lect4mag (Лекции Огурцова по физике)

источников. Те точки поля в которых дивергенция положительна называютсяисточниками поля, а в которых отрицательна — стоками векторного поля.Используя теоремы Стокса и Гаусса, можно представить полнуюсистемууравненийМаксвеллавдифференциальнойформе(характеризующих поле в каждой точке пространства):rr∂Brot E = −∂trdiv D = ρrr r ∂Drot H = j +∂trdiv B = 0МАГНЕТИЗМ4–32А.Н.ОгурцовЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕМАГНЕТИЗМУравнения Максвелла не симметричны относительно электрического имагнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрическиезаряды, но нет зарядов магнитных.rТак, например, уравнение div D = ρявно демонстрирует, чтоисточниками электрического поля являются положительные электрическиезаряды, а стоками — отрицательные электрические заряды. Уравнениеrdiv B = 0 отражает тот факт, что не существует источников и стоков магнитногополя — "магнитных зарядов".В случае если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно,то обе формы уравнений Максвелла — интегральная и дифференциальная –эквивалентны.

Однако если имеются поверхности разрыва — поверхности, накоторых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральнаяформа уравнений является более общей.Для того чтобы эти уравнения Максвелла в дифференциальной формебыли справедливы и на границах сред, где величины, входящие в уравнения,меняются скачкообразно, необходимо дополнить эти уравнения граничнымиусловиями, которым должно удовлетворять магнитное поле на границераздела двух сред. Эти соотношения были рассмотрены ранее:Dn1 = Dn 2 , Eτ 1 = Eτ 2 , Bn1 = Bn 2 , H τ 1 = H τ 2(первое и последнее уравнения выведены для случая, когда на границераздела нет ни свободных зарядов, ни токов проводимости).Уравнения Максвелла — наиболее общие уравнения дляэлектрических и магнитных полей в покоящихся средах.

Онииграют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законыНьютона в механике.А.Н.Огурцов. Лекции по физике.45th ed., 20024–24–31Магнитное поле1. Основные особенности магнитного поля.В 19 веке опытным путем были исследованы законы взаимодействияпостоянных магнитов и проводников, по которым пропускался электрическийток. Опыты показали, что подобно тому, как в пространстве, окружающемэлектрические заряды, возникает электростатическое поле, так и впространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовоеполе, которое называется магнитным.Были установлены два экспериментальных факта:1) магнитное поле действует на движущиеся заряды;2) движущиеся заряды создают магнитное поле.Этим магнитное поле существенно отличается от электростатического,которое действует как на движущиеся, так и на неподвижные заряды.Магнитное поле не действует на покоящиеся заряды.Опыт показывает, что характер воздействия магнитного поля на токзависит от (1) формы проводника, по которому течет ток; от (2) расположенияпроводника и от (3) направления тока.2.

Рамка с током. Направление магнитного поля.Аналогично тому, как при исследовании электростатического поляиспользовался точечный пробный заряд, при исследовании магнитного поляиспользуется замкнутый плоский контур с током (рамка с током), линейныеразмеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующихмагнитное поле.Ориентация контура в пространстве характеризуется направлениемrнормали n к контуру.В качестве положительного направления нормали принимается направление,связанное с током правилом правого винта(правилом буравчика):За положительное направление нормалипринимается направление поступательногодвижения правого винта, головка котороговращается в направлении тока, текущего врамке.Магнитное поле оказывает на рамку стоком ориентирующее действие, поворачиваяее определенным образом.

Это свойствоиспользуетсядлявыборанаправлениямагнитного поля.За направление магнитного поля вданной точке принимается направление, вдоль которого располагаетсяположительная нормаль к свободно подвешенной рамке с током, илинаправление, совпадающее с направлением силы, действующей на северныйполюс (N) магнитной стрелки, помещенный в данную точку поля.А.Н.Огурцов. Лекции по физике.Для того, чтобы эта система уравнений была полной ее необходимодополнить такими соотношениями, в которые входили бы величины,характеризующие индивидуальные свойства среды, в которой возбуждаютсяэлектрическиеимагнитныеполя.Этисоотношенияназываютсяматериальными соотношениями:rr rr rrD = ε 0εE , B = µ 0 µH , j = γE ,где ε 0 и µ 0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные, εи µ — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, γ —удельная проводимость вещества.Из уравнений Максвелла следует, что— источниками электрического поля являются либо электрическиезаряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля,— магнитные поля могут возбуждаться либо движущимисяэлектрическимизарядами(электрическимитоками),либопеременными электрическими полями,— переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым имэлектрическим полем, а переменное электрическое поле всегдасвязано с порождаемым им магнитным, т.е.

электрическое и магнитноеполя неразрывно связаны друг с другом — они образуют единоеэлектромагнитное поле.Для стационарных полей ( E = const и B = const ) уравнения Максвеллаимеют видrrrr∫ E dl = 0; ∫ DdS = q; ∫ H dl = I ; ∫ B dS = 0LSLSВ этом случае электрические и магнитные поля независимы друг отдруга, что позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитноеполе.Воспользуемся известными из векторного анализа теоремами Стокса иГаусса (см. стр.1-31):rr∫ Adl = ∫ rot AdS ,LSSVrr∫ AdS = ∫ div AdVrПо определению, дивергенцией и ротором векторного поля A в даннойточке M называют следующие производные по объёму:rrrdiv A( M ) = lim∫ AdSr∫ AdSSrrot A( M ) = lim SSV →0где интегралы∫ [ A, dS ]иVV →0r∫ [ A, dS ]V,есть, соответственно, скалярный иSвекторный потоки векторного поля через замкнутую поверхность S , котораяокружает данную точку M , охватывая область с объёмом V .Дивергенция есть мера источников поля. Если в некоторой областидивергенция равна нулю, то векторное поле в этой области свободно отМагнетизм4–304–3Если в каком-либо проводнике имеется переменный ток, то внутрипроводника существует переменное электрическое поле.

Поэтому внутрипроводника имеется и ток проводимости, и ток смещения и магнитное полепроводника определяется суммой этих двух токов.Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимостии смещения. Плотность полного токаrjполнrr r ∂D ∫ H dl = ∫  j + ∂t dSLSrОбобщенная теорема о циркуляции вектора H представляет собойвторое уравнение системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля.45. Полная система уравнений Максвелла.Третье уравнение системы уравнений Максвелладля электромагнитногоrполя это теорема Гаусса для поля D .

Для заряда, непрерывнораспределенного внутри замкнутой поверхности с объемной плотностью ρ , этоуравнение имеет вид:r∫ DdS = ∫ ρdVSVrЧетвертое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса для поля B :r∫ BdS = 0SТаким образом, система уравнений Максвелла в интегральнойформеrr∂B∫ E dl = − ∫ ∂t dS ;LSr∫ D dS = ∫ ρdVVrr r ∂D ∫ H dl = ∫  j + ∂t dS ;LSr∫ BdS = 0SА.Н.Огурцов. Лекции по физике.rpm —гдеrr ∂D=j+∂tПолный ток всегда замкнут. На концах проводников обрывается лишь токпроводимости, а в диэлектрике (или в вакууме) между концами проводникаимеется ток смещения, который замыкает ток проводимости.Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвеллприписал току смещения лишь одно — способность создавать в окружающемпространстве магнитное поле.rМаксвелл обобщил теорему о циркуляции вектора H , использовавполный ток:S3.

Вектор магнитной индукции.Вращающий момент сил зависит как от свойств поля в данной точке, так иот свойств рамки с током и определяется векторным произведением:rr rM = [ p m , B] ,rвектормагнитногоrмомента рамки с током, B — вектормагнитной индукции — силоваяхарактеристика магнитного поля. Поопределению векторного произведенияскалярная величина момента:M = pm B sin α ,rгде α — угол между векторами p m и B .Для плоского контура с током I магнитный момент определяется:rrp m = ISn ,rгде S — площадь поверхности контура (рамки), n — единичный векторrr rнормали к поверхности рамки. В этом случае вращающий момент M = IS[ n , B ] .Если в данную точку магнитного поля помещать рамки с различнымимагнитными моментами, то на них действуют различные вращающие моменты,но отношениеM maxдля всех контуров одно и то же.pmАналогично тому, как силовая векторная характеристика электростатического поля — напряженность — определялась как сила, действующая напробный заряд,r силовая характеристика магнитного поля — магнитнаяиндукция B — определяется максимальным вращающим моментом,действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когданормаль к рамке перпендикулярна направлению поля.Графически магнитное поле, так же как электрическое, изображают спомощью линий магнитной индукции — линий,r касательные к которым вкаждой точке совпадают с направлением вектора B .Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники стоком, в то время, как линии электростатического поля — разомкнуты (ониначинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах).4.

Макротоки и микротоки.В дальнейшем мы будем различать макроскопические токи, т.е.электрические токи, протекающие по проводникам в электрических цепях имикроскопические токи, обусловленных движением электронов в атомах имолекулах.Намагниченность постоянных магнитов является следствием существованием в них микротоков.Внешнее магнитное поле оказывает ориентирующее, упорядочивающеедействие на эти микротоки. Например, если вблизи какого-то тела поместитьпроводник с током (макроток), то под действием его магнитного полямикротоки во всех атомах определенным образом ориентируются, создавая втеле дополнительное магнитное поле.Магнетизм4–44–29rВектор магнитной индукции B характеризует результирующее магнитноеполе, создаваемое всеми макро- и микротоками.rПоэтому, при одном и том же макротоке, вектор B в различных средахбудет иметь разные значения.Магнитное полеr макротока описывается вектором напряженностимагнитного поля H .В среде магнитное поле макротоков усиливается за счет поля микротоковсреды.rrциркуляция E q равна нулю, то циркуляция суммарного поля:где µ 0 — магнитная постоянная (см.

п.12), µ — магнитная проницаемость среды (п.39), безразмерная величина, показывающая, во сколькораз магнитное поле макротоков H усиливается за счет поля микротоков среды.6. Подобие векторных характеристик электростатического и магнитногополей.rВектор магнитнойr индукции B — аналог вектора напряженности электростатического поля E . Эти величины определяют силовые действия этих полейи зависят от свойств среды.rАналогом rвектора электрического смещения D является векторнапряженности H магнитного поля.Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принципсуперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемогонесколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной суммемагнитных индукций полей, создаваемых каждым током или движущимсязарядом.rЭлемент проводника dl с током I создает внекоторой точке A индукцию поля:rr µ 0 µ I [dl , rr ]dB =4πr3rгде r — радиус-вектор, проведенный из элементаdl проводника в точку A .rrrНаправление dB перпендикулярно dl и r , исовпадает с касательной к линии магнитнойrиндукции.