Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики, страница 2

е. минимальная частота ωmin , при которой начинается выбивание электронов. Если ω < ωmin ,то свет с частотой ω не выбьет ни одного электрона, независимо от интенсивности.Эффект Комптона. Еще одно явление, которое не могла объяснить классическая физика, было открыто в 1923 году американским физиком А. Комптоном.Он обнаружил, что при рассеянии электромагнитного излучения (в рентгеновскомдиапазоне частот) на свободных электронах частота рассеянного излучения оказывается меньше, чем частота падающего излучения. Этот экспериментальный фактпротиворечит классической электродинамике, согласно которой частоты падающего и рассеянного излучения должны быть в точности равны. Чтобы убедиться всказанном, не нужна сложная математика. Достаточно вспомнить классическиймеханизм рассеяния электромагнитной волны заряженными частицами.

Схема 0 sin ωtрассуждений примерно такова. Переменное электрическое поле E(t)= Eпадающей волны действует на каждый электрон силой F (t) = −eE(t),где −e —1заряд электрона . Электрон приобретает ускорение a(t) = F (t)/me (me — массаэлектрона), которое изменяется со временем с той же частотой ω, что и поле впадающей волне. Согласно классической электродинамике, заряд, движущийся сускорением, излучает электромагнитные волны. Это и есть рассеянное излучение.Если ускорение изменяется со временем по гармоническому закону с частотой ω,то излучаются волны с той же частотой.

Появление рассеянных волн с частотамименьшими, чем частота падающего излучения, явно противоречит классическойэлектродинамике.Устойчивость атомов. В 1912 году произошло очень важное для всего дальнейшего развития естественных наук событие — была выяснена структура атома.Английский физик Э. Резерфорд, проводя эксперименты по рассеянию α-частицв веществе, установил, что положительный заряд и практически вся масса атомасосредоточены в ядре с размерами порядка 10−12 — 10−13 см. Размеры ядра оказались ничтожно малы по сравнению с размерами самого атома (примерно 10−8см.).

Для объяснения результатов своих экспериментов Резерфорд выдвинул гипотезу, что атом устроен аналогично солнечной системе: легкие электроны движутсяпо орбитам вокруг массивного ядра подобно тому, как планеты движутся вокругСолнца. Силой, удерживающей электроны на орбитах, является сила кулоновскогопритяжения ядра. На первый взгляд такая “планетарная модель” кажется весьма1Символом e везде обозначается положительный элементарный заряд e = 1, 602 ·10−19 Кл.7привлекательной: она наглядна, проста и вполне согласуется с экспериментальными результатами Резерфорда.

Более того, на основе этой модели легко оценитьэнергию ионизации атома водорода, содержащего всего один электрон. Оценкадает неплохое согласие с экспериментальным значением энергии ионизации. К сожалению, понимаемая буквально, планетарная модель атома имеет неприятныйнедостаток. Дело в том, что с точки зрения классической электродинамики такой атом просто не может существовать; он нестабилен. Причина этого довольнопроста: электрон движется по орбите с ускорением.

Даже если величина скоростиэлектрона не меняется, все равно есть ускорение, направленное к ядру (нормальное или “центростремительное” ускорение). Но, как уже отмечалось выше, заряд,движущийся с ускорением, должен излучать электромагнитные волны. Эти волныуносят энергию, поэтому энергия электрона убывает. Радиус его орбиты уменьшается и в конце концов электрон должен упасть на ядро.

Простые вычисления,которые мы не будем приводить, показывают, что характерное “время жизни” электрона на орбите составляет примерно 10−8 секунд. Таким образом, классическаяфизика не способна объяснить устойчивость атомов.Приведенные примеры не исчерпывают всех трудностей, с которыми встретилась классическая физика на рубеже XIX и XX веков. Другие явления, где еевыводы противоречит эксперименту, мы рассмотрим позже, когда будет развитаппарат квантовой механики и мы сможем сразу же дать правильное объяснение.Постепенно накапливаясь, противоречия между теорией и экспериментальнымиданными привели к осознанию того, что с классической физикой “не все в порядке” и необходимы совершенно новые идеи.1.2.Гипотеза Планка о квантовании энергии осциллятораВ декабре 2000 года исполнилось сто лет квантовой теории.

Эту дату связывают с работой Макса Планка, в которой он предложил решение проблемы равновесного теплового излучения. Для простоты Планк выбрал в качестве модели вещества стенок полости (см. Рис. 1.1.) систему заряженных осцилляторов, т. е. частиц,способных совершать гармонические колебания около положения равновесия. Если ω — собственная частота колебаний осциллятора, то он способен излучать ипоглощать электромагнитные волны той же частоты. Пусть стенки полости наРис.

1.1. содержат осцилляторы со всевозможными собственными частотами. Тогда, после установления теплового равновесия, средняя энергия, приходящаяся наэлектромагнитную волну с частотой ω, должна быть равна средней энергии осциллятора Eω с той же собственной частотой колебаний. Вспоминая рассуждения,приведенные на стр. 5, запишем равновесную спектральная плотность излученияв таком виде:ω2(1.4)uω = 2 3 Eω .π cИтак, задача сводится к вычислению средней энергии осциллятора в тепловомравновесии при температуре T . Планк заметил, что можно получить функциюuω , которая согласуется с экспериментом (см.

Рис. 1.2.), если предположить, чтоэнергия осциллятора E может принимать не любые значения, как в классическоймеханике, а лишь значения, кратные некоторому кванту энергии1 ε:E = nε,1n = 0, 1, 2, . . . .На латыни слово “quantum” буквально означает “порция” или “кусок”.(1.5)8В свою очередь, квант энергии пропорционален частоте осциллятора:ε = ω,(1.6)где теперь называется постоянной Планка и считается одной из фундаментальных мировых постоянных.

По современным данным она равна∼= 1, 0545887 · 10−34 Дж · c.(1.7)Некоторые люди предпочитают использовать вместо циклической частоты ω такназываемую линейную частоту ν = ω/2π, которая равна числу колебаний за секунду. Тогда выражение (1.6) для кванта энергии можно записать в видеε = h ν.(1.8)Величина h = 2π ∼= 6, 626176 · 10−34 Дж · с также называется постоянной Планка1 .Исходя из предположения о квантовании энергии осциллятора, Планк получилдля спектральной плотности равновесного излучения следующее выражение2 :uω =ωω2.π 2 c3 eω/kB T − 1(1.9)В области низких частот (ω kB T ) формула Планка практически совпадает сформулой Релея-Джинса (1.3), а на высоких частотах (ω kB T ) спектральнаяплотность излучения, в соответствии с экспериментом, быстро стремится к нулю.1.3.Гипотеза Эйнштейна о квантах электромагнитного поляХотя гипотеза Планка о квантовании энергии осциллятора “не вписывается” в классическую механику, ее можно было трактовать в том смысле, что,по-видимому, механизм взаимодействия света с веществом таков, что энергияизлучения поглощается и испускается только порциями, величина которых даетсяформулой (1.5).

В 1900 году о строении атомов практически ничего не былоизвестно, поэтому сама по себе гипотеза Планка еще не означала полный отказот классических законов. Более радикальную гипотезу высказал в 1905 годуАльберт Эйнштейн. Анализируя закономерности фотоэффекта, он показал, чтовсе они естественным образом объясняются, если принять, что свет определеннойчастоты ω состоит из отдельных частиц (фотонов), обладающих энергиейEф = ω ,(1.10)и что при взаимодействии с веществом могут поглощаться и излучаться лишь целые фотоны. Тогда для максимальной кинетической энергии Eкин фотоэлектроновполучается формулаEкин = ω − Aвых ,(1.11)Иногда, чтобы подчеркнуть, какая именно постоянная Планка имеется в виду, называют “перечеркнутой постоянной Планка”.2Теперь это выражение называется формулой Планка.19где Aвых — работа выхода, т.

е. энергия, необходимая для преодоления сил, удерживающих электрон в веществе1 . Зависимость энергии фотоэлектронов от частотысвета, описываемая формулой (1.11), прекрасно согласовывалась с экспериментальной зависимостью, причем величина в этой формуле оказалась очень близкак значению (1.7). Отметим, что, приняв гипотезу фотонов, можно было объяснитьи закономерности равновесного теплового излучения.

Действительно, поглощение и излучение веществом энергии электромагнитного поля происходит квантами ω потому, что поглощаются и испускаются отдельные фотоны, имеющие именнотакую энергию.1.4.Импульс фотонаВведение представления о фотонах в какой-то степени возрождало корпускулярную теорию света. То, что фотон — “настоящая” частица, подтверждает анализ эффекта Комптона. С точки зрения фотонной теории рассеяние рентгеновских лучей можно представить как индивидуальные акты столкновений фотоновс электронами (см. Рис. 1.3.), в которых должны выполняться законы сохраненияэнергии и импульса.Закон сохранения энергии в этом процессеимеет вид,Eф + Eэл = Eф + Eэл(1.12)где Eф и Eэл — значения энергии фотона иэлектрона до столкновения, а штрихованныевеличины относятся к частицам после столкновения.В эффекте Комптона электроны послестолкновения движутся со скоростями,соизмеримыми со скоростью света, поэтомувыражение для энергии электрона нужноРис. 1.3.брать в релятивистском виде, т.