Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики, страница 10

Проверить, можно ли записать оператор моментавекторов Aˆ = −( pˆ × rˆ ).импульса в виде L4.7. Доказать операторное равенство (4.9).Указание: Из (4.6) следует, чтоΨ∗2 (ÂB̂)† Ψ1dV ≡Ψ∗1 ÂB̂Ψ2∗dV=Ψ1 Â∗ B̂ ∗ Ψ∗2 dV.Используя (4.4), можно “перебросить” действие операторов в последнем интегралена функцию Ψ1 и убедиться в справедливости равенства (4.9).4.8. Проверить равенства (4.17).41Указание: Для упрощения математических преобразований удобно записать,например, L̂x = ŷ p̂z − ẑ p̂y , L̂y = ẑ p̂x − x̂p̂z .

Тогда, согласно тождеству (4.13),[L̂x , L̂y ] = [(ŷ p̂z − ẑ p̂y ), (ẑ p̂x − x̂p̂z )] = [ŷ p̂z , ẑ p̂x ] − [ŷ p̂z , x̂p̂z ] −− [ẑ p̂y , ẑ p̂x ] + [ẑ p̂y , x̂p̂z ].Теперь можно воспользоваться тождеством (4.14) и формулами (4.15), (4.16).4.9. Вывести уравнения движения (4.35), используя выражение (4.34) для гамильтониана частицы.5.Собственные функции и собственные значенияфизических величинВ этом параграфе мы продолжим изучение физических величин в квантовоймеханике.5.1.Спектр значений физической величиныПусть A — некоторая физическая величина, характеризующая микрочастицу1 .Как уже отмечалось, многократные измерения этой физической величины в произвольном квантовом состоянии будут давать, вообще говоря, различные значения.

В квантовой механике возможные значения физической величины принятоназывать ее собственными значениями. Вся совокупность собственных значений называется спектром значений физической величины. Если собственные значения образуют дискретный набор, то говорят, что физическая величинаимеет дискретный спектр значений (или, для краткости, просто “дискретныйспектр”). В этом случае разность любых двух собственных значений имеет конечную величину.

Если же собственные значения непрерывно заполняют некоторыйинтервал, то спектр физической величины называется непрерывным. Простейшим примером непрерывного спектра является спектр значений любой координатычастицы (скажем, координаты x). Наконец, встречаются ситуации, когда физическая величина обладает в одной области своих значений дискретным спектром, ав другой — непрерывным.Результатами измерения физической величины являются ее собственные значения.

Поэтому одна из основных задач квантовой механики состоит в нахожденииспектра значений любой физической величины.5.2.Уравнение для собственных функцийРассмотрим некоторую физическую величину (или, что то же самое, динамическую переменную) A, которой соответствует эрмитовый оператор Â. Будем считать, что спектр ее собственных значений — дискретный. Пусть An — собственныеНапомним читателю, что пока речь идет о квантовых состояниях и физических величинах, характеризующих одну микрочастицу. Однако все основные выводы переносятсяна системы, состоящие из произвольного числа микрочастиц.142значения данной физической величины. Согласно постулату об измерении динамических переменных (см. стр. 26), в произвольном квантовом состоянии измерениябудут давать значения An с некоторыми вероятностями.

Поставим следующие вопросы:1) Существует ли такое квантовое состояние, в котором многократные измерения данной физической величины дают одно и то же собственное значение An ?2) Если такое квантовое состояние существует, то как найти соответствующуюволновую функцию?3) Как найти вероятности появлений собственных значений данной физическойвеличины при ее многократном измерении в произвольном квантовом состоянии?Квантовое состояние, в котором многократные измерения физической величины A всегда дают значение An , называется собственным состоянием, отвечающим этому значению, а соответствующая волновая функция ψn (r) называется собственной волновой функцией (или просто собственной функцией).Cобственные функции физических величин будем обозначать строчной буквой ψ,чтобы подчеркнуть, что эти функции зависят от координат частицы, но не зависятот времени.

Заглавной буквой Ψ будут обозначаться волновые функции частицы,зависящие от времени и удовлетворяющие уравнению Шредингера (3.3).• Покажем, что собственные функции любой физической величины находятсякак решения уравненияÂψ = Aψ ,(5.1)где A — постоянная. Собственные значения An физической величины естьте значения постоянной A, при которых уравнение (5.1) имеет решения ψn ,удовлетворяющие требуемым условиям1 .Предположим, что ψn = ψn (r ) является решением уравнения (5.1), т.

е.Âψn = An ψn .(5.2)Предположим также, что ψn нормирована на единицу [см. (2.25)]. Вычислим среднее значение физической величины в этом состоянии:∗A = ψn  ψn dV = An ψn∗ ψn dV = An .Мы видим, что A = An . Это, однако, еще не означает, что в состоянии ψn многократные измерения будут всегда давать значение An . Нужно также убедиться, чтоквантовая неопределенность данной физической величины в состоянии ψn равнанулю. Вспоминая формулу (4.21), запишем2∗ 222(∆A) = ψn  ψn dV − A = An |ψn |2 dV − A2n = 0.Собственные функции должны быть непрерывными и однозначными.

Для некоторых динамических переменных собственные функции должны быть периодическими. Вдругих случаях необходимо потребовать, чтобы любая собственная функция стремиласьк нулю на бесконечности. Подчеркнем, что дополнительные условия, которым должны удовлетворять собственные функции, формулируются, исходя из физического смысладинамической переменной.143Мы доказали, что если волновая функция ψn удовлетворяет уравнению (5.2), то вэтом состоянии физическая величина A имеет определенное значение An . Можнодоказать и обратное утверждение: если физическая величина в состоянии с волновой функцией ψn имеет определенное значение An , то эта волновая функцияудовлетворяет уравнению (5.2).

Предлагаем читателю попытаться самостоятельнопостроить соответствующее доказательство.Итак, спектр любой динамической переменной Â и собственные волновые функции можно найти, решив уравнение (5.1), которое, таким образом, играет исключительно важную роль в квантовой механике.Из приведенных выше рассуждений следуют важные выводы, относящиеся кстационарным состояниям частицы и уравнению Шредингера (3.15) для этих состояний:• В стационарном состоянии энергия имеет точное значение E.• Собственные значения гамильтониана Ĥ образуют спектр значений энергиичастицы в заданном внешнем поле U (r ).В самом деле, стационарное уравнение Шредингера (3.15) есть частный случайобщего уравнения (5.1) для собственных функций. Роль оператора Â играет гамильтониан Ĥ — оператор энергии.5.3.Свойства собственных функций и собственных значенийСобственные функции и собственные значения физических величин обладаютрядом свойств, которые необходимо учитывать при использовании аппарата квантовой механики в конкретных задачах.

Начнем с почти очевидного, но важногосвойства собственных значений:• Все собственные значения физических величин — действительные числа.Это свойство непосредственно следует из доказанного нами утверждения, что всостоянии ψn среднее значение физической величины равно An . Действительно,на стр. 31 мы показали, что среднее значение A всегда является действительнымчислом, если оператор  эрмитовый, а все операторы физических величин обязаныбыть эрмитовыми.Предположим теперь, что собственные волновые функции ψm и ψn физическойвеличины A соответствуют двум различным собственным значениям Am и An . Этиволновые функции удовлетворяют уравнениям ψm = Am ψm , ψn = An ψn .(5.3)∗Умножим первое уравнение слева на ψn∗ , а второе — на ψm.

После этого проинтегрируем оба уравнения по всей области V , где может быть обнаружена частица.В результате получим∗ψn  ψm dV = Am ψn∗ ψm dV,(5.4)∗ ψnψmdV = An∗ψn dV.ψm(5.5)44В обеих частях последнего равенства заменим i на −i, т. е. перейдем к комплексносопряженному равенству. Учтем при этом, что An — действительное число, ивоспользуемся равенством (4.6). Поскольку оператор  эрмитовый (напомним, чтоон соответствует физической величине), т. е.

† = Â, то после всех преобразованийравенство (5.5) превращается в∗ψn  ψm dV = An ψn∗ ψm dV.Наконец, вычитая это равенство из (5.4), находим, что(Am − An ) ψn∗ ψm dV = 0.Мы предположили, что Am = An , следовательноψn∗ ψm dV = 0,если Am = An .(5.6)Это свойство собственных функций физических величин играет важную роль вквантовой механике, поэтому обсудим его подробнее. В математике интеграл видаF1∗ F2 dV(5.7)называется скалярным произведением функций F1 и F2 .

На первый взглядтакое название кажется несколько странным1 , однако оно вводится не случайно.Дело в том, что в некотором смысле множество функций F (x, y, z) можно рассматривать как бесконечномерное векторное пространство. Значение функции в каждой точке является аналогом проекции вектора. Подобно тому, как сумма обычных B имеет проекции, равные сумме проекций слагаемых, элемент функвекторов A+ционального пространства F1 + F2 является функцией, значение которой в каждойточке равно сумме значений F1 и F2 . Интересно, что для функций выполняются всеаксиомы векторной алгебры, если подходящим образом определить понятия, введенные для обычных векторов. В частности, выражение (5.7) является естествен ·B = Ax Bx + Ay By + Az Bz .ным обобщением скалярного произведения векторов AТо, что в скалярном произведении функций (5.7) одна из них берется комплексносопряженной, необходимо для того, чтобы величина∗F = F F dV = |F |2 dV,(5.8)которая называется нормой функции и является аналогом квадрата модуля вектора, была действительной и положительной.

В квантовой механике для описаниясостояний используется векторное пространство волновых функций, норма которых равна единице [см. (2.25)].В элементарной математике скалярное произведение вводится для векторов в обычном пространстве. Там оно имеет простой геометрический смысл.145В дальнейшем будет удобно использовать принятое в квантовой механике сокращенное обозначение для скалярного произведения функций:F1 |F2 ≡F1∗ F2 dV .(5.9)В новых обозначениях условие нормировки волновой функции имеет видΨ|Ψ = 1 .(5.10)Приведем также простые, но важные свойства скалярного произведения функций, проверку которых оставляем читателю:F1 |F2 ∗ = F2 |F1 ,(5.11)c1 F1 + c2 F2 |F = c∗1 F1 |F + c∗2 F2 |F ,(5.12)F |c1 F1 + c2 F2 = c1 F |F1 + c2 F |F2 .(5.13)Здесь c1 и c2 — произвольные комплексные числа.Аналогия между векторами и квантовыми состояниями оказалась весьма плодотворной.