Пелевина А.Ф., Зорина И.Г. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия (2002), страница 3

Модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из скалярного произведении вектора на самого себя~ 3. Косинус угла между векторами а и Ь вычисляем по фор- муле соя 1(а~ Ь) = а ° Ь ~а~(Ь! 4. Ортогональную проекцию вевторов а и Ь находим по формулам; а ° Ь а ° Ь прЬа = —; праЬ =— щ( а = |а~ (1,12) Если векторы а = а14+ азу + азЬ,Ь = 614 + Ьзу'+ Ьзй заданы координатами в орзъ,армированном базисе, то скалярное произведение векторов находим по формуле а ° Ь = аз Ь1 + азЬз + азЬз ° (1,13) Свойства скавярьюго произведении в координатной форме 1. Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов; азЬ|'+азЬз+азЬз .

О, (1,14) 2, Модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его координат: 3. Косинус угла между векторами находим по формуле Ь) а161 + азбз + аз6 ( аз + аз + азз Ьз + Ьз + Ьз 4, Ортогональную проекцию векторов а и Ь вычисляем по формулам: а1Ьз + езбз + азбз, Ь а161 + азЬз + азбз пр(,а = праЬ = Ьз1+ Ьзз+ Ьзз, а~я+ азз+ азз Пример 1.10.

Векторы И1 = 4а+ с и с(з = -2а+ Ьс являются диагоналями параллелограмма. Найти длину сторон и параллелограмма, если ~а( = 2, )с~ = 1, ~(а, с) =- —. Реп~синс. Пусть сторонами пврвллелограмма являются векторы т н п„Используя правила сложения и вычитания (т+п=4а+с векторов, получим систему уравнений: ~ т — н = -2а+Ьс, репгая котору1о, найдем векторы т = а + Зс н и =- За — 2с, Находим длины сторон параллелограмма по формуле (1.!О); ~т( = ~~тт = (а+ Зс) ° (а+ Зс) = (тв~ =- ЛЗа — 2с) ° (За — 2с) = 9(а! — 12!асс~ сов 2(а, с) +,1(с(г ~ .-о )тв~ = =в !тв~ = Л8, Пример 1.11. Найти прса, если векторы а = т — Зтв и с = 2та + тв, где )т~ = 2, ~тв~ = чт2, 2(та) тв) = —.

4 Решение. Согласно 4)ормуле (1,12), можно записать прса = асс —. Найдем сяалярное произведение а с = (т — Зтв) ° (2ттв+ !4 ' +тв) = 2(т)в)~ — 5(таЦтв~ сов с(ттв,тв) — 3(тв)я:о а ° с = 2 ° 2З— -5 2 з/2 — — )-З~з(2~ = 12. Найдем модуль векторас: (с~ = - — 2)-~ ~= Згтв+тв) 2т+тв) = 4~т)з~ +4~таптз)совЕ(т,тв)+)тв) =ь ~с) = 4 ° 2з + 4 ° 2 /2 — — ~ + (~/2)з =з (с! = з/ГО, 1 ~/д 12 6 Следовательно, прса = — =.

— зуГО, ьУ10 5 Пример 1.12, В 2ЛАВС (рис, 11) заданы векторы ХВ = = (3;1; 2) и АС = (5;-1; 3), Точка Р является основанием высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС. Найти координаты вектора ВР, Рне. 11 Решение, Находим. вектор В7", = АС( — АЗ ='г ВС' = (2; 2;Ц ю ~ у, ~ВС) . ~/21~( 2Я~.Н~ 3 29,.

Длина вектора ВР равна модул(о проекции вектора ВА г(а вектор ВС: ~ВР( =- ~пр77СВА~ =з (по Формуле (1.12)): ~В1'~ = — Используя Формулу (1,17), получим )ВР~ = )ВС~ ((-3) 2 + (-1) ° (-'2) + (-2) Ц = 2. Так как век- ВР = ~ВОВС то ВР коллинеарен воктору ВС, то В1' = (В1) =.) ВР = ~ВР~= =т ВР = -(24- 21+ Й) Ф В1) = ~ у --; -! . ВС 3 П имер 1,13. Найти косинус угла между вектор, Ф ~ ., амиа= ример = 34+ 9у — 12Й и с = 4в + 77'+ 4Й. Решение. По (Рормуле (1.11) запишем', сов1(а,с) — Паходим а с = 3 4+9 7+(-12) 4 = 27 ~а)(с~ ) ) /Рта~~-ф~ = 3 'т~+.э~+ Р = 3 26, ) ) 27 1 =~4тт71~-Р 9,Р в ((, )= Пример 1.14.

Найти значение Л, при котором вскгорь( а = 34+ Лу' — 2Й и с = 24+ 41'+ ЛЙ бу)гуг ортогональнь(. Решение. Использу Формулы (1.9) и (1,14), пвхолнм скв лярное произведение а с = 0 =т 6 + !Л вЂ” 2Л = Π— Л = -3. Контрольное задание 3 1,25.

Пайти длину диагоналей параллелограмма, постро- енного на векторах а = 5т + тв и б = та — 2тз, если,' (,(ттв~ =- 1 2я !М = 3, ~(...) = —,, 3 1,26. Найти угол между векторами а = Зта — 2(з и с =- 3)г = 4та + Зтв, если (т~ = ч'2, /тв) = 2, 2(т)з, тв) = —. 1.27. Найти значение о, при котором векторы а + ос и За — 4с будут ортогоцвльпь( если /а~ = (/3 (с(.= 1 2(а с) = —. 1.28. Найти проекция> вектора с = (1; 7; -5) нв.

огь, с г)в- вляюшу)о с координатными осями равны( острые угг(ы. 1,29. Н Ь,4ВС заданы всрп(ины А(2; — 2;1), В(2;1;-3), С(-3;-1; — 1), Найти косинус угла, ВАС. 1.30. Ланы векторы а = »' — 21 + й, Ь = 3» + й, с = Зу — бй Найти пра(ЗЬ+ 2с), 1,31,Н- .3 . Найти координаты вектора а, коллинеарного вектору с = (1; 3; -2) и удовлетворюошего условию а ° с = 28. 1.32. Параллелепипед АВСБА»В»С»Ю1 построен на векгорах А В = (1; 0; 1), А.0 = (2; 1; 3), А А» = (О; 1; 4), Найти проекцию диагонали АС1 на диагональ АВ1 н косинус угла между векторами АВ» и АС, 1,33, Дан четырехугольник АВСВ с вершинами А(1, -2; 2), В(1 4' 0) С(-4' 1 1) Уъ(-, '— (;; ), С(-4;1;1), В(-б;-6,3), Доказать ортогональность диагоналей АС и ВВ, 1.4. Векторное произведение векторов Определение 1.31.

Векторным произвецением а х Ь векторов а и Ь называется вектор с = а х Ь, удовлетворяюший условиям (рис. 12)'. Задачи для самостоятельной работы 3 1,34. Н . Найти пра г», если векторы т = а - Зс, а = ба+ с, где !а! = 3, !с! = 2, 1(а, с) = —. 1.36, В Векторы 2а+ Зс й 8а — бо являются диагонялямн параллелограмма, Найти длины его сторон, если !а! = 2, !с! = = за, с(а,с) = —. 1.36. Н " . Найти косинус угла между векторами т и а, если векторы а = Зт— р = Зт — »» и с = 2т+ б»» взаимно ортогональны и !т! = 2, !»»! = 3. ,37. Нанти а, при котором векторы т = -2» — Зу+ ей, »» = ໠— 4у + бй ортогона,льны.

' 1.38. Па раллелограмм АВСЮ построен на векторах АВ = — (';; ) — ('2;0;1). Нанти проекции вектора АВ на диагонали В.В и АС. 1.39, Ланы вершины А(б; -4; 1), В(1, -2; 3), С(З,' -1; 4) трау С. Определить внешний угол при вершине С, угольника АВС. О 1.40. Нанти про(а — ЗЬ), если а = б» + Зу', Ь = » — 2й, с = »+ 22 — 2й. 1.41. Найти коо рдинаты вектора с, коллннеарного вектору а = (3; -1;4), если с ° а = 13. 1,42. Даны точки А(4; -6; 8) и В(7; -13; 2). Найти пр;»Н( а+ с), если а = (-1; -2; О) и с = (О; 3, "9),. 22 Рис. 12 1) модуль вектора равен произвецепию модулей перемиожаемых векторов на синус угла между ними: !с! = !а х Ь! = !а! !Ь! яш ~(а,Ь); (1,18) 2) вектор с ортргонвлен векторам а н Ь (с 1 а, с 1 Ь); 3) а, Ь, с — правая тройка векторов.

Геометрический смысл векторного произведения: мопуль векторного произвепепия векторов а и Ь численно равен плоноь ди параллелограмма, построенного на векторах а и Ь: (1.19) Я=!ахЬ!. Плошадь треугольника, построенного на векторах а и Ь, равна половине модуля векторного произведения этих векторов: 1 Яд = -!а х Ь!. 2 Ьйеханический смысл векторного произведения заики»чяегся в следу»ошам: если вектор Ь является силой, приложенной к 4 у й а1 оз аз Ь1 Ьз ЬЗ ахЬ= (1,21) Решение типовых задач точке А, а вектор а направлен из точки О в точку А, то векторное произведение а х Ь равно моменту силы Ь относительно точки О, Законы векторного произведения.

1)а х Ь = -(Ь х а) (антипереместительный); 2) Л(а х Ь) = (Ла) х Ь = а х (ЛЬ) (сочетательный); 3) а х (Ь+ с) = а х Ь+ а х с; (а + Ь) и с) = а х с + Ь х с (распределительный). Векторное произведение равно нулю, если а = О, или Ь = 9, или векторы а и Ь коллинеарпы (а 9 Ь). Если векторы а = (о|, аз, аз), Ь = (Ь1, Ьг; Ьз) заданы координатами в ортонормированном базисе, то векторное произведение векторов а и Ь вычисляем по формуле (а Ь с)хЬ+(а+Ь-с)хо+(а+Ь+с)ха=(ахЬ)-(ахЬ)-(ЬхЬ)— -(с х Ь) — (а х с) + (Ь х с) — (с х с) + (а Х а) + (Ь Х а) + (с х а) = = (ах 5)+(Ьхс)+(ах с)+(Ьхс) — (ах Ь)-(ахс) = 2(Ьхс) у й 2 2 1 2 3 2 =~ и = 4 — 2,р + 2й, ~п) = 3. Находим единичные векторы, ортогональные к плоскости треугольника; Ь и с 1, 2.

2 и = 1 — -> и = 1-4~-у1 — й. (п) 3 3 3 Пример 1,17. Найти координаты единичных векторов, ортогональных к плоскости ЬАВС, где А(1;-2;3), В(3',О;4), С(3;1;5), Решение, Найдем координаты векторов АВ = (2;2;1), АС = ~2; 3; 21, Так как вектор и ~. АВ и и .1 АС, то вектор и = АВ х АС. Используя формулу (1,21), находим Пример 1.15. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а = Згп — 2п и с = пз — Зп, если ~гп~ = 5, ~п~ = 2, 1(гп,п) = —, 6 Решение.

Используя формулу (1,19), площадь параллелограмма вычисляем по формуле 8 = ~а х с~. Найдем векторное произведение векторов а и с: а х с = (Зпз — 2п) х (гп — Зп) = = 3(гп х пз) — 9(гп х и) — 2(п х пз) + 8(п х и), но пз х пз = = пхп = О, и хгп = -(пахп), следовательно а хо = -7(гпхп), Тогда Я = ~ — 7(гп х п)~ Ф В = 7~гп х п), По формуле (1.18) находим Я = 7 ° ~гг' ° ~п! ° сАп 1(гп, и) =~ Я = 7 5 2 ° в1п — = 35. 8 Пример 1.16. Упростить выражение (а — Ь вЂ” с) х Ь+ (а+ +Ь вЂ” с) хо+(а+Ь+с) ха. Решение. Используя свойства, векторного произведения, по. лучим Пример 1.18. В плоскости УОЯ найти вектор с, ортого.

дальный вектору а = (3>-2, -1), если ~с~ = 2Л, Реезение, По условию задачи с 1. 4 н с Л а =~ ой'(4 х а) = у й 1 О О 3 -2 -1 Следовательно, находим вектор с = ~с~ ~ Ф с= ( у — 2йЛ ~4 1 = 2~Я( х — 1 =~ с =:Сйу т 4й; Пример 1.19. Параллелепипед АВСРА1ВгС1Р1 построен на векторах АВ = (1; -1; О), АР = (-2: 1; 2), АА1 = (3 2;1), Вычислить плошадь сечения ВА1С1 и длину высоты сЗВА1Сг, опушенкой из вершины В на сторону А1С1 (рис, 13), 25 Рис, »з Реп»ение. Найдем векторы ВА» =- "ВА + ХХ» -.Ф ВА» = =(2;3;1)и%!» = ВО+А~» = АЮ+А,4» = (1;3;3), Используя 1 формулу (1.20), находим Яд = -»Н'» х ВА» ~. Найдем векторное .2 произведение ВС» х ВА»»' з у й 1 3 3 2 3 1 ВС» х ВА» = = -бз+ 5у — Зй.