Методичка с заданиями по Математическому анализу

ФедеРлльнов лГентство $н) ОнРлвовл евно !'ОсндлРствннное ОБРАЗО!!лтГльное унР!ОкдениГ ПЬК ЕННГО ПРО ! ЕССИОНЛР!ЬНОГО ОГИ ЛВОВЛЙ!Н! * 'московский Росс!лгсгв!!н!!ый ннститзт Рлдиотвхники нлектгоники и лвтомлт!!ки !техни вский нгн!внгситетг МАТКМАТИЧИСКИЙ А НАЛИЗ !ч'" !.;кместР КОНТРОТ!ЬНЫН ЗЛДЛ!!ИЯ длн стидинтов флкмль гатов ити книевнитики москвл и!н! Сг шааитешг Н 13 Волоокая И Н Драгил( ва. С 13 Костин. П В й(укниа. АД!Псыечизн !Лчжгто!з К) Н Ху))ак Контра.п ш,н: зилаппя яи ниотья типсаым расчетом из) топрнн фуикаий ксашлсксиого пор<манного (малхлшгнч«гкий анашзз, (У ссм сгр), вхоиищей «программу зтне«жного опсгжсння факул«1члп« Кябсришнк«н Иифпрмацвшных лх*вгалогг~й Тю)окой Васют аьи по ~нип)си «'уж игами в шн ызз пном «нлс и слы и и ирьпщ)кпа гелю ую вг)юж згучепки) сж;гни Приаецениью и рабате вопросы к ж с)илу н чкзямс1иуь~ могут бк) )ъ уточнены и Лслнмнгны .)ектором При гонга)н пни конт!хщыщ)х л14анай за основу бьши азизы твкшыг рас нгпж рлзрабогшшые коллективом кафедры пьющей луну~ мгпи ки.

1! гштша)с !е рспкн1по ргцикцнашв изцитсл! гк и ~) гчи !куш)- яс ренте щ Рец) ним)ы ТН,Крж ноыюболпсет С Ф.Сяиг )озиг гы А(ИР")А. ООН) Кон) ролыщ с залаэзя нж)еч паны в ие)орской рс ыкиии 1(илп)кано а ис гать 03 02 20! О Формат бОх84 1)16 Уел псч, л 1,40 Ус:), кр.-атк 5,5й. Уч.-изл л 1,.5 Тираж 300 ')к), С бй 1 паул«)ус:иешиуе образоватюи,нос уч)зелглспнс высшего професю)опа)п ного обрек кения шИпско«скин и)аул«резв«нный ннсггп)з рш)иыс,ники, 'злах,рпннки и пгиамп)пки (усхничсский ))~иверские ~)' !19454, Моск«а, пр. Вернапскаго.7В МАТКМАТИЧКСКИР! АНА3!Из (ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ К()й!ГВВ!5КСНОГ() ПЕ!'Г( ИЕНПОГО~ (У о.шсгр ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ТВ01'Е'ПГНг)СКИЕ УП!'АОКНБНИЯ 1 Какая ггаьнгг!зи'н)сюзй смайл~ таз«песте« П! ') ез( ')')с! «2) 2((су! ')'1х2! 1 2 Н,зй га ибз)асл ы )«Ванн) ю и1 !жегш г)изьи1 а<гзгб(х-хе) <В (-л< о ~)бл) 5.

Найти облас)ь. зю)аввук~ неравенством Ь! < ац,с г: лл О ° . :. шбл < 2« 4, 1В й ги шпибку л !2«о)ужлгпигц п)из«аллин м к ву)ишаке) Гй р. иулгш (-е)2 = гт, паттону 21,о( г) .=. 21.ац и и)глр)зли лько Ьп("е):: !же б Соаиалаог чи множа) гка зна гжпш а)'", (а")2, («),'",' !зшхмог. рель цля с;;. а —... у б. Дзи сзтображгнни и = найти образы лип«й у -: с и (и = В Как«с ку шж прсобрюуютси ажуимпочли)олпе ишт ' 7 Для отображения ~г = е' найти О6раз линии г — г и ирпфрд лшиш р=-й, О; и < со (р, б - поушриые кгю!унии«у)л) 8 Доказать, чта фуикпая Дс) .— 2 и«гни нс ))ифф~) .*Ип племя О. 3!Ох«зать, чтп фуикцш) У(л):= е Вел лиффгрг шюруохы тгси,- к~ и точек = О.

шабли Д(О) н) ДО«а)гуль. ~из )о)21 фун«цни ДП .= уг)ху) и ') шшг - —" О пьь полня)о)ся условия Кави.рньимнг, но пр~зизьадная нг схннлтьутт ! ! Бутуз лн ~армии)гнгкимя функции ,,'Г(с)(, агйД. ), ег и ДН ра~уляршш функция'г 12 !(шаыгь, к)и щиуизжнии«(июбио вбибгку) шрмо шги ~кап функция также янизиозгл функцнимп г~риаи гк кими 15 Какал чпгтг, плосыкти еж«ма~чек, а как,ш рнсгягио,«тси гслв отображение оцуплгхчълягчгш функцией н =- л', и: = 1(с, н = 14. Пусть фупкпли й(г! регулярна а то па = .-.

а„прк и'и д(а) —. а н функция Дн) имеет и то ше и:: Ь полное порядка т Дока нть, что функция (Г(с): — У(уф П имес1 в точке с .—. о ннннг иарнлпш пнг, ~лл: и . порядок нуля фупкпии й(л) - ь в точке с —, а, 1бл, Плечь функция д(с) рглгулирлпл в точке л -- а и О(а):-- 6, а г(эупкцпя 1(гл) имеет в пучке н =- б сугцегтм ино ш обую го|ку Доквзшь, по точка,".

а супластв~нио особая точка фупкдпн Р(г) = 1'(Л(с)) 1О. Для каках рацнонвлл,ных фупшлий А(г) у(л) =: — —.. - В() то ~ха са лэялил эъя устрани мой особой точкой? Нсуст(ицпллвэй гнобой та 1кой? Каков тип ее ой особой точки' 17, Построить пример функции., имокицей в рш:шнрл апой пэкхг кости только .:в дующие ш;обшшосмс полюс второго парилка в ~ о о кг с = О и про| той пшшк па быкове них ти 1е Построить пример функции, имшшшш в расширг ниой плоскости только слелуюпше особенности: 3 панна первы г~ нори)шю Н) Найтв пунина вил функпни, имеющей в1шгшнреишщ плл кости плевка слецу~оплнгл особенности: пкщюг 1юряпка 2 и тпчк в .--. О и иглшог. порялка 2 на бгскпилгигости, 2О Най~ и общий внл функции, пил илщей в рвсширеннга илл~гкогплг шщька глелуюлг(ис олобешгглстлс польш. порядка 2 на беско- нечности 21 Докаэглть, гто если /(г) непрерынпа в скрести~лгун то игп с =- :о,то йп1 / — — -- = 2кгДа) 7(с)ис .е / в-а 22.

)(охнэ лгь. что лля функции У(с) имгчт место рл я н«тво лев (1с) .= - гс' Дс), шли г(в) - четная. и рвнепстно гел У(с) =: гев Дс), если 1(л) нсчшчщя, Прелполагиется чш на1ысллнпы гы и.гы име'ют смысл 22 пусть Дел.=. в(ас), гл ай О. Д>шглюъ, 'и'~ 1 гсв Д) аьи() 2й Найти гев У(н(с)). еглн функцлш р(с) рггулнрня тгшкл" а и л(х) 4 О. а у(с) иммп и точке н(а) пол|ос иг'ринга норялкп с вы "к толк рваным А, 25 2(мгглчнть, гш к шптгралу (с 'ел, взнмллгу пг грлппцс Г г полушшскосгп (ш с > О.

теорема о иы югах нкпрнменнл ъ 2О, Сколько корней уравнении — Лл -Л1 =. О нвхои; гся в кругл: (с( < 1л 27. Склон ко корней уравнения =" - Ял-Л1 =- и пахогщ'"ся и ла,ппгг 1 < Ь( < 3' Н чем отли ше этого у шержпоанл от иптш ралыюй фо)линия Копы? !(РД891»л!КС(»И(6 З«1)2 ЗПИР! Задача 1. Змиклнп, коллплскслнле ~игло х в клглб(лили«лчсглл7, иокачллгллчкпой и л!илгопглллл"грллчгскоп форллах -1 (7 1 †.! !1п2) ) 2 -,».влп( —, Ел!лл!!) 3 л 6 и' ! 1 э блл«З гн !пз' ~ 1 йчГЗ г 1ллЗл ! '7 '13 "2 ), :' '1'3 '(.3 2 ) ' б ! -7- с!л((ллЗ Лл-) ( 6 ' — - -л!л(1п2»л- ) ЫЗ' '! ' 6) ~( ! »ч'З ( 6) Г с ' -1-г "' 2 1(вхплпм числа сп и с "'.

1- 8(-'-.! — ),( '8 (и3 бх ( 4 !2 3 1 «1п»,бхх 7 4 12 1 гх 9 ( — — —. ! л (- е (лл») И! ', "4,,'«2' ' !»'' -л 2 + вли ( - + л(п 2) 4 3 'Зн,1п2 6 8 4 -„- - с!6 ( -) + ' — ) 1-лк('-',— ) 12 Зг (п2 8 4 Слелловатсллкп, 3 г(и8 сл (, , '3 г(и8 ел ' 23 ) — - 11л ( -- ! л — ) 1 24; -.,— г!Ь ( — — 1- л — ) 13 4 8 ' ( с' 4 8 9, )Зл ,)2 ни) — "«1пр) лг(( г и — —; — НХ ( х '; л !п 2) !3 6 1,—, 1 1 И( =- — (-1 — лез(--. †. 2 = —, 6 6 3' лкхл = агк(-1 — л Л( —..

---. 3 бъг2 4 ! 7 !Б ~ - ° »га(Ь2-лх) ' 16~ г '2:Г 1 ( 17 ( ! Л сол(-,Х -л1п2~ '" 18 (п 3 ! !9; — —.. !8(-; Лл — ) ) 26 1 г 2к ,' 21 — -- — л !л ((пб ! л — ' (, 22 ~ ~- — ) --- ---.--,— "~ Гт-"(и1Н В ) г! 11 х '-1,;-г'(, ') )"~ ';",)'! -'-4 вб(!иб-л'- ) ! ,72») ) И л 6) ~ЕНи(~"'- (п») 6 1 ге ЬлЗл -- — с!6 (-2 чгЗ ' !'12 2хл ! -1- вб (!лл2 ! л г-) '1 г Ь12,бх л, ( 1 «!и 12 бх л 12) ' "и (об к 1'елнннни нар!ланча 31, Иус ~ ь г! =- --- + л — Имо«и. '2 6 «и - «11 ' В:- «4! (сил г ч (ап -, ) =: г'н --е чи 'В = 1 (глп(-;.) ! лев(--, 1 чЗ Л( 2 2) 2 Зч7( (3+ 3) 4(! - — н) 2;-- 2 2 Зи!3 гл 1 Подому с -- '- — «!~ и, = — - — — - —. — (-1 . ллхб( б 6 Зх«3 б 6!и ч!лл!!!илича чн 'ло х и игл нлраичег коб форме Нкходим мо;!нп и г,напои чиачеиие прг! мсллтлл 'пион Л'; Мккожжи во Е Л! Уравнение 7 2 (1- лкккЗ)сгйг =:.

! 2кЛ 4, те(к г + ней г -- 1 - ЗгРЗ 6 ! !4-7к)!Зг.-: -3- !61 8 ' Згоьг.! кгикг:..3-к 7 ' Агю!н(-к) 9 ' Ап:гЬ( — —,— ') ! ч Зкчлл ! б ( (5 8!ккк!)1! '-2-. 13 ккЗ 12 к 11гЬг — 5г!кг;.. -! Ч кекбк (8 ! 11ккг(!) скй . —. Зъ/3- 28к Г 8 б. ° - Зк ° =,Зейж 8 ЗсЬг бгЬг-" -2 -2кр3 2 кб( — к ! 2! Агсс!8( — — — ) ш (5- 11ккгЗ) клг: 12'~23 - тк 'Заики.ываем кисло г в нок нательной и тригонометрической фор- мах.

= - е ( 1) = - (сов ( — —,) + кми (- — -)), 3 3 3 3 Зг, !иб Решение варианта 32, Пусть гк:г — + ( †. Имеем. * 8 4 ' гшгк е"' — г"кн 2 е"' — е '"' ег'"к .. 1 гоггк 2к с'" 1-г " ем' Ч.с "' гг"'.1- ! 1 (мы умножили числи!кккк н кеамеишвль иве"' и у кли. что . =.

-ц, Находам чнаш свч: е'к' =с 7 З вЂ” -е 2 (сое-- кми--) —., 1 г 1 к к ! Зей йе2 кг2 4 4 Оледовательно, (--' к-') 4 4 Умккккгкккм кикин кем н:кнаменато и на число, комплексно сОлрв жгниое к знамены ежо го екчь ва 3 — к (1+ бкиз — И 3 Е15к-к Е5 4 7, (3 4 к)(3- к) 9-! 1 о,к 11 7, 7, 7 ПоломУ г = — -кйг! -" „-' — гк' = р (1- к)' Мы запниши число г в анебраи кеской форме, Находим модуль и манное значение аргумента нила 7 7 7е2 !г( =- -„' (1 — к! =. — „ /2 =- —, о г к ' бг = 8(1"')'- Зшкигьжж м шело г ь аокюательной и тригшюмк гречи кой фор- О!нет: г =. — - -к = — — г'к тк =.—; (сев(-- ) ч кяп( - -)). Задача 2, В нечетных вариантах чанисакь в алггбран и!ской форме все элементы множешва Ьз В чкгпкых наркык'"ах ргнагкь уравнение и ажкисать в алгебраической форме вге еш Ьслкенни.

М Ейк ГЗ ,' ! ( Агсб( — -) 7 3 ~ Аж! (-' ') 2 с*2 -12 — ! 5 Атос!8( —; — ) «О Ф ( 54«!«««лестно Ю (! Ф ) Урж«пеоне 23 ! Агссш('--'--»-) Зл!)- ! 4о2 „! «3 'З-6« 16 ! А! «к! — — -*. 7 ) 24 2с«ж»З 1О«ашс.= зЗ ! О! 26 ~ (4-! 25«зуз)«Ь»=24- 5«Л 9сЬ вЂ” ть1«» =- -6-2! ; 27( АОЬ(-'г ) ! 26 !2 2 ) (3 З И ) см2 .- и+ 9 2 — «з»3'! Т. (и ) Агс«Ь(- — „—. ) )! 32 сое»+7«нп»=:2з«ЗИ- 6! 7 1-,"3 ОЕЬ»:. — — —.

7 (*) Иошому задача оно!шток к решепи«о уран«гнин (*). Имеем сз еб» 2 с» — г-* е'-е " егб-1 (мы умяожизш числит! ль и гшнменатоль ыа «') Обозначим чпию е!» букаоб г Ьбы приходим к уранпшш о ! -1- 1 2 — «у'3 ! †7 Реп«аем зто ур«шпепис 7(14 !) =' (2 — «з»3)((- !) 7! 7--(2" г«З)! — 24 «з«3!! (5 ' «оз)г = -О*«!с»3! 9 -«ОЗ ;, ! зя!!' г 2 — го'3 з Решенно варианта 31. Ь(пожгете«з б' —. Агс«Ь ( — — „— -) со. 7 сзоиг ез ьсех помол к«нь«х ч«нш з «з«ких. «го «! Умножим числите и и знамгюнсш, па 'пню, коман ж ш! гл«рн жепное к жшменатшпо, «о шт«, пн 5- з!Л (9- з»3)(5«- з»3) 45)-5!««З -!«гз'Зу 1 (5+ «уб!)(з - !«уз) 42- !б!«з»3 14(3 - !у»3) 3 у71 28 14-2 2 2 2 Таким образ!»м, мм прнходнм к ураннепи«о е'=1= — (-Лч ) згз 2 Находим модуль и гяавгш значение аргу«! Ота «ие з Г (г)= —,' (- 'зеб= — ' 2= 3.

Л -, и'33 5х агб ! = шб (- у'3 з- ! ! =-- 6 С»«ез«г«паз«я! но, ! 2» = (!и!)з — — !п(! з-«(шн!+ 2кй! .— = !«««73 4 «( — + Зкй)! =. — + г( —; -г 2«гй), 1. «е Б 6 ~ 2 Ь !пЗ г 5«г Онзояа» =- — з «(- — еей), й с Ж 4 12 Ответ; Б = ( — „- з «( —, з. кй) ! !' «! У), Решение варианта 32. Иьн:см - --- — ! 7! — --'-- = 2«ГЗ - 6! ' '2 2« 1 гз«!««ои«чпм шгяп гн букпоб г т! гла г "-- — и чм лрпх шнм к «!! ннг !лно ! 7 ) е (! — -) --Ззз — 6 Отса/да иову пюм каадратпое уравнюпю 4Н вЂ” (гл/3 — 6!) ! - 3 -.

О Нггхгк!лглг дискримннант. а=(2 /з — Ог)т — 4 1 (-з) = 12 — 24!Л вЂ” зе+46.= = 24 - гбл Лз = 24(1 — Л). Находим мп/Оуль и главнее знггчсние аргумента числа О (4!!.—.21)1- Л(=:ге 2= 18, гг гк (/.=- аг8(1 — гтз) = --. 3 записг.пггюн число 0 в показательнсй форме: О = 48б'(" г), Находим главнее чгю ми!бе корон 2-6 степени из чнюю Рт ( Я )е =- ъ 48 с'( 6) = 4Л [/Об (--, ) -1- г бю (- -, ))::. = 4./З( — - -) —.. 6 — 26 'З.