Интегралы 21 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-21Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-21Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Обозначим:. Получаем:. Получаем:U.ruВоспользуемся формулой интегрирования по частямtiGTОбозначим:осanВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 3-21Условие задачиСкачРешениеанВычислить неопределенный интеграл:Задача Кузнецов Интегралы 4-21Условие задачиВычислить определенный интеграл:. Получаем:tiGTU.ruРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 5-21Условие задачиanВычислить неопределенный интеграл:осРешениеСкачПолучаем:анПод интегралом неправильная дробь.

Выделим целую часть:Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTПрибавим к третьей строке первую:анТогда получаем:осanПрибавим к третьей строке вторую:СкачЗадача Кузнецов Интегралы 6-21Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:РешениеtiGTU.ruРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:anПрибавим к четвертому уравнению третье умноженное на 2:СкачаносПрибавим к четвертому уравнению второе умноженное на 4:Прибавим к четвертому уравнению первое:U.rutiGTТогда:Условие задачиРешениеосНайти неопределенный интеграл:anЗадача Кузнецов Интегралы 7-21СкачанРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:antiGTU.ruВычтем из третьего уравнения первое:аносТогда:Задача Кузнецов Интегралы 8-21СкачУсловие задачиВычислить определенный интеграл:РешениеВоспользуемся универсальной подстановкой:U.rutiGTОткуда:anПодставим:Замена:аносПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 9-21СкачУсловие задачиВычислить определенный интеграл:РешениеВоспользуемся подстановкой:tiGTU.ruОткуда:осanПодставим:Задача Кузнецов Интегралы 10-21анУсловие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеU.rutiGTanосанЗадача Кузнецов Интегралы 11-21Условие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеЗамена:U.rutiGTПолучаем:осanЗамена:СкачанПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 12-21Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruРешениеtiGTЗамена:anПолучаем:Условие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 13-21СкачРешениеанНайти неопределенный интеграл:Под интегралом дифференциальный биномТак, как, откуда- целое, то используем замену:, где- знаменатель дроби.U.ruТ.е.

в нашем случае замена имеет вид:осantiGTПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 14-21анУсловие задачиВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:СкачРешениеU.rutiGTУсловие задачиanЗадача Кузнецов Интегралы 15-21СкачанРешениеосВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.Найдем точки пересечения:.U.ruИз условия задачи, интервалtiGTТогда абсциссы точек пересечения будут:Вычисляем площадь:СкачаносanГдеЗадача Кузнецов Интегралы 16-21Условие задачиВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.U.ruи тогда получаем:СкачанГдеосantiGTРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 17-21U.ruУсловие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.РешениеanНайдем производную данной функции:, определяется формулойtiGTДлина дуги кривой, заданной уравнениемСкачаносТогда по вышеприведенной формуле получаем:Задача Кузнецов Интегралы 18-21U.ruУсловие задачиРешениеtiGTВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойдля заданной кривой:anНайдем производные поаносПолучаем:СкачЗадача Кузнецов Интегралы 19-21Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.РешениеДлина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулой, найдем:ВосantiGTПолучаем:U.ruДля кривой, заданной уравнениеммы использовали формулу:анЗадача Кузнецов Интегралы 20-21Условие задачиСкачВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.tiGTU.ruРешениеОснование рассматриваемой области - полуэллипс, в которомприanприТо есть,осРассмотрим поверхностьСкачанТеперь рассмотрим площадь основания и найдем объем данного тела:U.ruОтвет:Задача Кузнецов Интегралы 21-21Условие задачиВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Осьвращения.осantiGTРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 22-21СкачанУсловие задачиЦилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным,определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимсявнутрь цилиндра на м (см. рис.).Указание: Уравнение состояния газа, где– давление,– объем.м,м,м.U.ruРешениеПлощадь поршня:Объём газа в процессе сжатия:tiGTДавление газа в процессе сжатия:Сила давления на поршень:СкачаносanПо определению элементарная работакДж.