Методическое пособие по изучению математического пакета Maxima

Методическое пособие по изучениюматематического пакета MaximaСодержание1.2.3.4.5.6.7.8.9.ВведениеУстановка и запуск программыОписание интерфейса wxMaximaИспользуемые обозначения для ввода командРешение задач элементарной математикиРешение задач линейной алгебрыРешение задач математического анализаРешение обыкновенных дифференциальных уравненийЗадания для самостоятельной работыВведениеВажное замечание: данное пособие разработано для Maxima 5.13 (RC2).

Впредыдущих версиях Maxima могут быть особенности записи выражений,отличные от указанных в данном пособии. Например, в предыдущих версияхMaxima названия встроенных функций были регистронезависимыми, аначиная с версии 5.11 это было изменено. Подробнее см. руководствопользователя для конкретной версии Maxima.Maxima - программа для выполнения математических вычислений,символьных преобразований и построения графиков. С каждой новойверсией в Maxima появляются новые функциональные возможности и видырешаемых задач.Система аналитических вычислений Maxima идеально подходит как дляизучения школьниками старших классов, так и студентами, его могутиспользовать профессиональные математики для проведения сложныхрасчетов и исследований.Основными преимуществами программы являются:••••••••возможность свободного использования (Maxima относится к классусвободных программ и распространяется на основе лицензии GNU);возможность функционирования под управлением различных ОС (вчастности Linux и Windows);небольшой размер программы (дистрибутив занимает порядка 23мегабайт, в установленном виде со всеми расширениями потребуетсяоколо 80 мегабайт);широкий класс решаемых задач;возможность работы как в консольной версии программы, так и сиспользованием одного из графических интерфейсов (xMaxima,wxMaxima или как плагин (plug-in) к редактору TexMacs);расширение wxMaxima (входящее в комплект поставки) предоставляетпользователю удобный и понятный интерфейс, избавляет отнеобходимости изучать особенности ввода команд для решениятиповых задач;интерфейс программы на русском языке;наличие справки и инструкций по работе с программой (русскоязычнойверсии справки нет, но в сети Интернет присутствует большоеколичество статей с примерами использования Maxima);Установка и запуск программыСкачать последнюю версию программы Вы можете с ее сайта в сетиИнтернет: http://maxima.sourceforge.net/.

Русская локализация сайта:http://maxima.sourceforge.net/ru/Рассмотрим пример установки программы под управлением операционнойсистемы Windows XP. Не забудьте, что для установки программ, Вамнеобходимы права Администратора, если Ваш компьютер подключен к сетиили по каким-то причинам права вашей учетной записи ограничены.Полученный файл, например maxima-5.12.99rc2.exe (размер файла около 20мегабайт), является исполняемым. Для начала установки программыдостаточно нажать на него два раза мышкой.Сразу появится окно выбора локализации (выбираем русский язык).В следующем окне жмем «далее», внимательно читаем лицензионноесоглашение, выбираем «я принимаю условия соглашения» и снова жмем«далее» (два раза).Выбираем путь установки программы (можно оставить его без изменения).Переходим к выбору устанавливаемых компонент. Из всего перечисленногодля нас «лишними» являются Пакеты поддержки языков Maxima.В следующих окнах нам будет предложено выбрать, куда помещать ярлыкидля запуска программы (в меню «Пуск», на рабочий стол и т.д.).Завершающим этапом будет окно с предложением начать установку.

Поокончании установки жмем «далее» и «завершить».Интерфейс wxMaximaДля удобства работы сразу обратимся к графическому интерфейсуwxMaxima, т.к. он является наиболее дружественным для начинающихпользователей системы.Достоинствами wxMaxima являются:• возможность графического вывода формулВывод формулы в xMaxima(текстовый режим)Вывод формулы в wxMaxima(графический режим)• упрощенный ввод наиболее часто используемых функций (черездиалоговые окна), а не набор команд, как в классической Maxima.• разделение окна ввода данных и области вывода результатов (вклассической Maxima эти области объединены, и ввод командпроисходит в единой рабочей области с полученными результатами).Рассмотрим рабочее окно программы.

Сверху вниз располагаются: текстовоеменю программы – доступ к основным функциям и настройкам программы.В текстовом меню wxMaxima находятся функции для решения большогоколичества типовых математических задач, разделенные по группам:уравнения, алгебра, анализ, упростить, графики, численные вычисления.Ввод команд через диалоговые окна упрощает работу с программой дляновичков.

Например, пункт меню Анализ/Интегрировать позволяетвычислить определенный или неопределенный интеграл:После ввода необходимых параметров, в рабочем окне мы увидим команду ирезультат вычисления:Ниже располагается графическое меню – наиболее часто используемыефункции для работы с файлами: открыть / сохранить / печать данных, а такжефункции правки – копировать / удалить / вставить текст и другие, затемрасположено окно вывода результатов расчетов, поле ввода команд и кнопкидоступа к часто используемым функциям расчетов (упрощение выражения,раскрытие скобок, построение графика функции(ий) и др.).При написании подпрограмм и длинных команд нажмите на кнопку(многострочный ввод), которая располагается слева от окна ввода команд.При использовании интерфейса wxMaxima, Вы можете выделить в окневывода результатов необходимую формулу и вызвав контекстное менюправой кнопкой мыши скопировать любую формулу в текстовом виде, вформате TEX или в виде графического изображения, для последующейвставки в какой-либо документ.Также в контекстном меню, при выборе результата вычисления, Вам будетпредложен ряд операций с выбранным выражением (например, упрощение,раскрытие скобок, интегрирование, дифференцирование и др.).Ввод простейших команд в wxMaximaВсе команды вводятся в поле ВВОД, разделителем команд является символ ;(точка с запятой).

После ввода команды необходимо нажать клавишу Enterдля ее обработки и вывода результата. В ранних версиях Maxima инекоторых ее оболочках (например, xMaxima) наличие точки с запятой послекаждой команды строго обязательно. Поэтому автор настоятельнорекомендует добавлять ; после каждой команды.В случае, когда выражение надо отобразить, а не вычислить, перед нимнеобходимо поставить знак ‘ (одинарная кавычка). Но этот метод неработает, когда выражение имеет явное значение, например, выражениеsin(π) заменяется на значение равное нулю.Обозначение команд и результатов вычисленийПосле ввода, каждой команде присваивается порядковый номер.

Наприведенном выше рисунке, введенные команды имеют номера 1-3 иобозначаются соответственно (%i1), (%i2), (%i3). Результат вычислениятакже имеет порядковый номер, например (%o1), (%o2) и т.д. Где “i” –сокращение от англ. input (ввод), а “o” – англ. output (вывод).Этот механизм позволяет избежать в последующих вычисления повторенияполной записи уже выполненных команды, например (%i1)+(%i2) будетозначать добавление к выражению первой команды – выражения второй ипоследующего вычисления результата. Также можно использовать и номерарезультатов вычислений, например (%o1)*(%o2).Для последней выполненной команды в Maxima есть специальноеобозначение - %.Пример: Вычислить значение производной функциив точке x=1.Используемые обозначения для ввода командВвод числовой информации.Правила ввода чисел в Maxima точно такие, как и для многих другихподобных программ.

Целая и дробная часть десятичных дробей разделяютсясимволом точка. Перед отрицательными числами ставится знак минус.Числитель и знаменатель обыкновенных дробей разделяется при помощисимвола / (прямой слэш).Обратите внимание, что если в результате выполнения операции получаетсянекоторое символьное выражение, а необходимо получить конкретноечисловое значение в виде десятичной дроби, то решить эту задачу позволитприменение оператора numer. В частности он позволяет перейти отобыкновенных дробей к десятичным.Арифметические операцииОбозначение арифметических операций в Maxima ничем не отличаетсяот классического представления: + , - , * , /. Возведение в степень можнообозначать несколькими способами: ^ , ^^ , **. Извлечение корня степени nзаписываем, как степень 1/n.

Введем еще одну полезную операцию нахождение факториала числа. Эта операция обозначается восклицательнымзнаком, например 5!.Для увеличения приоритета операции, как и в математике, используютсякруглые скобки: ().КонстантыВ Maxima для удобства вычислений есть ряд встроенных констант, самыераспространенные из них показаны в следующей таблице:Названиеслева (в отношении пределов)справа (в отношении пределов)+∞ (плюс бесконечность)-∞ (минус бесконечность)Комплексная бесконечностьπ (число Пи)e (экспонента)Обозначениеminusplusinfminfinfinity%pi%e%iМнимая единица ()ИстинаЛожьЗолотое сечение (1 + sqrt(5))/2truefalse%phiПеременныеДля хранения результатов промежуточных расчетов применяютсяпеременные.

Заметим, что при вводе названий переменных, функций иконстант важен регистр букв, так переменные x и X это две разныепеременные.Присваивание значения переменной осуществляется с использованиемсимвола: (двоеточие), например x:5.Если необходимо удалитьприменяется метод kill:значениепеременной(очиститьkill(x) – удалить значение переменной x;kill(all) – удалить значения всех используемых ранее переменных.ее),тоМатематические функцииВ Maxima имеется достаточно большой набор встроенных математическихфункций.