Интегралы 23 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-23Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-23Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Обозначим:. Получаем:. Получаем:U.ruВоспользуемся формулой интегрирования по частямtiGTОбозначим:осanВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 3-23анУсловие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеЗадача Кузнецов Интегралы 4-23Условие задачиВычислить определенный интеграл:.

Получаем:U.ruРешениеtiGTЗамена:Условие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 5-23anПолучаем:РешениеанВычислить неопределенный интеграл:СкачПод интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:Получаем:antiGTU.ruРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:аносПрибавим ко второй строке первую умноженную на 2:СкачТогда получаем:Задача Кузнецов Интегралы 6-23Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:U.ruРешениеantiGTРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:аносПрибавим к четвертому уравнению третье умноженное на 2:СкачПрибавим к четвертому уравнению второе умноженное на 4:Прибавим к четвертому уравнению первое:U.rutiGTУсловие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 7-23anТогда:РешениеанНайти неопределенный интеграл:СкачРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.ruанСкачТогда:осantiGTВычтем из третьего уравнения первое:Задача Кузнецов Интегралы 8-23Условие задачиU.ruВычислить определенный интеграл:РешениеtiGTВоспользуемся универсальной подстановкой:anОткуда:осПодставим:СкачПолучаем:анЗамена:Задача Кузнецов Интегралы 9-23Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruРешениеВоспользуемся подстановкой:antiGTОткуда:осПодставим:СкачанРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTосanПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 10-23Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 11-23Условие задачиtiGTВычислить определенный интеграл:РешениеСкачанПолучаем:осanЗамена:Замена:Получаем:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 12-23Условие задачиВычислить определенный интеграл:anРешениеСкачПолучаем:аносЗамена:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 13-23Условие задачиРешение, откудаanПод интегралом дифференциальный биномtiGTНайти неопределенный интеграл:Так, как- целое, то используем замену:- знаменатель дроби.ос, гдеСкачПолучаем:анТ.е.

в нашем случае замена имеет вид:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 14-23Условие задачиtiGTВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:осanРешениеСкачВ случаеанНаходим абсциссы точек пересечения графиков функцийВычисляем площадь:очевидно::U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 15-23Условие задачиtiGTВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.осanРешениеанНайдем точки пересечения:Так как функции. Тогда:СкачВозьмемпериодичны (с периодомилиПриПрина отрезке.), то берем любой отрезок длинойГде:tiGTU.ruПлощадь фигуры найдем по формуле:anТеперь из площади под кривой надо вычесть площадь прямоугольника, ограниченного прямымиосИ в результате получим:Задача Кузнецов Интегралы 16-23Условие задачиСкачанВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.осantiGTU.ruРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 17-23Условие задачиРешениеанВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.СкачДлина дуги кривой, заданной уравнениемНайдем производную данной функции:Тогда по вышеприведенной формуле получаем:, определяется формулойU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 18-23tiGTУсловие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.anРешениеДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойСкачанПолучаем:осИз уравнений кривой находим:U.rutiGTanЗадача Кузнецов Интегралы 19-23осУсловие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.анРешениеСкачДлина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулойДля кривой, заданной уравнениемПолучаем:, найдем:U.rutiGTмы использовали формулу:Задача Кузнецов Интегралы 20-23осУсловие задачиanВВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.СкачанРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 21-23Условие задачивращенияU.ruВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Ось.Задача Кузнецов Интегралы 22-23аносУсловие задачиantiGTРешениеЦилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным,определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимсявнутрь цилиндра на м (см. рис.).СкачУказание: Уравнение состояния газам,м,РешениеПлощадь поршня:Объём газа в процессе сжатия:м., где– давление,– объем.U.ruДавление газа в процессе сжатия:Сила давления на поршень:СкачаносantiGTПо определению элементарная работакДж.