Интегралы 20 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-20Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:. Получаем:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-20Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Обозначим:Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Получаем:U.rutiGTanОбозначим:СкачаносВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 3-20Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:. Получаем:U.ruРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 4-20Условие задачиtiGTВычислить определенный интеграл:осanРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 5-20Условие задачиСкачРешениеанВычислить неопределенный интеграл:Под интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:Получаем:U.rutiGTВоспользуемся методом неопределенных коэффициентов:Задача Кузнецов Интегралы 6-20осУсловие задачиanТогда получаем:Вычислить неопределенный интеграл:анРешениеСкачРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTПрибавим ко второму уравнению первое умноженное на -3:осanПрибавим к четвертому уравнению третье умноженное на 2:СкачанПрибавим к четвертому уравнению первое умноженное на 20:Тогда:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 7-20Условие задачиtiGTНайти неопределенный интеграл:РешениеаносanРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачВычтем из третьего уравнения второе:U.ruantiGTВычтем из четвертого уравнения второе:аносТогда:Задача Кузнецов Интегралы 8-20Условие задачиСкачВычислить определенный интеграл:РешениеВоспользуемся универсальной подстановкой:U.ruОткуда:antiGTПодставим:Условие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 9-20РешениеанВычислить определенный интеграл:СкачВоспользуемся подстановкой:Откуда:tiGTU.ruПодставим:Задача Кузнецов Интегралы 10-20Условие задачиanВычислить определенный интеграл:СкачаносРешениеU.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 11-20Условие задачиanВычислить определенный интеграл:РешениеСкачаносЗамена:Получаем:Задача Кузнецов Интегралы 12-20Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruРешениеtiGTЗамена:аносanПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 13-20Условие задачиСкачНайти неопределенный интеграл:РешениеПод интегралом дифференциальный бином, откудаU.ruТак, как- целое, то используем замену:, где- знаменатель дроби.tiGTТ.е.

в нашем случае замена имеет вид:аносanПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 14-20Условие задачиСкачВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:осantiGTU.ruРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 15-20Условие задачиСкачРешениеанВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.Так как функциипериодичны (с периодомВозьмем. Тогда:илиПри.Где:СкачаносПлощадь фигуры найдем по формуле:anПрина отрезке), то берем любой отрезокtiGTдлинойU.ruНайдем точки пересечения:Теперь из площади под кривой надо вычесть площадь прямоугольника, ограниченного прямымиИ в результате получим:Задача Кузнецов Интегралы 16-20U.ruУсловие задачиВычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.и тогда получаем:СкачанГдеосantiGTРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 17-20U.ruУсловие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.РешениеanНайдем производную данной функции:, определяется формулойtiGTДлина дуги кривой, заданной уравнениемСкачаносТогда по вышеприведенной формуле получаем:Задача Кузнецов Интегралы 18-20Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.U.ruРешениеНайдем производные подля заданной кривой:СкачаносanТогда по вышеприведенной формуле получаем:tiGTДлина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулойЗадача Кузнецов Интегралы 19-20Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.U.ruРешениеДлина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулой, найдем:tiGTДля кривой, заданной уравнениемВаносanПолучаем:мы использовали формулу:Задача Кузнецов Интегралы 20-20СкачУсловие задачиВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.РешениеВ сечении данной фигуры плоскостьюнаходится эллипс:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 21-20Условие задачиВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Ось.anвращенияСкачаносРешениеПоскольку осьявляется осью вращения, то объём находится по формуле:Найдем объём тела, как разность объёмов двух тел вращения:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 22-20Условие задачит,tiGTОпределить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли навысотукм. Масса спутника равнат, радиус Земликм. Ускорение свободного2падения у поверхности Земли положить равным 10 м/с .км.Решение, гдеanПо определению элементарная работаН*м*м / (кг*кг)сила притяжения на высотеСкачДжаноссила притяжения на поверхности Земли.