Числовые и функциональные ряды

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯМосковский государственный университетприборостроения и информатикикафедра высшей математикиЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫучебное пособие для студентов дневной формы обучения длясамостоятельной подготовки.Москва 20072УДК 517.Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие для студентов дневнойформы обучения для самостоятельной подготовки.

Сост.: к.т.н., доц.. ЗюзькоТ.Н. ./МГУПИ. М. 2007.Излагаются основные методы исследования числовых рядов насходимость, нахождения областей сходимости степенных рядов, применениярядов к приближенным вычислениям. Приведены примеры решенияразличных типов задач.Пособие предназначено для студентов, обучающихся по дневнойформе обучения. Библиогр: 5.Рецензент: к.ф.-м.н., доц. Таперечкина В.А.3Содержание.Введение.1.Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда.Вычисление суммы сходящегося ряда.2.Достаточные признаки сходимости положительных рядов.3.Знакопеременные числовые ряды.Абсолютная и условная сходимость.4. Приближенное вычисление суммы числовых рядов5.Степенные ряды. Нахождение области сходимостистепенного ряда6.

Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.Приложения к приближенным вычислениям.7. Ряды Фурье.Литература.4Введение.Данные методические указания состоят из двух разделов . В первомразделе указаны основные методы исследования на сходимость числовыхрядов, способы приближенного и точного вычисления суммы числовогоряда. . Второй раздел посвящен функциональным рядам: рассмотрены задачина вычисление области сходимости степенных рядов, разложение функциив ряд Тейлора и приложения степенных рядов к приближеннымвычислениям, рассмотрены задачи на разложение функции в ряд Фурье.Цель данного пособия -- помочь студенту самостоятельно подготовиться кэкзамену.

При написании пособия автор не ставила своей целью датьсистематическое изложение теоретического материала. Перед каждойрассматриваемой задачей дается тот теоретический материал, которыйнеобходим для ее решения.5§1. Основные определения. Необходимый признак сходимости ряда.Вычисление суммы сходящегося числового ряда.Прежде чем приступить к решению задач дадим основные определения.Определение 1.

Пусть {a n } -- последовательность действительных чисел. Выражениевида:∞a1 + a 2 + a3 + … + a n + … = ∑ a nn =1называется числовым рядом.Сумму n первых слагаемых называют n -ой частичной суммой ряда и обозначают S n :S n = a1 + a 2 + … a n .К примеру,S1 = a1 , S 2 = a1 + a 2 , S 3 = a1 + a 2 + a3 ,…Частичные суммы ряда S1 , S 2 , S 3 , … образуют бесконечную числовуюпоследовательность.∞Выражение a1 + a 2 + a3 + … + a n + … = ∑ a n само по себе определенного смысла не имеет,n =1потому что действие сложения производится над конечным числом слагаемых. Этотсмысл выражению предстоит приписать нам самим.Введем понятие суммы ряда.Определение 2. Суммой числового ряда S называется предел последовательностичастичных сумм ряда { S n }, если этот предел существует и конечен:S = lim S n .n →∞Числовой ряд при этом называется сходящимся.В противном случае, т.е.

если lim S n равен бесконечности или не существует, тоn→∞ряд называется расходящимся.∞Определение 3. Пусть дан ряд∑an =1n.Ряд rn = an+1 + an+ 2 + … , полученный из исходного отбрасыванием n первых членовназывается n -м остатком ряда.Можно доказать, что если lim rn = 0 , то ряд сходится (существует конечная сумма S )n →∞и наоборот: остаток rn сходящегося ряда стремится к нулю с увеличением номера n .Основной целью теории числовых рядов является установление факта сходимости илирасходимости тех или иных рядов и вычисление суммы сходящихся рядов. При этомнайти точное значение суммы ряда удается далеко не всегда.

В этом случаеиспользуются методы приближенного вычисления суммы ряда.Существует довольно много приемов, позволяющих устанавливать сходимость илирасходимость рядов. Такие приемы называются признаками сходимости. К рассмотрениюнекоторых из них мы и приступаем.Теорема (необходимый признак сходимости числового ряда).∞Если ряд∑an =1nсходится, то его общий член стремиться к нулю, т.е.6lim a n = 0 .n→∞Из необходимого признака следует, что если n -ый член ряда не стремиться к нулю,то ряд расходиться.

Именно это утверждение удобно использовать для решения задач.Отметим, что необходимый признак не является достаточным, т.е. если lim a n = 0 ,n→∞то о сходимости ряда ничего сказать нельзя: он может быть как сходящимся, так ирасходящимся.∞Задача №1. Исследовать ряд на сходимость∑n2= 12 + 2 2 + 32 + … + n 2 + … .n =1Решение.a n = n 2 , lim a n = lim n 2 = ∞ .n →∞n →∞Используя необходимый признак сходимости, делаем вывод о том, что ряд расходиться,поскольку n -ый член ряда не стремиться к нулю.Ответ: ряд∞∑n2расходится.n =1.∞Задача №2.

Исследовать ряд на сходимость1∑ n sin n .n =1Решение. Общий член рядаa n = n sin1,nsin1n = 1.1= limn n →∞ 1nСледовательно, ряд расходиться по необходимому признаку. Здесь для вычисленийsin x= 1.использовали первый замечательный предел: limx →0xОтвет: ряд расходится.lim a n = lim n sinn→∞n →∞Задача №3. Исследовать ряд на сходимость∞∑ (−1)n.n =1Решение.a n = (−1) n ,lim a n = lim(−1) nn→∞n →∞не существует. Ряд расходится по необходимому признаку.Ответ: ряд расходится.Приведем пример ряда, для которого необходимый признак не дает ответа о егосходимости:∞1Задача №4.

Исследовать ряд на сходимость ∑.nn =1Решение.1lim an = lim=0.n →∞n →∞nНеобходимый признак для данного ряда выполняется, поэтому он может быть илисходящимся, или расходящимся. Докажем, что этот ряд на самом деле расходится.Оценим частичную сумму ряда S n снизу:7Sn = 1 +12+11+…+3n>1n1+n+1n+…+1n=n1n= n.Таким образом,Sn > nиlim S n ≥ lim n = ∞ .n →∞n →∞Тогда по определению суммы ряда имеем:S = lim S n = ∞ .n→∞Ответ: ряд расходится.Задача №5.

Исследовать ряд на сходимость∞2n − 1∑ 7n + 2 .n =1Решение. Воспользуемся необходимым признаком и найдем предел n -го члена ряда:2n − 1,7n + 2112−n( 2 − )2n − 1n = limn = 2 ≠ 0.lim a n = lim= limn →∞n →∞ 7 n + 2n →∞n→∞22 77+n (7 + )nnОтвет: ряд расходится.В предыдущих задачах нашей целью было установить сам факт существованиясуммы ряда. Рассмотрим задачи, в которых удается вычислить точное значение суммыряда.an =∞Пусть дан числовой ряд∑a qn =11n −1, составленный из членов геометрическойпрогрессии. Здесь a1 -- первый член прогрессии, q -- знаменатель прогрессии. Еслизнаменатель прогрессии удовлетворяет условию q < 1 , то прогрессия называетсябесконечно убывающей, а ряд, составленный из членов такой прогрессии, сходится,причем сумма ряда равна:aS= 1 .1− q∞1Задача №6.

Найти сумму ряда ∑ 2 n−1 .n =1 2Решение.∞∞n −1∞1 11 ⎛1⎞=⋅=⋅⎜ ⎟∑∑∑2 n −12 n −2n =1 2n =1 2 2n =1 2 ⎝ 4 ⎠Этот ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии,11a1 = , q = .24Сумма ряда равна:11⋅ 4 2S= 2 == .1 2⋅3 31−42Ответ: S = .318∞∑ (−1)Задача №7. Найти сумму рядаn =1n2.3nРешение.n −1∞∞2⎛ 2 ⎞⎛ 1 ⎞=⎜ − ⎟⎜ − ⎟ .∑n3 ⎠⎝ 3 ⎠3n =1n =1 ⎝2Здесь первый член геометрической прогрессии a1 = − , знаменатель32−2⋅31S = 3 =−=− .13⋅ 421+31Ответ: S = − .2∞3Задача №8. Найти сумму ряда ∑ (−1) n+1 n−2 .4n =1Решение.∑ (−1) n∞∑ (−1)n =1. Для этого рядаn +13 (− 1)= ∑ (− 1) −1n−244 n −14n =11a1 = 12, q = − .43∞Находим сумму:S=Ответ: S =2n −1∞⎛ 1⎞= ∑12 ⋅ ⎜ − ⎟⎝ 4⎠n =11q = − .

Тогда3n −11212 ⋅ 4 48==.1551+448.5Задача №9. Найти сумму ряда∞1∑ (n + 2)(n + 3) .n =1Решение. Для того чтобы найти сумму этого ряда, представим общий член ряда в видесуммы дробей:1AB=+.(n + 2)(n + 3) n + 2 n + 3Найдем неизвестные коэффициенты следующим образом:1ABA(n + 3) + B(n + 2)=+=,(n + 2)(n + 3)(n + 2)(n + 3)n+2 n+3отсюдаA(n + 3) + B(n + 2) = 1 .При n = −3 из последнего равенства получаем B = −1 .При n = −2 B = 1 .Таким образом111=−.(n + 2)(n + 3) n + 2 n + 3Найдем n -ую частичную сумму ряда:1 ⎞⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞⎛ 1−Sn = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + … + ⎜⎟.⎝ n+ 2 n +3⎠⎝3 4⎠ ⎝ 4 5⎠ ⎝5 6⎠После сокращения противоположных слагаемых получим911,Sn = −3 n+3откуда1 ⎞ 1⎛1S = lim S n = lim⎜ −⎟= .n →∞ 3n →∞n+3⎠ 3⎝1Ответ: S = .3§2.

Достаточные признаки сходимости положительных рядов.1. Признак Даламбера.Теорема (признак Даламбера сходимости положительных рядов).Рассмотрим положительный числовой ряд∞∑an =1n. Если существует конечный пределa n +1= l , тоn→∞ anlimпри l < 1 ряд сходится,при l > 1 ряд расходится.Заметим, при k = 1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным и нужноподобрать другой признак для исследования данного ряда.∞1Задача №1.