Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики, страница 6

Тогда принцип причинности требует, чтобы можно было найтиволновую функцию Ψ(r, t + dt), где dt — бесконечно малый промежуток времени. Согласно математике, новая волновая функция в каждой точке пространствадается формулой∂Ψ(r, t)dt,(3.1)Ψ(r, t + dt) = Ψ(r, t) +∂tгде ∂Ψ/∂t — частная производная по времени. Таким образом, мы можем сделать “бесконечно малый” шаг по времени в предсказании поведения частицы, еслиПонятие волновой функции естественным образом обобщается на произвольную систему, состоящую из N частиц. В этом случае волновая функция зависит от координатвсех частиц и времени: Ψ = Ψ(r1 , r2 , .

. . , rN , t).122частная производная волновой функции в любой точке пространства r в моментвремени t определяется значениями волновой функции Ψ(r , t) в тот же моментвремени. Символически сказанное выше записывается в виде уравнения∂Ψ(r, t)= F {r, t; Ψ} ,∂t(3.2)где F — некоторая величина, зависящая явно от r, t (явная зависимость от t возникает тогда, когда внешнее поле является переменным) и от значений волновойфункции во всем пространстве1 . Фактически (3.2) и будет основным уравнениемквантовой динамики частицы, если найти выражение для F. Заметим, что одноважное свойство правой части уравнения (3.2) можно заранее предсказать, есливспомнить принцип суперпозиции квантовых состояний.

Согласно этому принципу, произвольная линейная комбинация двух решений Ψ1 и Ψ2 уравнения (3.2) тожедолжно быть решением этого уравнения. Поэтому правая часть уравнения (3.2)должна быть линейна относительно волновой функции.3.2.Уравнение Шредингера для одной частицыПравильное выражение для правой части уравнения (3.2) удалось найтиЭ. Шредингеру, который тем самым построил волновую механику. В развернутойформе уравнение Шредингера для волновой функции частицы массы mзаписывается так:2 ∂ 2 Ψ(r, t) ∂ 2 Ψ(r, t) ∂ 2 Ψ(r, t)∂Ψ(r, t)=−+ U (r, t) Ψ(r, t),(3.3)++i∂t2m∂x2∂y 2∂z 2где U (r, t) — потенциальная энергия частицы во внешнем поле. Отметим, чтоуравнение Шредингера имеет вид (3.2), т.

е. согласуется с квантовым принципомпричинности, и является линейным уравнением относительно волновой функции.Уравнение Шредингера принято записывать в кратком символическом видеi∂Ψ= Ĥ(t)Ψ ,∂t(3.4)где введен оператор Гамильтона или гамильтонианĤ(t) = −2 2∇ + U (r, t).2m(3.5)В математике дифференциальный оператор∇2 =∂2∂2∂2++∂x2 ∂y 2 ∂z 2(3.6)В математике величины, подобные F, которые зависят сразу от всех значений функции, называют функционалами.123называется оператором Лапласа1 .

Его можно формально представить как скаляр · ∇, гденое произведение ∇ = ex ∂ + ey ∂ + ez ∂∇∂x∂y∂z(3.7)— векторный оператор “набла”, ex , ey , ez — орты декартовой системы координат.Уравнение Шредингера, записанное в форме (3.4), справедливо для произвольной квантовой системы, но явное выражение для гамильтониана определяетсясвойствами системы. Даже для одной частицы, как мы увидим позже, гамильтониан не всегда имеет вид (3.5), так как воздействие на частицу не всегда удаетсяописать потенциальной энергией2 .Уравнение Шредингера в квантовой механике постулируется, как в классической механике постулируются законы Ньютона. Отметим, однако, что уравнение Шредингера (3.3) само по себе является приближением.

В частности, оно неучитывает релятивистские эффекты. В релятивистской квантовой механикеуравнение Шредингера выводится как приближенное уравнение, справедливое вслучаях, когда скорости движения частиц значительно меньше скорости света.Сделаем несколько замечаний об уравнении Шредингера с математической точки зрения. Прежде всего заметим, что в общем случае решениями этого уравнения являются функции Ψ(r, t), принимающие комплексные значения.

Впрочем,на стр. 15 уже отмечалось, что сама волновая функция не является наблюдаемойвеличиной, которую можно непосредственно измерить приборами. Поэтому ни ккаким “парадоксам” использование комплексных решений уравнения Шредингеране приводит. В принципе, можно вообще обойтись без комплексных функций, таккак вместо Ψ можно использовать две действительные функции Ψ и Ψ , которыеопределяются соотношениемΨ(r, t) = Ψ (r, t) + iΨ (r, t).(3.8)Из уравнения (3.4) легко получить систему уравнений для Ψ и Ψ (см.

упражнение 3.2.).Далее, уравнение Шредингера содержит первую производную волновой функции по времени и вторые производные по координатам. Для того, чтобы существовали эти производные, необходимо потребовать, чтобы Ψ(x, y, z, t) была непрерывной функцией времени и координат и, кроме того, чтобы ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂zбыли непрерывными функциями координат. Очевидно также, что Ψ должна бытьвсюду конечной и однозначной функцией. Перечисленные требования к волновой функции особенно важно учитывать при построении приближенных решенийуравнения Шредингера.3.3.Стационарные квантовые состоянияРассмотрим теперь частный, но важный случай, когда частица находится встационарном внешнем поле U (r ), не зависящем от времени.

Ясно, что тогдагамильтониан частицы (3.5) также не зависит явно от времени. Покажем, что в12Для оператора Лапласа используется также обозначение ∆.Важный пример такого рода — движение заряженной частицы в магнитном поле.24этом случае уравнение Шредингера (3.4) имеет решения с разделяющимися переменными:Ψ(r, t) = ψ(r ) A(t).(3.9)Подставляя эту функцию в (3.4), получаемdA(t)dt = Ĥψ(r ) .A(t)ψ(r )i(3.10)Поскольку выражение в левой части есть функция времени, а выражение в правойчасти — функция координат, равенство может выполняться лишь тогда, когда обеего части равны одной и той же постоянной величине.

Обозначим эту величинуE. Таким образом, мы приходим к двум уравнениямidA(t)= EA(t),dtĤψ(r ) = Eψ(r ).Решение уравнения (3.11) легко находится:iA(t) = exp − Et .(3.11)(3.12)(3.13)Вообще говоря, перед экспонентой следует поставить произвольный постоянныймножитель, так как уравнение (3.11) однородное и линейное, однако этот множитель можно отнести к функции ψ(r), которая сама определяется из уравнения (3.12) с точностью до произвольного постоянного множителя.

Итак, мы показали, что в случае, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени,уравнение Шредингера имеет решения видаiΨE (r, t) = ψE (r ) exp − Et ,(3.14)где ψE (r ) удовлетворяет уравнениюĤψE (r ) = E ψE (r ) .(3.15)Мы снабдили функции ΨE и ψE индексами, чтобы подчеркнуть, что их вид зависитот значения постоянной E.Волновые функции (3.14) обладают важным свойством|ΨE (r, t)|2 = |ψE (r )|2 .(3.16)Отметим, что хотя сама волновая функция (3.14) зависит от времени, квадрат еемодуля, т. е. плотность вероятности, от времени не зависит. Иначе говоря, вероятность регистрации частицы в любом объеме не изменяется со временем. Поэтой причине квантовые состояния, которые описываются волновыми функциями25вида (3.14), называются стационарными состояниями. Уравнение (3.15) длякоординатной части волновой функции стационарного состояния обычно называют стационарным уравнением Шредингера. Используя выражение (3.5) длягамильтониана, стационарное уравнение Шредингера можно записать в виде∇2 ψE +2m(E − U ) ψE = 0 ,2(3.17)где U = U (r ).

Такая запись наиболее удобна, если нужно явно решать уравнение.В дальнейшем мы будем часто интересоваться стационарными состояниями частицы в заданном внешнем поле U (r ). Дело в том, что стационарные состояния —это состояния, в которых частица имеет определенную энергию. Постоянная E вуравнении (3.15) и в волновой функции (3.14) — энергия стационарного состояния.Доказательство этого утверждения мы дадим позже.Во избежание недоразумений подчеркнем, что даже в случае стационарноговнешнего поля U (r ) уравнение Шредингера имеет не только решения, описывающие стационарные состояния. Приведем простой пример. Предположим, чтоΨE1 (r, t) и ΨE2 (r, t) — волновые функции двух стационарных состояний с различными значениями энергии E.

Поскольку уравнение Шредингера линейное, тофункцияΨ(r, t) = a1 ΨE1 (r, t) + a2 ΨE2 (r, t)(3.18)с произвольными комплексными коэффициентами a1 и a2 также является решением уравнения Шредингера. Ясно, что состояние, описываемое волновой функцией (3.18), не является стационарным.3.4.Динамические переменные в квантовой механикеИтак, если волновая функция Ψ(r, t) известна, то можно предсказать вероятности регистрации частицы в момент времени t в различных малых объемах dV[см.

формулу (2.24)]. Однако это — еще не вся информация о частице, котораяможет представлять физический интерес. Вернемся к классической механике, гдесостояние движения частицы описывается зависимостью радиуса-вектора от времени, т. е. законом движения r = r (t). Кроме закона движения, важную рольиграли так называемые динамические переменные: импульс частицы p, кинетическая энергия T , потенциальная энергия частицы U , механическая энергия E, и т. д. В классической механике все динамические переменныемомент импульса Lлегко вычисляются, если известен закон движения.