Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики, страница 9

Посколькуподынтегральная функция всегда неотрицательна, то I(λ) ≥ 0 при любом1В частности, Ĉ может быть просто действительным числом [см., например, (4.16)].36значении λ. Интеграл (4.24) можно преобразовать следующим образом: (λ ∆ + i∆B̂)Ψ dV =I(λ) =(λ ∆Â∗ − i∆B̂ ∗ )Ψ∗==Ψ∗ (λ ∆ − i∆B̂)(λ ∆ + i∆B̂) Ψ dV =Ψ∗ λ2 (∆Â)2 + (∆B̂)2 + iλ[∆Â, ∆B̂] Ψ dV.Во второй строке мы “перебросили” действие операторов на Ψ с помощью операции транспонирования [см. (4.4)] и учли, что ∆ и ∆B̂ — эрмитовые операторы.Вспоминая теперь формулы (4.20) и (4.23), находимI(λ) = λ2 (∆A)2 − λ Ĉ + (∆B)2 ≥ 0.(4.25)Как известно из элементарной математики, для того, чтобы при любом значенииλ выражение (aλ2 − bλ + c) было неотрицательным, его дискриминант долженудовлетворять условию (b2 − 4ac) ≤ 0. Применив это условие к (4.25), получаемнеравенство1 ∆A ∆B ≥ Ĉ ,(4.26)2которое называется соотношением неопределенностей для физических величин A и B.

Наиболее интересные следствия из неравенства (4.26) получаютсядля координат частицы x, y, z и соответствующих проекций импульса. Используявыражения (4.16) для коммутаторов, находим, что∆x ∆px ≥1,2∆y ∆py ≥1,2∆z ∆pz ≥1.2(4.27)Это — знаменитые соотношения неопределенностей Гайзенберга, полученные им в 1927 году.Соотношения неопределенностей Гайзенберга в свое время сыграли важнуюроль в осмыслении квантовой механики.

Из них, в частности, следует, что движение микрочастицы нельзя представлять себе как движение по траектории. Всамом деле, для существования траектории необходимо, чтобы в каждый моментвремени частица имела определенные радиус-вектор r и скорость v = p/m. Другим словами, необходимо, чтобы неопределенности координат и проекций скоростив одном и том же состоянии были равны нулю1 . Из соотношений (4.27) следует,однако, что∆x ∆vx ≥,(4.28)2mгде ∆vx — неопределенность проекции скорости на ось x. Чем меньше неопределенность координаты x частицы, тем больше неопределенность vx , и наоборот.Подчеркнем еще раз, что речь идет о принципиальной возможности сколь угодноточного измерения координат и скорости частицы, а не о практической осуществимоститакого измерения.137Таким образом, не существует квантовых состояний, в которых неопределенностикоординаты и проекции скорости обе равны нулю.

В этом смысле нельзя предполагать, что движение частицы происходит по траектории. Заметим также, чтонеравенство (4.28) объясняет тот факт, что квантовые эффекты не проявляютсяу макроскопических тел. Все дело в массе объекта m. Ввиду малости постояннойПланка ( ≈ 10−34 Дж·с) неравенство (4.28) существенно только для микрочастиц1 .Для макроскопических тел это неравенство выполняется с огромным запасом привсех разумных ограничениях на неопределенности координат и скорости. Поэтомуквантовое описание движения макроскопических тел практически не отличаетсяот классического.

В некоторых случаях неравенство (4.28) выполняется и для микрочастиц, если размеры области движения l и характерная скорость микрочастицыv удовлетворяют условиюmvl .(4.29)Так как при этом одновременно могут выполняться неравенства ∆x l, ∆vx v и∆x ∆vx ≥ /2m, то, не вступая в противоречие с соотношениями Гайзенберга, можно пренебречь квантовыми неопределенностями координат и скорости и описыватьдвижение микрочастиц с помощью уравнений классической механики.

Такое приближение называется квазиклассическим. Например, оно часто применяется вфизике твердого тела для описания движения электронов проводимости.Приведем другую форму условия квазиклассического приближения. Так как/mv = /p = λ/2π, где λ — длина волны де-Бройля частицы, то условие (4.29)эквивалентно неравенству λ l. Таким образом, квазиклассическое приближениеможно применять тогда, когда длина волны де-Бройля гораздо меньше размеровобласти движения частицы.4.6.Изменение средних значений физических величинсо временемРассмотрим еще одно важное применение алгебры операторов.

Пусть Â — оператор некоторой физической величины, а Ψ(r, t) — волновая функция квантовогосостояния частицы. Вообще говоря, среднее значение величины At(4.30)A = Ψ∗ ÂΨ dVизменяется со временем. Это может происходить по двум причинам. Во-первых,волновая функция Ψ изменяется со временем согласно уравнению Шредингера (3.4). Во-вторых, сам оператор Â может явно зависеть от времени2 . Вычислимпроизводную dAt /dt, которая характеризует быстроту изменения среднегозначения данной динамической переменной.

С этой целью продифференцируемобе части (4.30) по t: ∂Ψ∗dAt∂Ψ∗ ∗ ∂ Â∗Ψ=Ψ+ÂΨ + Ψ ÂdV.dt∂t∂t∂tВ качестве характерного значения массы микрочастицы можно взять, например, массу электрона me = 0, 911 · 10−30 кг.2Например, во внешнем переменном поле гамильтониан частицы Ĥ зависит от времени[см. (3.5)].

В дальнейшем нам встретятся и другие операторы динамических переменных,которые могут включать явную зависимость от t.138Производная ∂ Â/∂t отлична от нуля в случае, когда оператор Â явно зависит отвремени. Исключим теперь производные волновых функций с помощью уравненияШредингера (3.4) и комплексно сопряженного уравнения. Подставляя выражения∂Ψ1Ĥ(t)Ψ,=∂ti∂Ψ∗1= − Ĥ ∗ (t)Ψ∗ ,∂tiполучаемdAt=dt 1 ∗1 ∗ ∗∗ ∂ ÂΨĤ Ψ ÂΨ + Ψ Â ĤΨ dV.Ψ−∂tiiВ качестве последнего шага наших преобразований перенесем во втором члене вфигурных скобках действие Ĥ ∗ на функцию ÂΨ с помощью операции транспонирования. Так как гамильтониан всегда является эрмитовым оператором, то мыприходим к соотношению, которое называется теоремой о средних значениях:dAt=dtdÂdtt.(4.31)Здесь введен оператор∂ Â1dÂ=+ [Â, Ĥ] ,dt∂ti(4.32)который принято называть полной производной оператора Â по времени.Предлагаем читателю самостоятельно доказать, что если оператор Â эрмитов, тоего полная производная по времени также является эрмитовым оператором.Обратим внимание на одно интересное следствие из равенства (4.31).

Предположим, что оператор Â не зависит явно от времени и коммутирует с гамильтонианом. Тогда dÂ/dt = 0 и, следовательно, среднее значение A не изменяетсясо временем в любом квантовом состоянии! Естественно назвать такие динамические переменные сохраняющимися переменными. Для них используют такженазвание интегралы движения.

Приведем частный, но важный пример сохраняющейся переменной. Пусть частица находится в стационарном внешнем потенциальном поле. Тогда ее гамильтониан Ĥ не зависит явно от времени. Кроме того,очевидно, что [Ĥ, Ĥ] = 0. Мы приходим к заключению, что Ĥ = const. Какуже отмечалось, гамильтониан соответствует энергии частицы. Поэтому в стационарном внешнем поле энергия частицы есть интеграл движения. Этот вывод,который является прямым следствием уравнения Шредингера, аналогичен утверждению, хорошо известному из классической механики: при движении в стационарном потенциальном поле сохраняется механическая энергия частицы, равнаясумме кинетической и потенциальной энергий. Подчеркнем, однако, что для произвольного квантового состояния, даже в стационарном поле, сохраняется лишьсредняя энергия частицы 1 .Энергия частицы имеет точное значение только в стационарном состоянии. Еслисостояние есть суперпозиция стационарных состояний с различными энергиями [см, например, (3.18)], то энергия имеет квантовую неопределенность ∆E.139Рассмотрим теперь одномерное движение частицы вдоль оси x и применим соотношение (4.31) к операторам координаты x̂ и импульса p̂x .

Так как оба этиоператора не зависят явно от времени, то для нихdx̂1=[x̂, Ĥ],dtidp̂x1=[p̂ , Ĥ].dti x(4.33)Записывая гамильтониан частицы в видеĤ =p̂2x+ U (x)2m(4.34)и вычисляя коммутаторы (оставляем это читателю в качестве упражнения), находим, чтоdx̂p̂dp̂x∂U= x,=−.(4.35)dtmdt∂xЗаметим, что F̂x ≡ Fx = −∂U/∂x есть оператор силы, действующей на частицу,поэтому операторные равенства (4.35) напоминают уравнения движения частицыв классической механикеdxpdpx(4.36)= x,= Fx .dtmdtЗамеченная аналогия не случайна. Покажем, что классические уравнения движения получаются из законов квантовой механики как некоторое приближение.Из формул (4.31) и (4.35) следует, чтоp dx= x ,dtmdpx = Fx .dt(4.37)Эти равенства называются теоремами Эренфеста в честь швейцарского физикаПауля Эренфеста, который вывел их в 1927 году.

Мы получили теоремы Эренфеста для одномерного движения, однако их легко обобщить на случай трехмерногодвижения. Оставляем это читателю в качестве упражнения.Приближенное описание движения частицы уравнениями классической механики оказывается возможным, если волновая функция Ψ(x, t) отлична от нулялишь вблизи среднего значения координаты x̄ = xt .

Действительно, тогда привычислении средней силы можно записать Fx (x) = Fx (x̄ + δx), где δx = x − x̄, ивоспользоваться разложением в ряд Тейлора около значения x̄:Fx (x̄ + δx) = Fx (x̄) +dFx (x̄)1 d2 Fx (x̄)(δx)2 + . . .δx +dx̄2 dx̄2Подставляя это разложение в (4.37) и учитывая, что δx = 0, получимdx̄p̄= x,dtm1 d2 Fx (x̄)dp̄x(∆x)2 + . . . ,= Fx (x̄) +dt2 dx̄2(4.38)где p̄x = px , а величина (∆x)2 = (δx)2 ≡ (x − x̄)2 есть не что иное как квадратквантовой неопределенности координаты частицы.

Если выполняется условие 2 d Fx (x̄) (∆x)2 ,| Fx (x̄) | (4.39)dx̄2 40то уравнения (4.38) практически совпадают с уравнениями движения в классической механике, причем роль классических значений координаты и импульса играют средние значения x̄ и p̄x .Условие (4.39) выполняется тем лучше, чем меньше квантовая неопределенность координаты частицы и чем более плавно изменяется в пространстве сила,действующая на частицу. Заметим, однако, что условия (4.39) еще недостаточно для того, чтобы можно было пользоваться классическим описанием движения.Дело в том, что, согласно соотношению неопределенностей ∆px ∆x ≥ /2, приочень малых значениях ∆x возникает очень большая квантовая неопределенностьимпульса, т. е.

теряет смысл понятие траектории движения частицы. Поэтомунеобходимо также потребовать, чтобы выполнялось условие | p̄x | ∆px или, чтото же самое,| p̄x | .(4.40)∆xУсловия (4.39) и (4.40) выполняются при движении частиц с достаточно большими импульсами в плавно меняющихся внешних полях. В таких случаяхдля описания движения можно пользоваться законами классической механики.Неравенства (4.39) и (4.40) можно рассматривать как уточненные условия применимости квазиклассического приближения. Полученная нами ранее оценка (4.29)фактически эквивалентна неравенству (4.40).Упражнения4.1. Проверить, что операторы импульса (3.29), радиуса-вектора (3.33), моментаимпульса (3.35) и гамильтониан (3.36) являются линейными операторами.4.2.

Определить, какие из операторов, введенных в параграфе 3, являются действительными.4.3. Проверить следующие соотношения:x̂ = x̂, p̂x = −p̂x ,L̂x = −L̂x , Ĥ = Ĥ.(4.41)4.4. Доказать равенство (4.6).ˆ Ĥ являются эрмитовыми.4.5. Проверить, что операторы rˆ, pˆ, L,4.6. Оператор момента импульса частицы (3.35) — векторное произведение операторов rˆ и pˆ. Как известно из математики, для векторного произведения обычных×B = −(B ×A ).