Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики, страница 7

Напомним соответствующиеформулы:drp = mv = m ,dtp2T =,2mE = T + U (r), = r × p.L(3.19)×B обозначается векторное произведение векторов.Здесь и далее символом AВозникает естественный вопрос: как описываются динамические переменные вквантовой механике? Или: можно ли, зная волновую функцию, предсказать результаты измерения любой динамической переменной (скажем, энергии частицыили ее импульса)? Приведем пример, показывающий, что вопрос о динамическихпеременных в квантовой механике не так прост, как в классической механике.26Предположим, что в состоянии Ψ1 измерение динамической переменной A всегдадает значение A1 , а в состоянии Ψ2 — значение A2 .

Согласно принципу суперпозиции квантовых состояний, частица может в данных условиях находиться и всостоянии с волновой функциейΨ = a1 Ψ1 + a2 Ψ2 ,(3.20)где a1 и a2 — некоторые комплексные числа. Какое значение получится при измерении динамической переменной A в состоянии (3.20)? Ясно, что оно не будет всегдаравно A1 или A2 , так как Ψ — “смесь” двух состояний.

Вопрос о том, как связано измеряемое значение динамической переменной в суперпозиции двух и болеесостояний, невозможно решить чисто логическим путем. Приходится, опираясьна эксперименты, постулировать это правило. Постулат о результатах измерениядинамических переменных в квантовой механике гласит:• Если измерение некоторой величины A в состоянии Ψ1 всегда дает результатA1 , в состоянии Ψ2 — результат A2 и т. д., то суперпозицияΨ=ai Ψi(3.21)iописывает состояние, в котором многократные измерения той же величиныбудут давать либо A1 , либо A2 и т. д.

с некоторыми вероятностями, зависящими от значений коэффициентов ai .Итак, в общем случае результаты измерения физических величин (динамическихпеременных) в квантовой механике нельзя однозначно предсказать, даже если мызнаем, в каком состоянии находится частица.3.5.Средние значения динамических переменных.ОператорыЕсли при измерении одной и той же физической величины в некотором квантовом состоянии получаются различные случайные значения, то в качестве объективной характеристики физической величины в данном состоянии естественновзять ее среднее значение по большому числу измерений1 . Таким образом, намтребуется правило вычисления средних значений физических величин в состоянии,которое описывается произвольной волновой функцией Ψ(r, t).Предположим сначала, что интересующая нас динамическая переменная A зависит лишь от координат частицы.

Примерами являются сами координаты частицы x, y, z, потенциальная энергия частицы U (r ) во внешнем поле, сила (r ),F (r ) = −∇U(3.22)действующая на частицу. Для таких динамических переменных легко сформулировать правило вычисления средних значений. Обозначая через A(r ) = A(x, y, z)значение динамической переменной в точке пространства c радиус-вектором r иВ теории вероятностей среднее значение называется также “математическим ожиданием”.127вспоминая выражение (2.24) для вероятности обнаружить частицу в малом объеме вблизи этой точки, для среднего значения At динамической переменной вмомент времени t получаем формулу, очевидную для читателя, знакомого с элементарной теорией вероятностей:tA =A(r ) dw(r, t) ≡VA(r ) |Ψ(r, t)|2 dV .(3.23)VИнтегрирование ведется по всему объему V , где может быть обнаружена частица.Простейшая динамическая переменная, которая не является функцией координат, — импульс частицы.

К сожалению, теперь мы не можем применить формулу (3.23). Чтобы правило вычисления среднего значения импульса частицы (которое фактически постулируется в квантовой механике) не показалось читателюслишком абстрактным, приведем некоторые наводящие соображения. Вспомним,что нам уже известна волновая функция состояния, в котором импульс частицыимеет определенное значение, — это волновая функция свободной частицы (2.26).В данном случае p t = p. Учитывая условие нормировки (2.25), запишем проекцию импульса на ось x виде интеграла, похожего на (3.23):t2px =px |Ψ(r, t)| dV =VΨ∗ (r, t) px Ψ(r, t) dV .(3.24)VЗаметим теперь, что для волновой функции (2.26)px Ψ(r, t) = −i∂Ψ(r, t).∂x(3.25)Итак, по крайней мере для свободной частицы,t px =∗Ψ (r, t)V∂−i∂x(3.26)Ψ(r, t) dV .Аналогичные формулы с производными по y и z можно записать и для двух другихпроекций импульса (проверьте это сами).

Хотя для свободной частицы в приведенном выше упражнении мы, конечно, не получаем ничего нового, однако правило (3.26) можно теперь распространить на произвольное состояние. Во всякомслучае, его можно принять как разумную гипотезу. Эта гипотеза оказалась верной в том смысле, что она согласуется с экспериментом и с другими правиламиквантовой механики.Введем следующие дифференциальные операторы:p̂x = −i∂,∂xp̂y = −i∂,∂yp̂z = −i∂,∂z(3.27)28которые назовем операторами проекций импульса частицы.

Тогда для любого состояния частицы постулируем правила вычисления средних значений проекций импульса (аргументы опустим для краткости): px =∗Ψ p̂x Ψ dV, py =V∗Ψ p̂y Ψ dV, pz =VΨ∗ p̂z Ψ dV .(3.28)VДоговоримся, что любой оператор всегда действует на функцию, расположеннуюсправа от него.Три правила (3.28) можно записать в виде одного, если ввести векторный операторpˆ = −i∇оператор импульса,(3.29) — оператор “набла” (3.7).

Формулы (3.28) эквивалентны векторному равенгде ∇ствуp = Ψ∗ pˆ Ψ dV .(3.30)VСформулированное выше правило вычисления среднего импульса частицы переносится в квантовой механике на все динамические переменные:• Каждой динамической переменной A соответствует оператор Â, действующий на волновые функции. Среднее значение динамической переменной всостоянии, которое описывается волновой функцией Ψ(r, t), вычисляется поформуле1A = Ψ∗ ÂΨ dV .(3.31)VВернемся теперь к выражению (3.23) для средних значений динамических переменных, которые являются функциями координат частицы. Сравнивая это выражение с общим правилом (3.31), приходим к заключению, что операторы координатчастицы совпадают с самими координатами, т. е.x̂ = x,ŷ = y,ẑ = z,(3.32)или, что то же самое, оператор радиуса-вектора частицы совпадает с самимрадиусом-вектором:rˆ = rоператор радиуса-вектора.(3.33)Действие операторов (3.32) и (3.33) на волновую функцию сводится к умножению,например, x̂Ψ = xΨ.Чтобы подчеркнуть квантовый характер динамической переменной, ее среднее значение A часто записывается в виде Â.

Мы будем использовать оба варианта записисредних значений.1293.6.Примеры операторов динамических переменныхВ нашем распоряжении теперь имеется формула (3.31) для вычисления средних значений динамических переменных и явные выражения для операторов rˆ иpˆ. Как строятся операторы других динамических переменных? Во многих случаях работает такое правило.

Если классическая динамическая переменная A(r, p )является функцией координат и импульса, то квантовый оператор этой динамической переменной Â получается в результате замены r → rˆ, p → pˆ , т. е.A(r, p ) → Â = A(rˆ, pˆ ).(3.34) [см. (3.19)] это правило даетНапример, для момента импульса частицы Lˆ = rˆ × pˆLоператор момента импульса.(3.35)Рекомендуем читателю самостоятельно записать выражения для операторов проекций момента импульса L̂x , L̂y , L̂z (см. упражнение 3.5.).Другой важный пример оператора, который можно построить по правилу (3.34), — оператор энергии частицы. Заметим, что квадрат оператораимпульса (3.29) равен p̂ 2 = pˆ · pˆ = −2 ∇2 .

Поэтому гамильтониан частицы (3.5)можно записать так:p̂ 2Ĥ(t) =+ U (rˆ , t).(3.36)2mМы видим, что оператор Ĥ соответствует классической динамической переменной E = p2 /2m + U (r , t), то есть энергии частицы. Таким образом, в квантовоймеханике гамильтониан — оператор энергии.К сожалению, правило построения квантовых операторов, выражаемое формулой (3.34), не является универсальным. Дело в том, что некоторые динамическиепеременные в квантовой механике не имеют классических аналогов1 . В каждомиз подобных случаев проблему построения правильного квантового оператораприходится решать отдельно.Упражнения3.1. Проверить, что волновая функция свободной частицы (2.26) удовлетворяетуравнению Шредингера (3.3), где U = 0.3.2. Подставить выражение (3.8) в уравнение Шредингера (3.4) и показать, чтоΨ и Ψ удовлетворяют системе уравнений∂Ψ= ĤΨ ,∂t∂Ψ= −ĤΨ .∂t(3.37)Указание: Учесть, что гамильтониан (3.5) — действительный оператор.Важный пример такой динамической переменной — спин (собственный момент импульса) частицы.1303.3.

Квантовое состояние частицы описывается волновой функцией (3.18), гдеa1 и a2 — действительные числа. Показать, что плотность вероятности в этомсостоянии имеет вид|Ψ(r, t)|2 = a21 |ψE1 (r )|2 + a22 |ψE2 (r )|2 +i∗+ 2a1 a2 Re ψE2 (r )ψE1 (r ) exp (E2 − E1 )t .(3.38)Как принято в математике, символом Re{z} обозначена действительная часть комплексного числа z. В каком случае плотность вероятности (3.38) не зависит отвремени?3.4. Записать явное выражение для оператора кинетической энергии частицыT̂ . Вычислить среднее значение T t для свободной частицы с волновой функцией (2.26).3.5. Используя выражение (3.35) для оператора момента импульса, вывести следующие формулы для операторов проекций момента импульса на оси декартовойсистемы координат:∂∂∂∂∂∂L̂x = −i y−z, L̂y = −i z−x, L̂z = −i x−y.∂z∂y∂x∂z∂y∂x(3.39)4.Алгебра операторовПоскольку квантовые динамические переменные описываются операторами,действующими на волновые функции, имеет смысл обсудить наиболее важныесвойства операторов и их связь с физическим содержанием квантовой механики.4.1.Основные свойства операторов динамическихпеременныхВ математике оператором Â называется любое преобразование одной функции1Φ в другую функцию Φ :Φ (r ) = (ÂΦ)(r ).(4.1)Операторы, которые соответствуют динамическим переменным, должны удовлетворять некоторым условиям, вытекающим из основных принципов квантовой механики.