Пелевина А.Ф., Зорина И.Г. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия (2002), страница 2

> нзл комбинация этих векторов, равная нулевому вектору: Лгаг + Лзоз + ., + Лаев = 0, 0 Л; Ф 0 Для линейно зависимы«ве«тонов справедливы теоремы: Теорема 1,1, Вепторм а1,ая» ... а„линейно зависимЫ тогда н тольхо тогда, когда один из этих векторов является линейной комби> циеи овтвльных, Теорема 1.2.

Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она является линейно зависимой, Теорема 1Д, Любам подсистема линейно независимой системы векторов является линейно независимой, Теорема 1.4. Система векторов, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой, Теорема 1.6. Система векторов, содержащая два равных илн два пропорциональных вектора, является линейно зависимой. Теорема 1.6. Два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Теорема 1.7, Три геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны, Теорема 1.8.

Любые четыре геометркческих вектора всегда линейно зависимы. Разложение вектора по базису Определение 1.23. Базисом на плоскости называется упорядоченная пара ненулевых неколлннеарных векторов е>, сз этой плоскости. Определение 1.24, Базисом в пространстве назовем упорядоченную тройку ненулевых некомпланарных векторов е1, ез> ез этого пространства, Теорема 1,0. ЛЮбой геометрический вектор а пространства можно разложить по векторам базиса е1, ез, ез, и зто разложение единственнсс а = а1е1+ азез + сзез, Определежне 1,$% Скалярные величины а1, аз, аз в разложении вектора а по векторам базиса е1, ез>ез в формуле (1.2) называются координатами вектора а в базисе е1> сз, сз (а = (аз; аз, аз)).

В частности, на плоскости вектор а = а>е1+ азез имеет координаты а = (а~, аз), а на оси вектор а = а1е> имеет координату а = (а~). Определение 1,26. Упорядоченная тройка некомплзларных векторов а, Ь, с называется правой, если при приведении зтнх векторов к общему началу кратчайший поворот от а к Ь 10 ! != !Я~ Г4 А! В! .О! С~ 1 Рис. 10 12 виден из конца вектора с против часовой стрелки (если кратчайший поворот от а к Ь совершается по часовой стрелке, то тройка векторов а, Ь, с — левая), Определение 1.27. Упорядоченная тройка взаимно перпендикулярных единичных векторов з, у, Й называется ортонормнрованным базисом. В дальнейшем за ортонормированный базис принимаем правую тройку векторов 1! у, Й, Произвольный вектор пространства а можно разложить по векторам ортопормированного базиса а = азй+ азу + азЙ или а = (аз, аз,' аз), Аналогично на плоскости: а = а!з + азу' илн а = (аз, аз), и на оси: а = а!1 или а = (аз).

Ортогональная проекция вектора на направление Определение 1.28. Ортогональной проекцией вектора АВ на направленно 1 называется число, равное длине отрезка Л! Вы гле А! и Вз — основания перпендикуляров, опущенных из копцов вектора АВ на направление 1, взятое со знаком плюс, если нэлравление вектора АзВ! совпадает с направлением 1, и со знаком минус, если направление вектора А!В! противело. ложно направленн!о 1. Обозначим проекцию вектора АВ на направление 1 как пр1А.В, Из рис. 10 следует, что пр1АВ = +А1В1! пр1СЮ = = -Сзй!. Теорема 1.10.

Проекция вектора на направление равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и направлением: пр1А.В = )ХВ~ соз < (ЛВ,1). Теорема 1.11. Проекция суммы векторов на направление 1 равна сумме проекций слагаемых на это направление: пр1(а+ +Ь) = пр1а+ пр1Ь. Теорема 1.12. Проекция вектора а, умноженного на число Л, ка направление 1 равна произвелению Л на проекцию вектора а па это направление; пр1(Ла) = Лпр1а. Проекции вектора а па базисные орты з, з! Й совпадают с координатами вектора а в базисе 1! у, Й: если а = а~1+азу+азЙ, то а! = пр а, аз = пр а, аз = пр1 а. Декствия над векторами в координатной форме Пусть векторы а = (а!, аз, аз) и Ь = (6П Ьз, Ьз) заданы своими координатами. У равных векторов соответствующие координаты попарно рызны: есина=Ь,тоа! =6|,аз=Ьз,аз=бз, При сложении (вычитании) векторов их одноименные ко- ординаты складыва!отся (вычитаются): а 1 Ь = (аз к 6~; аз 1 Ьз; аз ~ Ьз), Прн умножении вектора а на скаляр Л все его координаты умножаются на скаляр Л.

Ла = (ЛаП Лаз, 'Лаз), У коллинеарных векторов одноименные координаты про. порциопальны: айЬсэ — = — = —. а! ах аз (1.3) с6,.6, 6,,' Модуль вектора в ортонормированном базисе равен ари!6- метическому значению квадратного корня из суммы квалратов его координат; Определение 1.29, Направляющиыи косвпусами вектора а называ!отся косинусы тех углов, которые этот вектор образу ет с базисными векторами 1, з, Й. Направляющие косинусы вектора а = (а|, аи, аз) находим по формулам: иг, аз, ез сова = —; со»,0 = — , 'с087 = —. ~а~ ~а~ ~а) (1.6) Сумма квадратов направлшогцих косинусов ранна единице; (1.6) сов а + сов Р + сов 7 = 1, Направляющие косинусы вектора являются координатами его орта: ае = (сова; совд сов у), (1.7) Базисные векторы «,у, Й, исходящие нз начала координат О(О; О; О) определяют положительные направления осей Ох, Оу, О«(«, у, й — орты осей), Вектор О»я, начало которого совпадает с началом координат О, а концом является произвольная точка М(х; у; «), называется радиусам-вектором точки М( ОБХ = (х; у; «).

Если вектор АВ задан координатами начала А(х«> уг; «г) и кшща В(хз> уз, «з)( то координаты вектора АВ = (хз — хз', уз у1 «з «1) Решение типовых задач Пример 1.6, Найти длину и направляющие косинусы вектор»аа = 6«- 23 - Зй, 'Решение. Длин вектора находим по формуле (1,4): (а~ = 6 +(-2) +(-3) = 7. Но формулам (1,6) находимнапра„вляющие косинусы вектор»я 6 -2 -3 сова = —, СОБВ = —, со»7 = —, 7' 7' 7 Пример 1.6. Найти координаты вектора а, образующего с координатными осямн равные острые углы, если длина этого; вектора равна ЗЛ. Рсшсиис Так как а = (б = 7~ то полста тавляя сов а = сов Р = и 7 в формулу (1.6), получим 3 сов а = 1-о сова = ~т«3' В р а образует с координатными осями острые углы; нс- ектор пользуя формульг (1,7), находим ор — д, д иг( гда по формуле (1,1) находим координаты вектора а = ~а~а =з а = (3; 3; 3).

П 1.7. Заданы три некомпланарпых вектора ег = ример = 2« — Й, ез = 3«+ Зу, ез = 21'+ Зй. Разложить вектор = «+ бу — 2Й по базису е«, ез> ез. Решение, Аналогично формуле (1,2) запишем разложение вектора ««по базису. «« = хе «+ уев + «ез =з «+ у — ' й' — 2й=х 2«вЂ” -й)+у(3«+Зу)+«(23+Зй) или (2х+Зу)«+(Зу+2«)у+(-х+3«)й = = «+бу'-2Й. Приравнивая коэффициенты прн ортах «, у, Й слева, и справа, получим систему уравнений.

2х+Зу = 1 Зу+2« = б — х+3« = -2, Решая систему уравнений, находим; х = -4, у = 3, « = = -2. Запишем разложение вектора «1 = — ! Б(+Зев -2ез =з д = = (-4; 3; — 2) — координаты вектора «1 в базисе ем ез, ез, Пример 1.8. Найти вектор а, коллинеарный вектору с = у = 3' — ' 6 '+ 2Й сосз..вляющий с осью Ох тупой угол, если )а~ = = 14. а ав Решение, Из формулы (1,1) находим вектор а = (а(а .

Так как вектор а коллинеарен вектору с и обр»зует тупой угол с осью Ох, а вектор с образует острый угол с осью Ох муле а = (а(«-с ~~(-св) = (а~ — —, Найдем длину вектор» с: ,(и«(-~)~~.Ф~( ( = ~, ьс аж ю~ 1 = 14-( — 3«+ бу - 2Й) =з а = -6«+ 12у - 4Й. 7 Пример 1.9. Найти вектор с, направленный по биссектрисе угла, образованного векторами а = 2з — 23 — Й И Ь = -44 + 7у — 4Й, если»с( = Зз/6. Решет»ие. Чтобы вектор с был направлен по бнссект и- р се, вектор с должен быть диагональю ромба, Найдем модули векторов: »а~ = 2 + ( — 2) + (-1) =ь»а~ = 3 и»Ь| ( — 1) + 7 +(-4)я Ф»Ь~ = 9 и орты ао = а н Ьо =— о 2 ° 2 1 о 4 ° 7 4 )а] »Ь! 2, 1, 7 = -'--у- -й и Ь = — я+ -у- -й, Тогда вектор ао+Ь = -й+ -у — -й направлен по биссектрисе, Найдем мс»пуль век- тораао+Ьо, 1ао+Ьо~ ж ~ о+Ьо Г -->Лист о оо 2, 1, 7 — 3' Р (а + Ь ) = — Я+ — Я'- — й.

Находим ЗЛ ЗЯ З,,У6 ' вектор с = »с»(а + Ь ) =~ с = 2я + у — 7Й Контрольное заданно 2 1,13, Найти координаты вектора 2а+Ь-Зс, если а, = я-2у, Ь= Зу-2й, с = 4 — у+ й, 1.14. Даны точки Л(1;-5,'10), В(-5»7;-8)> С(2,'2;-7)> ). ровернттс 1) коллинеарны ли векторы АЗ и' СЮ» 2) какой из некто ов "и р д иннее другого и как они направлены; 3) найти орт вектора СЮ. 1.15. Разложи 1..

ть вектор Ы = 2я — бу по векторам а = = (1; 2; -1), Ь = (О; 2; -1), с = (О; 0; 3). 1.16. Най -4Й об аз ю . Н йти вектор с, коллинеарный векто = 4' — 7 > Руа= я у разующий с осью Оу острый угол, если»с~ = 18, 1.17. Р . Радиус-вектор точки Р образует с осью Ох угал —, а с осью Оя уго. — лина тг 3' —, д ина радиуса-вектора равна 4. Найти координаты точки очки, если орднната ее отрицательна. 1.18.

Найти коо и а рд н ты векторов, обре,зующих с координатными ося ями равные углы, если длина их равна Ьз/3. 16 1.19, Прн каких значениях а и»1 векторы а = 31+ау+ бй, Ь = -1+ 2у+»бй коллинеарпы7 Задачи для самостоятельной работы 2 1,20. Найти вектор Ь, коллинеарпый вектору с = 31 — 57+ +4й, образуюп»ий с осью Ох тупой угол, длина которого равна 10зт'2, 1,21. Найти координаты вектора а, образу»ошего с осями 3 к координат углы о = — я,»1 =,, длина которого равна 8. > 4 > 3> 1,22.

Найти вектор с, капревлонный по биссектрисе угла, образованного векторами а = -з + 21 + 2Й и Ь = 4з — Зй, и имеющий длину, равную бз/6. 1,23, Папы векторы а = (2 1 1) Ь = ( — 1 2 -2) с =- = (2; -1; 3), >з = (-1; 1, — 1), Разложить каждый из векторов по трем другим векторам. ф 1,24. Параллелепипед ~1ВСР˻»ѻл построен на век- ф торах ХВ = а, ЛР = Ь, ЛЛ» = с, В базиса из ребер а, Ь, с найти коорпииаты векто, а Лс»», где О» — точка пересечения диагоналей параллелограмма ˻»ѻ Р», 1,3. Скалярное произведение векторов Определение 1,30. Скалярным произведением а Ь ненулевьп» векторов а ..

Ь называется число, ровное произведению их длин на косинус угла между ними: а Ь = »а»»Ь| соя с(а, Ь). (»..8) Механический сьтысл скалярного произведения заключается в следующем: если Ь вЂ”, вектор 'силы, а — вектор пути, то Л = а Ь вЂ” работа, совершаемая силой Ь по т:ереме»ценив мате-, риальной точки из начала вектора а в его конец, Законы скалярного произведения. 1. а ° Ь = Ь ° а (пер стите»»т>т»ьтй). 1 »»7 гю~ 1~ г ~а~ = /а а. (1,10) (1 11) Решаема типовых задач 2, а (Ь+ с) = (а ° Ь) + (а ° с) (распределительный), 3, Аа ° Ь = А(а Ь) (сочетательный), Свойства скалярного произведения в векторной форма 1, Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они ортогональны: а Ь=О, а140, Ьфбсоа ьЬ. (1.0) 2.