Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики, страница 3

е.Eэл= m2e c4 + p2 c2 ,Eэл = me c2 ,(1.13)где p — величина импульса электрона после столкновения с фотоном, а me — массаэлектрона. Закон сохранения энергии в эффекте Комптона выглядит так:(1.14) ω + me c2 = ω + m2e c4 + p2 c2 .Между прочим, отсюда сразу видно, что ω < ω; это наблюдается и в эксперименте.Чтобы записать закон сохранения импульса в эффекте Комптона, необходимонайти выражение для импульса фотона. Это можно сделать на основе следующихпростых рассуждений.

Фотон всегда движется со скоростью света c, но, как известно из теории относительности, частица, движущаяся со скоростью света, должнаиметь нулевуюмассу. Таким образом, из общего выражения для релятивистскойэнергии E = m2 c4 + p2 c2 следует, что энергия и импульс фотона связаны соотношением E = pc. Вспоминая формулу (1.10), получаемωpф =.(1.15)cПодчеркнем, что в формуле (1.11) Eкин — максимальная энергия электронов, таккак некоторые электроны могут отдать часть энергии, полученной от фотона, другимчастицам вещества.110Это выражение часто записывается в другой форме.

Из электродинамики известно, что для света ω = 2πc/λ, где λ — длина волны. Поэтомуpф =2π.λ(1.16)Введем волновой вектор k, который направлен в сторону распространения электромагнитного излучения и имеет величину1 k = 2π/λ. Тогда из (1.16) следуетвыражение для импульса фотонаpф = k .(1.17)Теперь закон сохранения импульса в эффекте Комптона можно записать в виде k = k + p.(1.18)Решение системы уравнений (1.12) и (1.18), которое мы оставляем читателю (см.упражнение 1.2.), приводит к следующей формуле для изменения длины волнырассеянного излучения ∆λ = λ − λ:∆λ = λC (1 − cos ϑ) ,(1.19)где ϑ — угол рассеяния, показанный на Рис.

1.3. ВеличинаλC =2πmc(1.20)называется комптоновской длиной волны частицы (массы m), на которой происходит рассеяние излучения. Если m = me = 0, 911 · 10−30 кг — масса электрона,то λC = 0, 0243 · 10−10 м. Результаты измерений ∆λ, проведенных Комптоном, азатем многими другими экспериментаторами, полностью согласуются с предсказаниями формулы (1.19), причем значение постоянной Планка, которая входит ввыражение (1.20), совпадает со значениями, полученными из экспериментов поравновесному тепловому излучению и фотоэффекту.После появления фотонной теории света и ее успехов в объяснении ряда явлений возникла странная ситуация.

В самом деле, попробуем ответить на вопрос:что же такое свет? С одной стороны, в фотоэффекте и эффекте Комптона он ведетсебя как поток частиц — фотонов, но, с другой стороны, явления интерференциии дифракции столь же упорно показывают, что свет — электромагнитные волны.На основе “макроскопического” опыта мы знаем, что частица — это объект,имеющий конечные размеры и движущийся по определенной траектории, а волназаполняет область пространства, т. е. является непрерывным объектом.

Как совместить эти две взаимно исключающие точки зрения на одну и ту же физическуюреальность — электромагнитное излучение? Парадокс “волна–частица” (или, какпредпочитают говорить философы, корпускулярно-волновой дуализм) длясвета был объяснен лишь в квантовой механике.

Мы вернемся к нему после того,как познакомимся с основами этой науки.1Напомним, что модуль волнового вектора называется волновым числом.11Упражнения1.1. Используя формулу Эйнштейна (1.11), объяснить существование краснойграницы ωmin для фотоэффекта. Выразить ωmin через работу выхода электрона извещества.1.2. Вывести выражение (1.19) для изменения длины волны излучения в эффекте Комптона.Указание: Разделив равенство (1.14) на c и используя соотношение между волновым числом и частотой (k = ω/c), запишемp2 + m2e c2 = (k − k ) + me c.После возведения в квадрат обеих частей, получимp2 = 2 k 2 + k 2 − 2kk + 2 me c (k − k ) .(1.21)Квадрат импульса электрона можно также найти из (1.18):2p2 = 2 k − k = 2 k 2 + k 2 − 2kk cos ϑ ,(1.22)где ϑ — угол рассеяния, показанный на Рис.

1.3. Приравняв правые части (1.21)и (1.22), приходим к равенствуme c (k − k ) = kk (1 − cos ϑ) .Остается умножить это равенство на 2π, разделить на me ckk и перейти от волновых чисел к длинам волн (2π/k = λ).2.2.1.Квантование энергии атома. Волновые свойствамикрочастицТеория атома БораПрежде чем перейти непосредственно к изучению квантовой механики в ее современном виде, мы кратко обсудим первую попытку применить идею Планка оквантовании к проблеме строения атома.

Речь пойдет о теории атома, предложенной в 1913 году Нильсом Бором. Основная цель, которую ставил перед собой Бор,состояла в том, чтобы объяснить удивительно простую закономерность в спектреизлучения атома водорода, которую сформулировал Ритц в 1908 году в виде такназываемого комбинационного принципа. Согласно этому принципу, частотывсех линий в спектре водорода можно представить как разности некоторых величин T (n) (“термов”), последовательность которых выражается через целые числа:T (n) =R,n2n = 1, 2, 3, . . .(2.1)Величина R называется постоянной Ридберга (в честь шведского оптика Ридберга) и, по современным данным, равнаR = 2, 0670687 · 1016 c−1 .(2.2)12Частоты линий в спектре водорода определяются формулой11ω = T (n1 ) − T (n2 ) = R,n1 = 1, 2, .

. . , n2 > n1 .−n21 n22(2.3)Эту закономерность для четырех линий в видимой области спектра (при n1 = 2,n2 = 3, 4, 5, 6) еще в 1885 году нашел Бальмер — учитель средней школы в Базеле.В его честь формула (2.3) была названа обобщенной формулой Бальмера.Суть теории Бора для атома водорода состоит в следующем.

Во-первых, атомописывается “планетарной” моделью Резерфорда. Во-вторых, движение электронапо орбите подчиняется классическому второму закону Ньютона. Поскольку сила, действующая на электрон, это кулоновская сила притяжения к положительнозаряженному ядру, уравнение движения электрона имеет видmev2e2,=r4πε0 r2(2.4)где me — масса электрона, r — радиус круговой орбиты, v — скорость электронана орбите, ε0 — электрическая постоянная в системе единиц СИ.

Пока все соответствует классической механике. Если и дальше следовать логике классическойфизики, то, как уже отмечалось, мы придем к заключению, что движение электрона по орбите является неустойчивым из-за потери энергии на излучение. Чтобыобойти эту проблему, Бор принимает два предположения:а) В планетарной модели возможны не все орбиты, а лишь некоторые “разрешенные орбиты”. Для них момент импульса электрона L = me vr имеет значения,кратные постоянной Планка :L = n,n = 1, 2, . . .условие квантования.(2.5)Находясь на “разрешенных орбитах”, электрон не излучает, несмотря на то, чтодвижется с ускорением.б) Излучение происходит в результате “квантового скачка” (или “квантового перехода”) электрона с “высшей” орбиты на “низшую”.

При этом электрон испускаетодин фотон. Если обозначить значения энергии электрона на высшей и низшейорбитах через En2 и En1 , то частота испускаемого света ω определяется закономсохранения энергии: ω = En2 − En1 .(2.6)Поглощение света электроном происходит в результате квантового перехода с низшей разрешенной орбиты на высшую.Двух уравнений (2.4) и (2.5) достаточно, чтобы вычислить значения энергииэлектрона на разрешенных орбитах и затем по формуле (2.6) найти спектр излучения атома водорода. Прежде всего, решая уравнения (2.4) и (2.5) относительнорадиуса rn орбиты c номером n и скорости электрона vn на этой орбите (математические преобразования оставляем читателю в качестве упражнения), получаемrn = n 24πε0 2,me e2vn = n1 e2=.m e rnn 4πε0 (2.7)13Энергия электрона на орбите радиуса r складывается из кинетической и потенциальной энергий, т.

е.m v2e2E= e −.(2.8)24πε0 rВторой член есть потенциальная энергия электрона в кулоновском поле ядра, которое принимается за точечный заряд. Подставляя в (2.8) значения r = rn и v = vn ,находим энергию электрона на разрешенной орбите с номером n:1En = − 2ne24πε02me.22(2.9)Эта формула — главное достижение теории Бора. Вспоминая условие (2.6) и используя выражение (2.9), сразу же получаем обобщенную формулу Бальмера (2.3)для линий в спектре водорода, причем теперь для постоянной Ридберга имеемявное выражение 2 2emeR=.(2.10)4πε023Постоянная Ридберга, вычисленная по этой формуле, оказывается удивительноблизкой к экспериментальному значению (2.2).Теория Бора сыграла важную роль в развитии квантовых идей.

Во-первых,она дала качественное представление о механизме излучения света атомами. Излучение происходит не при движении электрона вокруг ядра, а при “квантовыхпереходах” электрона из одного разрешенного состояния в другое. Во-вторых, этатеория до некоторой степени объяснила устойчивость атома. Электрон в атомеводорода не падает на ядро потому, что его энергия не может стать меньше, чемминимальная возможная энергия (2.9):Emin = E1 = −R.(2.11)Состояние атома с минимальной возможной энергией принято называть основным состоянием. В этом состоянии находится невозбужденный атом.

Заметим,что в теории Бора величина|Emin | = R ≈ 13, 6 эВ(2.12)есть энергия ионизации атома водорода, находящегося в основном состоянии1 .Экспериментальные измерения энергии ионизации дают результаты, близкие кзначению (2.12). Наконец, радиус разрешенной орбиты с n = 1rB =4πε0 2= 0, 529 · 10−10 м = 0, 529 Å ,me e2(2.13)В дальнейшем будет часто использоваться внесистемная единица энергии — электронвольт (эВ).

Напомним, что 1 эВ ≈ 1, 6 · 10−19 Дж.114который называется боровским радиусом, определяет размер атома водорода.К моменту создания теории Бора из измерений коэффициентов теплопроводностии вязкости газообразного водорода уже были получены оценки для радиуса атомаводорода. Они давали величины, близкие к (2.13).Теорию Бора легко обобщить на случай так называемых водородоподобныхатомов, т. е. атомов, содержащих всего один электрон. Кроме собственно атомаводорода, к ним относятся ионы других атомов, например, однократно ионизованный атом гелия He+ , двукратно ионизованный атом лития Li++ и т. д. Если Z— порядковый номер водородоподобного атома в таблице Менделеева1 , то зарядядра такого атома равен Q = Ze.

Легко сообразить, что во всех приведенных выше формулах, относящихся к атому водорода, нужно просто заменить e2 на Ze2 .Например, формула (2.9) для уровней энергии электрона в случае произвольноговодородоподобного атома принимает видEn = −Z 2R.n2(2.14)После появления теории Бора были предприняты многочисленные попыткиусовершенствовать эту теорию так, чтобы ее можно было применить к атомам cнесколькими электронами, к молекулам и к другим физическим системам.

Однакодело не шло дальше, чем изобретение (с переменным успехом) специальных рецептов квантования для каждой отдельной системы. Следует отметить, что сама посебе теория Бора явно логически не завершена. Действительно, в ней уравнениядвижения частиц берутся из классической механики и вводится дополнительноеусловие квантования (2.5), которое противоречит классической механике. Дальшемы увидим, что успех теории Бора в расчете уровней энергии электрона в водородоподобном атоме является, в значительной степени, случайным, поэтому внастоящее время теория Бора представляет только исторический интерес.2.2.Гипотеза де-Бройля о волновых свойствах частицПервый шаг к современной квантовой механике был сделан в 1923 году молодым французским физиком Луи де-Бройлем.