим плоскостям: П1 'П2 соя сз = соз с(зь1, п2) = !зз1! 1112! (2,7) А1А2 + 3132 + С1 С2 соз Зз— А2+ В2+ С2, ~А2+В2 + С2 Условие параллельности, двух плоскостей (п1'и п2): Условие перпендикулярности двух плоскостей (ж1.1. п2 Ф =г зз1 ° гх2 = 0): А1А2 + В1В2 + С1С2 О (2АО) ' Расстояние от точки Ро(хс1ус, хе) до плоскости Ах+ Ву+ +Сх + В = О вычисляем по формуле 1Ахо+ Вре+ Схо+ Й длзт зт,. с7 Пример 2,1, Точка Р1(3,-2;1) является осповалнем пер- пендикуляра, опущенного иэ точки Р2(5;-5;-3) на плоскость.

Составить уравнение плоскости, " Решение. Пусть переменная точка Р(х; у, х) принадлежит да1п1ой плоскости, Тогда вектор Р1Р =(и — 3;5+2;х-1) при- надлежит плоскости, 'а вектор Р1 Р2 = (2; -3; -4) перпендикуля- рен плоскости, Используя формулу (2,1), запишем в векторной Форме уравнение плоскости: Р1Р2 Р1Р = О, в координатной Форме (см. (2.2)) уравнение этой же плоскости принимает вид 2(х-3) 3(5+2)-4(х-. 1) =,0 Ф 2х-Зу-.,4х — 8 ='О, х — 5 9+2» 7 -2 0 х — 4 у — 1 »+3 3 — 2 5 0 1 0 ! х+1 у-З»-2 2 0 -1 5 3 -2 Пример 2.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(4;1;-3), В(7; -1; 2) параллельно осн Оу.

Р«шеии«. Пусть переменная точка Р(х; у;») принадлежит данной плоскости. Решим задачу двумя способами. 1 способ. Вектор АР = (х — 4;у — '1;»+ 3) принадлежит плоскости, Находим координаты вектора АВ = (3; -2, 5) и орта у = (О; 1; О). Вектор нормали к плоскости найдем по формуле й тл=АЬ'ху= 3 -2 5 =«тл=-5»+31. 0 1 0 Используя формулу (2,2)> запишем уравнение плоскости, -5(х — 4) + 3(»+ 3) = О -"«5х — 3» — 29 = О.

Испо«об, Векторы АР = (х-4;у-1',»+3), ЛВ = (3;-2>5) и орт у = (О;1;О) являются комнланарными, следовательно, их смешанное произведение равно нулю, Запишем в нектарной форме уравнение плоскости, ЛР (А.В х у) = О. Тогда,в координатной форме уравнение плоскости имеет вид =« -5(х — 4) + 3(»+ 3) = О ~ бх — 3» — 29 = О. Пример 2.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р1 (5; -2; О) перпендикулярно к плоскостям 7х -29— -5 = О и 5х — 2у — » — 7 = О, Решение. Пус ь переменная точка Р(х; у; ») принадлежит искомой плоскости, Вектор Р>Р = (х — 5;у ~- 2;») и векторы нормалей тл> =. (7;-2;О) и п>з = (5;-2;-1) заданных плоскостей компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Запишем в векторной форме уравнение плоскости.' Р>Р (тл> х тля) = О, Тогда в координатной форме уравнение плоскости имеет вид: =«2(х — 5)+ 7(у+ 2) -4» = 0 Ф 2х+ 79-4»+ 4= О.

Пример 2,4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Р1(-1; 3; 2), Рт(1, "3, 1) перпендикулярно к плоскости бх+Зд — 2» — 9= О, Рнс. зе Решение, ПустЬ переменная точка Р(х,у;») принадлежит искомой плоскости. Векторы РтР = (х 4 1;у — 3;» — 2), Р1Рз = (2;0,-1) и тл = (б;3,'-2) (вектор нормели заданной плоскости) компланарны (рис. 16).

Записывая условие компланарности зтих векторов> получим в векторной форме уранение плоскости: Р1 Р (Г,Рз хтл) = О. Запишем в координатной форме уравнение плоскости: =«3(х + 1) — (у — 3) + 6(» — 2) = 0 ~ Зх — У+ 6» Пример 2.5, Найти расстояние от точки Ре(2; — 1;-2) до плоскости> проходящей через точки Рт(2>1>-3)> тз(5~-1' 2) Рз(1; 2; -1). Реше»»ие. Пусть переменная точка Р(ж, р, х) принадлежвт искомой плоскости, Векторы 7зз)з: (е — 2 - 1 + 3), 1 з = ( ~-2>1) Р»Рз = (-1; 1;2) являются компланарнымн, Используя формулу (2.6), запишем в координатной»рорме уравнение плоскости; сову = сов 1(»зз>»зз)— б 2+ (-1) 6 + 3 ' (-5) Ф 5 +(-1) +3 ° 2з+6 +(-5) 11 11 -з сову — -> сову =— Зб 65 5 91 х-2 9-1 х+3 3 2 -1 1 7(у 1)+ (х+ 3) = О =ь бе+ Ту — х - 20 = 0 По формуле (2,П) найдем расстояпке от точки Рс(2; -1, -2) до плоскости бв + 79 — х — 20 = 0: ~ а = — =ь г — Я 15 Пример 2,6, Убедиться, что плоскости Он+4 -10х-18— = 0 и Зн+ 2 - бе 10 хмежду ними, р - е+ 0 0 параллельны и найти расстоян ие , Заданные плоскости параллельны (2.9),так как Ре»ленке, За аз 3 м 2 а> †.

Находим на плоскости Он + 49 — 10х — 18 ю О точку, по»вжив р = О, х = О, тогда би -18 = 0 ~ н = 3, расстояние от точ по формуле (2,11), точки Рб(3;0,0) до'плоскостк Зя-~2 -бх+10 = у- х =0 !3 ° 3+2 0-5 0+10~ 19 1 3+2, 6) '-4- '=- 38 Приме 2,7. Най р ° . айтк косинус угла между плоскостями 5н-р+Зх-2= Оь 2н+69 — бх+1жО, Рек»ение, Нак н звз т (2;6;-5) к а акокнм векторы нормалей ззз = (б;-1 3) 1 (2,8), находим ) зап иным плоскостям, Используя фо рмулу Если требуется найти острый угол между плоскостяыи, то 11 сову = —. б /911 Контрольное задание П 2.1, Составить уравнение плоскости, перпендикулярной вектору АС> н проходяшнй через точку С, если А(-3;5>-4)» С(-1; 0', -1), 2.2.

Составить уравнение плоскости, проходящей ве1»сз точку Р(0,1",3) параллельно плоскости 7х - у- Эх+4 = О. , 2.3, Составить уравнение плоскости, проходяшей через точку А(2;1;-3) карелл>лько векторам»з м (2,"0,1) н о = ж (-1;-3!2), 2,4. Составить 'уравнение плоскости, проходяшей через точки Р1(4; О;3) н Рз(211;4) перпендикулярно к плоскости 4н- -79 - Зх + б = О, 2.5.

Составить уравнение плоскости, проходяшей через ось Ох н точку С(4;б', Ц, 2.6. Найти косинус угла ие»кду нлоскоагямн 2х+29+х+9 = = 0 и Зя — 29+ х — 3 = О, 2,7, Найти расстояние от точки Р(2,0;-1) до плоскости Зр — 4х+П=О, 2.8. Найти расстояние между параллельными плоскостямн Зх — 29 — х — 13 = О. и бх — 49 — 2х — 19 =' О.

2.9. Найти величины отрезксе, отсекаеыых на координатных асях плоскостью 2х — бр+ Зх — 30 = О. Задачи для самостоятельной работы 6 2,10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Р1(3; -2; 5) н Р2(1; -3; 4) параллельно вектору а = -4— -22+ 2й, 2.11. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки Р1(1; 5; 6), Р2(2, 3; 1) и Рз(3', -1; 2), 2.12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А( — 1; 2; О) перпендикулярно плоскостям х — у 4- 3« — 4 = О и 2ж+у — 5«+ 7 = 0, 2,13, Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Р1(2;-3;3) и Рз(4;-2;5) и отсекаюший на осн апплнкат отрезок с = 2, 2 14. Найти косинус угла между плоскостямн 4х+ 2у — «- -7 = 0 и бж + 3«+ 5 = О.

2.15. Найти расстояние между параллельными плоскостями 2х — у+ « — 10 = О и 4х — 2у+ 2« — Ц = О, 2А6, Вычислить расстояние от точки А(2; -1;1) цо плоскости, отсекающей от осей координат отрезки а = 2, 5 = -3, с =!. 2.2. Прямая в пространстве Прямая в декартовой прямоугольной системе координат Ожу«задается различнымн уравнениями, В векторной форме уравнение прямой, проходящей через данную точку Р1(жму|; «1), параллельно вектору а = 1т; и; р), имеет внд Р1Р = 1а, где переменная точка Р(х; у; «) нринадлежит прямой н 1 — действительная скалярная величина, В координатной форме канонические уравнения эток же прямой имеют вид х — х1 у-у1 « †«1 т и р (2,12) Вектор а = (т; и;р) называется направляющим вектором прямой.

40 Параметрические уравнения этой же прямой имеют внд ж = т1+ж1 у = ос + у1 «=р1+х1 (2,1З) (2,14) Хз — Х1 У2 — У1 «2 — «1 Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. А1х+ В1у+С1«+Ю1 = 0 А2х + Взу + Сз«+ Юз 0$ (2,15) если — ф — 71 —. Уравнения (2,15) называются общими А, В, С, А2 В2 С2 уравнениями прямой, Чтобы привести общие уравнения прямой (2,15) к канони- ческому виду, находим направляющий вектор а = п1 х пз, где п1 = (А1; В~, 'С1), зъз = (Аз', Вз; С2) — векторы нормалей к дан- ным плоскостям, и точку, принадлежащую прямой, Пля этого удобно одну нз переменных в системе (2.15) задать равной ну- лю (например, « = 0), а две другие ж = жы у = у1 находим, решая полученную из (2.15) систему. Запишем канонические уравнения прямой: (2.16) В1С2 — В2С1 А2С1 — А1С2 А1В2 — А2В1 Взаимное расположение двух прямых в пространстве Пусть заданы две прямые своимн каноническими уравне- ниями Канонические уравнения прямой, проходацей через дае данные точки Р| (х1, у1; «1 ) и Р2(хз, уз; «2), имеют внд *' — Х1 У вЂ” У1 « †«1 тп1 п1 Р1 *2 У У2 ««2 т2 пг Р2 гпе в1 = (тй1; п1,Р1), вг = (тйг,пг;Рг) — направляющие век.

торы прямых, н они пе параллельны ~ — ф — ф — ~, точки т т1 й1 р1'з ь тйг йг Рг) Р1(х1; у1, «1), Рг(хг; уг, «2) принадлежат прямым, Косинус угла между прямыми определяем по формуле сове> = сов с(в1>вг) = В1 "В2 > ~в~ )вг~ координатной форме косинус угла между прямыми определяем по формуле (2.17) сов у> 1 2+ п1пг+ Р1Р2 (2,18 т2+ п2+ Р2 т2+ п2+ р2' Условие параллельности двух прямых (в г )„ (2,19) (2.20) *2-х1 Уг-У1 тй1 й1 Р1 тг йг Рг й1 Р1 — Ф вЂ” Ф вЂ” и т2 нг = О. (2.21) тй1 й1 111 тйг йг Рг' Условие перпендикулярности двух ' пря1тых (в1 Л.

вг Ф ='г в1 . «г = О): т1тг+ п1йг + Р1Р2 = О Определение 2,1. Две прямые называются компланарпыми, если оии принадлежат одной плоскости нли параллельным плоскостям. Прямые компланарны, если: 1) они параллельны: — = — = — или т1 'й1 Р1 т2 п2 Р2 2) пересекаются: Если прямые скрещиваются, то выполняются условия хг — х1 уг — у1 «г — «1 — ф — 24 — и тй1 п1 тг й2 Р2 п1 Р1 ф О, (2,22) пг Рг Если прямые (2,17) скрешиваются, то расстояние между кими равно расстоянию между параллельными плоскостямпт проведенными через заданные прямые. Вектор нормали и этих плоскостей перпендикулярен векторам в1 и вг, следовательно, тв = в1 х вг.