ФОЭ - Теория, часть 3 (Лекции по ФОЭ)
Описание файла
Файл "ФОЭ - Теория, часть 3" внутри архива находится в папке "Лекции по ФОЭ". PDF-файл из архива "Лекции по ФОЭ", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физические основы электроники (фоэ)" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "физические основы электроники (фоэ)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
1 §¤¥« 3. á®¢ë ®¯¥à â®à®© ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨3.0. ¢¥¤¥¨ï ¨§ äãªæ¨® «ì®£® «¨§ çñ¬ á ⮣®, çâ® áä®à¬ã«¨à㥬 ¥ª®â®àë¥ ¯®«®¦¥¨ï äãªæ¨® «ì®£® «¨§ , ª®â®àë© á«ã¦¨â ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¬ ¯¯ à ⮬ ®¯¥à â®à®© ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨.¢ ⮢ ï ¬¥å ¨ª ¢®§¨ª« ¢ 1926£. ª ª(.।¨£¥à)¨ ®¤®¢à¥¬¥®, ¥áª®«ìª® ¬¥áï楢 à ìè¥, ª ª, ¨«¨,ª ª ¥ñ ¤®«£®¥ ¢à¥¬ï §ë¢ «¨ ¨ ¯à®¤®«¦ îâ §ë¢ âì ¥éñ ¨ ⥯¥àì,\¬ âà¨ç ï" ª¢ ⮢ ï ¬¥å ¨ª (.¥©§¥¡¥à£).á®¢ë¬ ®¡ê¥ªâ®¬ ®¯¥à â®à®© ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨ ïîâáï; ®¨ ¤¥©áâ¢ãîâ ¢ äãªæ¨® «ì®¬à áᬠâਢ ¥¬®© ª¢ ⮢®© 䨧¨ç¥áª®© á¨á⥬ë, â.¥.
¢ ¯à®áâà á⢥ ¥ñ.¢®«®¢ ﮯ¥à â®à ﮯ¥à â®àë 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨¯à®áâà á⢥ á®áâ®ï¨©¢®«®¢ëå äãªæ¨©DZਬ¥à. çñ¬ á ⮣®, çâ® ¯à¨¢¥¤ñ¬ ª®ªà¥âë© ¯à¨¬¥à ª®ªà¥â®£® ª¢ ⮢®£® äãªæ¨® «ì®£® ¯à®áâà á⢠{ ¤«ï ¬®¤¥«ì®©®¤®ç áâ¨ç®© ®¤®¬¥à®© á¨á⥬ë. áᬮâਬ äãªæ¨¨ ⮫쪮 ¢¯®«¥ ®¯à¥¤¥«ñ®£® ⨯ , ¨¬¥®,ª®¬¯«¥ªá®§ çë¥ äãªæ¨¨ f (x); g(x) ¨ â.¤., § ¤ ë¥ ¡¥áª®¥ç®© ¤¥©á⢨⥫쮩 ¯àאַ© 1 < x < +1. å ᮢ®ªã¯®áâì ®¡à §ã¥âäãªæ¨® «ì®¥ ¯à®áâà á⢥ ®¤®¬¥à®© ª¢ ⮢®© á¨á⥬ë.
DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® í⨠äãªæ¨¨ ¤®áâ â®ç® å®à®è® ¢¥¤ãâ á¥¡ï ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ᪠¦¥¬, â ª çâ® ¢á¥£¤ áãé¥áâ¢ã¥â á室ï騩áï ¨â¥£à «+1Z1jf (x)j2 dx: áᬠâਢ ¥¬ë¥ äãªæ¨¨ ¬®¦® ᪫ ¤ë¢ âì ¨ 㬮¦ âì ¯à®¨§¢®«ìë¥ ª®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« , ¥ ¢ëå®¤ï § ¯à¥¤¥«ë ¨å ¬®¦¥á⢠,â ª çâ® ®¨ ®¡à §ã¥â, ᮢ¥à襮 «®£¨ç®¥, ¨§ãç ¥¬®¬ã ¢ «¨¥©®© «£¥¡à¥, ¨«¨ ¯à®áâ® ®¡ë箬ã, à áᬠâਢ ¥¬ëå ¢ ®¡ë箬 䨧¨ç¥áª®¬âàñ嬥஬ ¯à®áâà á⢥. ®â«¨ç¨¥ ®â íâ¨å ¢¥ªâ®àëå ¯à®áâà á⢠¯à®áâà á⢮ ª®¬¯«¥ªá®§ çëå äãªæ¨© f (x) f (x), ®¤ ª®,., ¨«¨ ¯à®áâ®, §ë¢ ¥âáï ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢, ¤«ï ª®â®àëå ¡áâà ªâ® ®¯à¥¤¥«¥ë ¤¢¥ á«¥¤ãîé¨å «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ ®¯¥à 樨 { á㬬 ¤¢ã嫨¥©®¥ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ª®¥ç®¬¥à®¬ã «¨¥©®¬ã ¢¥ªâ®à®¬ã ¯à®áâà -áâ¢ã¯à®áâà -áâ¢ã âàñ嬥àëå ¢¥ªâ®à®¢¡¥áª®¥ç®¬¥à®¨¥©ë¬ ¢¥ªâ®àë¬ ¯à®áâà á⢮¬áâà á⢮¬¢¥ªâ®àë¬ ¯à®-2í«¥¬¥â®¢ ¨ 㬮¦¥¨¥ í«¥¬¥â ç¨á«®, ¢§ï⮥ ¨§ ¥ª®â®à®£® ¤ ®£® ç¨á«®¢®£® ¯®«ï, ª®â®à®¥ ¢ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ ¢á¥£¤ áç¨â ¥âáï ¯®«¥¬ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥«.
DZà¨çñ¬ 㪠§ ë¥ ¤¢¥ ®¯¥à 樨 㤮¢«¥â¢®àïîâ á«¥¤ãî騬 ᥬ¨ ªá¨®¬ ¬ (ª®¬¬ãâ ⨢®áâì, áá®æ¨ ⨢®áâì, ¤¨áâਡã⨢®áâì):1: a + b = b + a2: a + (b + c) = (a + b) + c3: 90 : a + 0 = a4: (a) = ()a5: ( + )a = a + a6: (a + b) = a + b7: 1:a = a¤¥áì a; b; c; ::: ®¡®§ ç îâ í«¥¬¥âë, ¨«¨, pacc¬ âਢ ¥¬®£® «¨¥©®£® ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠; ; ; ::: ®¡®§ ç îâ ª®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« .DZà®áâà á⢮ äãªæ¨© ¢ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ ¤«ï ª¢ ⮢®© á¨áâ¥¬ë ¥®¡å®¤¨¬® à áᬠâਢ âì ¥ ¯à®áâ® ª ª «¨¥©®¥ ¢¥ªâ®à®¥¯à®áâà á⢮, ª ª â ª®¥ ¯à®áâà á⢮, ¤®¯®«¨â¥«ì® á ¡¦ñ®¥. §ë¢ ¥âáï ®¯¥à æ¨ï ᮯ®áâ ¢«¥¨ï «î¡ë¬ ¤¢ã¬ í«¥¬¥â ¬ ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠¥ª®â®à®£® ç¨á« ¨§®á®¢®£® ç¨á«®£® ¯®«ï (¢ ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ ¬ë áç¨â ¥¬ íâ® ¯®«¥¯®«¥¬ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥«).¡®§ 稬 㪠§ ®¥ ç¨á«® ᨬ¢®«®¬ (a; b).
ª¨¬ ®¡à §®¬, «î¡ë¬ ¤¢ã¬ í«¥¬¥â ¬ a; b ¬ë ᮯ®áâ ¢«ï¥¬, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® (a; b), ª®â®à®¥ ¬®¦¥â ¡ëâì, ª®¥ç®, ¨ ¤¥©á⢨⥫ìë¬ ç¨á«®¬. DZਠí⮬ ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¤®«¦® 㤮¢«¥â¢®àïâì á«¥¤ãî騬 ¨§¢¥áâë¬ ç¥âëàñ¬ ªá¨®¬ ¬:1: (a;b) = (b; a)2: (a; b + c) = (a; b) + (a; c)3: (a; b) = (a; b)4: (a; a) ï¥âáï ¤¥©á⢨⥫ìë¬ ç¨á«®¬ 0;¯à¨çñ¬ ã«ì ¤®á⨣ ¥âáï ⮫쪮 ¯à¨ a = 0:¢¥ªâ®àë᪠«ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ª «ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬¤¥áì ç¥àâ ®¡®§ ç ¥â ª®¬¯«¥ªá®¥ ᮯà殮¨¥.
«ï ®¯¥à 樨ª®¬¯«¥ªá®£® ᮯà殮¨ï ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì â ª¦¥ §¢¥§¤®çªã * .3¨¥©®¥ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ ¤ ¯®«¥¬ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥«,á ¡¦ñ®¥ ᪠«ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬, §ë¢ ¥âáï.ã¨â àë¬ «¨¥©-ë¬ ¢¥ªâ®àë¬ ¯à®áâà á⢮¬DZਬ¥à. à áᬮâ८¬ ¬¨ ¬®¦¥á⢥ ª®¬¯«¥ªá®-§ çëåäãªæ¨© f (x), § ¤ ëå ¤¥©á⢨⥫쮩 ¯àאַ©: 1 < x < +1,᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¢®¤¨âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬(f; g) =+1Z1f (x)g(x)dx;â.¥. ¤¢ã¬ äãªæ¨ï¬ f (x) ¨ g(x) ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«®,®¡®§ ç ¥¬®¥ ª ª (f; g), § ¤ ¢ ¥¬®¥ ¯à¨¢¥¤ñë¬ ¨â¥£à «®¬. ª®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¤«ï ª®¬¯«¥ªá®-§ çëå äãªæ¨©, ª ª «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢á¥¬ ç¥âëàñ¬ ¯à¨¢¥¤ñë¬ ¢ëè¥ ªá¨®¬ ¬ ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï. ªá¨®¬ ®ç¥¢¨¤® ¢ë¯®«ï¥âáï ¯®â®¬ã, çâ® ª®¬¯«¥ªá®¥á®¯à殮¨¥ ¨â¥£à « , ¡¥àã饣®áï ¯® ¤¥©á⢨⥫쮩 ¯¥à¥¬¥®© x,à ¢® ¨â¥£à «ã ®â ª®¬¯«¥ªá®£® ᮯà殮®£® ¯®¤ëâ¥£à «ì®£® ¢ëà ¦¥¨ï, ¯à¨çñ¬ ®ç¥¢¨¤®(f (x)g(x)) = g(x)f (x):¨ ªá¨®¬ë ⮦¥ ®ç¥¢¨¤ë¬ ®¡à §®¬ ¢ë¯®«¥ïîâáï.â® ª á ¥âáï ªá¨®¬ë, â® ® ¢ë¯®«ï¥âáï ¯®â®¬ã, çâ®DZ¥à¢ ïâ®à ïâà¥âìïç¥â¢¥à⮩(f; f ) =+1Z1jf (x)j2 dx: ª ª ª ¬®¤ã«ì jf (x)j ï¥âáï ¤¥©á⢨⥫ìë¬ ç¨á«®¬, â® á¯à ¢ ¨¬¥¥¬ ¨â¥£à « ®â ¤¥©á⢨⥫쮩 äãªæ¨¨, â.¥.
¤¥©á⢨⥫쮥 ç¨á«®. â¥£à « íâ®â ¡¥àñâáï ®â ¯®«®¦¨â¥«ì®© äãªæ¨¨ ¨ ¯®íâ®¬ã® à ¢¥ ã«î ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ íâ ¯®¤ëâ¥£à «ì ï äãªæ¨ï ⮦¤¥á⢥® à ¢ ã«î. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨§ ⮣® çâ®(f; f ) = 0 ¥¯®á।á⢥® á«¥¤ã¥â, çâ® f (x) 0, â.¥. f 0.®¥ç®¬¥à®¥ ã¨â ஥ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ ¨¬¥¥â ¬®£® à §«¨çëå â ª §ë¢ ¥¬ëåá¨á⥬ í«¥¬¥â®¢, ¨«¨ ¡ §¨á®¢.ª®¥ç®¬¥à®£® «¨¥©®£® ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠§ë¢ ¥âá类¥çë© ¡®à í«¥¬¥â®¢ a1; :::; an, ç¨á«® ª®â®àëå à ¢® à §¬¥à®á⨯à®áâà á⢠, ª®â®àë¥ ®¡« ¤ îâ ⥬ ᢮©á⢮¬, çâ® «î¡®© í«¥¬¥â a¡ §¨áë姨ᮬ -4¨§ ¯à®áâà á⢠¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 㪠§ ëå ¡ §¨áëå í«¥¬¥â®¢:a = 1 a1 + ::: + n an =nXi=1 i ai ;£¤¥ 1; :::; n { ¥ª®â®àë¥ ª®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« , ª®â®àë¥ §ë¢ î⢥ªâ®à a.ᮡ¥® ¢ ¦ë â ª §ë¢ ¥¬ë¥¢ ã¨â àëå ¢¥ªâ®àëå ¯à®áâà á⢠å. §¨á §ë¢ ¥âáï ®à⮮ନ஢ ë¬, ¥á«¨ ¥£® ¢¥ªâ®àë ¯®¯ à®, â.¥.
㤮¢«¥â¢®àïîâãá«®¢¨î8i; j : (ai ; aj ) = 0 ¯à¨ i 6= j¨ ¥á«¨, ªà®¬¥ ⮣®, ª ¦¤ë© ¢¥ªâ®à ¥¤¨¨æã, â.¥. 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î8i : (ai ; ai ) = 1: á«ãç ¥ ®à⮮ନ஢ ®£® ¡ §¨á ®ç¥ì «¥£ª® ©â¨ ª®¬¯®¥âë à §«®¦¥¨ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ¢¥ªâ®à ¯® ¡ §¨áã. DZãáâì ¨¬¥¥¬ à §«®¦¥¨¥nXa = 1 a1 + ::: + n an = i ai ;ª®¬-¯®¥â ¬¨¢ ¤ ®¬ ¡ §¨á¥®à⮮ନ஢ ë¥ ¡ §¨áë®à⮣® «ìë®à¬¨à®¢ i=1¨ ¯ãáâì ¡ §¨áë¥ ¢¥ªâ®àë a1; :::; an ®à⮣® «ìë ¨ ®à¬¨à®¢ ë, â.¥.㤮¢«¥â¢®àïîâ á®®â®è¥¨ï¬ ®à⮮ନ஢ª¨(ai ; aj ) = Æi;j ;£¤¥ Æi;j { â ª §ë¢ ¥¬ë©, ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î à ¢ë©1 ¯à¨ i = j ¨ 0 ¯à¨ i 6= j . ¬®¦¨¬ ¯à¨¢¥¤¥®¥ à §«®¦¥¨¥ á«¥¢ ᪠«ïà® ª ª®©-¨¡ã¤ì ¡ §¨áë© ¢¥ªâ®à ak ; ⮣¤ ¯®«ã稬 ¯à®á⮥ᮮâ®è¥¨¥á¨¬¢®« ஥ª¥à (ak ; a) =â.¥.nXnXi=1i=1(ak ; i ai) =i (ak ; ai ) =8k : k = (ak ; a) ;nXi=1i Æk;i = k ;¯®«ã稫¨ ®ç¥ì ¯à®áâãî ä®à¬ã«ã ¤«ï ª®¬¯®¥â à §«®¦¥¨ï. ª ¬ë 㦥 ᪠§ «¨, äãªæ¨® «ìë¥ ã¨â àë¥ ¢¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà á⢠, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â «¨¥©ëå ¢¥ªâ®àëå ¯à®áâà áâ¢, ¨§ãç ¥¬ëå5¢ «¨¥©®© «£¥¡à¥, ¡¥áª®¥ç®¬¥àë; ¯à¨ í⮬, ª ª ¯à ¢¨«®, ¥ ¯à®áâ® ¡¥áª®¥ç®¬¥àë, ¡¥áª®¥ç®¬¥àë, â.¥.
¨å ¡ §¨áë¥ ¢¥ªâ®àë å à ªâ¥à¨§ãîâáï \®¬¥à®¬", ª®â®àë© ¯à¨¨¬ ¥â \¥¯à¥àë¢ë¥" § 票ï.ª®â¨ã «ì®DZਬ¥à. DZਢ¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à ª®ªà¥â®£® ®à⮮ନ஢ ®£® ¡ §¨á ¢ ¯à®áâà á⢥ ª®¬¯«¥ªá®-§ çëå äãªæ¨© f (x), § ¤ ëå ¢á¥© ¤¥©á⢨⥫쮩 ¯àאַ© 1 < x < +1.â®â ¯à¨¬¥à á¢ï§ á ¢ ¦®© ¨¤¥¥© ᮢ६¥®© 䨧¨ª¨ { ¨¤¥¥©, â.¥.
á ¨¤¥¥© à §«®¦¥¨ï ¯à®¨§¢®«ì®© äãªæ¨¨.¨¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ ¤«ïà áᬠâਢ ¥¬ëå äãªæ¨© ¨¬¥îâ ¢¨¤á¯¥ªâà «ì®£® «¨§ ¢ ¨â¥£à « ãàì¥DZàאַ¥®¡à ⮥+1Z1f (x) = p21+1Zp1F (k ) =F (k)eikx dk;21f (x)e ikx dk;DZ¥à¢ãî ä®à¬ã«ã (ä®à¬ã«ã ¯àאַ£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥) ¬®¦®à áᬠâਢ âì ª ª ä®à¬ã«ã à §«®¦¥¨ï ¯à®¨§¢®«ì®© äãªæ¨¨ f (x)¯® ¡ §¨áë¬ äãªæ¨ï¬1f (x) = p eikx ;2£¤¥ ª®â¨ã «ìë© ¨¤¥ªá k äãªæ¨¨ ¯à®¡¥£ ¥â ¢á¥ ¢¥é¥áâ¢¥ë¥ § 票ï 1 < k < +1. ⨠¡ §¨áë¥ äãªæ¨¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ á«¥¤ãî饬ã ᢮¥®¡à §®¬ã á®®â®è¥¨î ®à⮮ନ஢ª¨(fk ; fk ) = p12+1Z01e ik x eikx dx = Æ(k00k);£¤¥ Æ(k0 k) {0 â ª §ë¢ ¥¬ ï Æ- 0, ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î,à ¢ ï 0 ¯à¨ k 6= k ¨ à ¢ ï 1 ¯à¨ k = k, ¯à¨çñ¬ áç¨â ¥âáï, çâ®äãªæ¨ï ¨à ª +1Z1Æ(k0k)dk = 1: ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯¥à¢ ï ä®à¬ã« (ä®à¬ã« ¯àאַ£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥) ï¥âáï «®£®¬ ä®à¬ã«ë à §«®¦¥¨ï ¯à®¨§¢®«ì®£®6¢¥ªâ®à ¯® ¡ §¨áë¬ ¢¥ªâ®à ¬: a = Pi i ai; ⮫쪮 ¢¬¥áâ® ¤¨áªà¥â®£® ¨¤¥ªá i ⥯¥àì ¯®ï¢«ï¥âáï ¨¤¥ªá k, ¯à¨¨¬ î騩 ¥¯à¥àë¢ë¥(ª®â¨ã «ìë¥) § 票ï.+1®®â¢¥âá⢥® á㬬 Pi § ¬¥¥ ¨â¥£à «®¬ R dk.
«®£®¬1ª®íää¨æ¨¥â®¢ à §«®¦¥¨ï i ⥯¥àì ¢ëáâ㯠¥â äãªæ¨ï F (k), §ë¢ ¥¬ ïäãªæ¨¨ f (x).â®à ï ¢ë襯ਢ¥¤¥ ï ä®à¬ã« (ä®à¬ã« ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥) ï¥âáï «®£®¬ ä®à¬ã«ë ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ à §«®¦¥¨ï k = (ak ; a) ¯® ®à⮮ନ஢ ®¬ã ¡ §¨áã. ¥©á⢨⥫ì®,¢®§ì¬ñ¬ ä®à¬ã«ã+1Z1ikxf (x) = p2 1 F (k)e dkäãàì¥-®¡à §®¬¨ 㬮¦¨¬ ¥ñ á¯à ¢ ¨ á«¥¢ äãªæ¨î fk (x) = p12 e ik x, § ⥬¯à®¨â¥£à¨à㥬 ¯® x ®â 1 ¤® +1. DZ®«ã稬 ⮣¤ , çâ®00+R1p12dxe1ik0 x f=(x) =+R11+R11F (k)+R1p12e1!ik0 x+ikx dxdk =F (k)Æ(k k0 )dk = F (k0 ) : ª ¢¨¤¨¬, ä®à¬ã«ë ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ ¬®¦® à áᬠâਢ âìª ª ä®à¬ã«ë à §«®¦¥¨ï í«¥¬¥â äãªæ¨® «ì®£® ¯à®áâà á⢠¯®ª®â¨ã «ì®¬ã ®à⮮ନ஢ ®¬ã ¡ §¨áã.A^ ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì «î¡®© à¥æ¥¯â, ¨«¨ ¯à ¢¨«®, ¨«¨ § ª®, ¯® ª®â®à®¬ã «î¡®¬ã í«¥¬¥âã f ¨§ äãªæ¨® «ì®£® ¯à®áâà á⢠¬ë ᮯ®áâ ¢«ï¥¬ ¢¯®«¥ ®¯à¥¤¥«ñë©, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¤à㣮©í«¥¬¥â g ¨§ í⮣® ¯à®áâà á⢠A^g = A^ ff!g:¯¥à â®à A^ §ë¢ ¥âáï, ¥á«¨ ® ®¡« ¤ ¥â ¤¢ã¬ï ᢮©á⢠¬¨:1: A^ (f1 + f2) = A^ f1 + A^ f2 ¯à¨8f1; f2; 2: A^ (f ) = A^ f ¯à¨8f; :®¯¥à â®à®¢ A^ ¨ B^ §ë¢ ¥âáï ®¯¥à â®à C^ = A^B^ ,¤¥©á⢨¥ ª®â®à®£® ¯à®¨§¢®«ìë© í«¥¬¥â f äãªæ¨® «ì®£® ¯à®áâà á⢠᢮¤¨âáï ª ¤¢ã¬ ¤¥©áâ¢¨ï¬ { á ç « ¤¥©áâ¢¨ï ®¯¥à â®à B^¯¥à â®à®¬«¨¥©ë¬DZந§¢¥¤¥¨¥¬7¨ § ⥬ ®¯¥à â®à A^B^ A^f!g!h^C = A^B^C^ f= A^(B^ f )DZந§¢¥¤¥¨¥ ®¯¥à â®à®¢, ¢®®¡é¥ £®¢®àï,, â ªª ª ®¯¥à â®à C^ = A^B^ ®â«¨ç ¥âáï ®â ®¯¥à â®à D^ = B^ A^, ¢ ª®â®à®¬®¯¥à â®àë A^ ¨ A^ ¯¥à¥¬®¦ îâáï ¢ ®¡à ⮬ ¯®à浪¥. ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¥ ¢¢®¤ïâ ®¯à¥¤¥«ñã®¬¬ãâ¨à㥬ëå «î¡ëå ¤¢ãå ®¯¥à â®à®¢ { ¨å.
®¬¬ãâ â®à®¬ ¤¢ã宯¥à â®à®¢ A^ ¨ B^ §ë¢ ¥âáï ®¯¥à â®àdef: ^ ^A^ B^ B^ A^ [A;B] :®¬¬ãâ â®à ®¡®§ ç ¥âáï á¯¥æ¨ «ìë¬ á¨¬¢®«®¬ [A;^ B^ ]. ᫨ª®¬¬ãâ â®à ¤¢ãå ®¯¥à â®à®¢ à ¢¥ ã«î, â® £®¢®àïâ, çâ® ®¨¤àã£ á ¤à㣮¬, â.¥. ¨å ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â ¯®à浪 ®¯¥à â®à®¢:A^B^ = B^ A^ :E^ §ë¢ ¥âáï ®¯¥à â®à, ª®â®àë© ¯¥à¥¢®¤¨â ª ¦¤ë© í«¥¬¥â f ¯à®áâà áâ¢ á ¬®£® ¢ ᥡï, â.¥.E^ f = f; 8f :A^ 1 , ¥á«¨ ⮫쪮 ® áãé¥áâ¢ã¥â, §ë¢ ¥âáï ®¯¥à â®à, ¤«ï ®¯¥à â®à A^, ª®â®àë© ®¡« ¤ ¥â ⥬ ᢮©á⢮¬, çâ®A^ 1 A^ = A^ A^ 1 = E^ :¯¥à â®à®¬,®¯¥à â®àã A^, ®¡®§ ç ¥+^¬ë© A , §ë¢ ¥âáï ®¯¥à â®à, ª®â®àë© ®¡« ¤ ¥â á«¥¤ãî騬 ᢮©á⢮¬: ¤«ï «î¡ëå ¤¢ãå í«¥¬¥â®¢ f ¨ g äãªæ¨® «ì®£® ¯à®áâà á⢠á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥á⢮(f; A^ g) = (A^+f; g) ; 8f; g :à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¤¥©á⢨¥ ®¯¥à â®à A^ ¢ ᪠«ï஬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¨¬®¦® \¯¥à¥¡à®á¨âì" á® ¢â®à®£® ª®¬¯®¥â ¯¥à¢ë©, ¥á«¨ ⮫쪮¥ª®¬¬ãâ¨à㥬®¬¥à㪮¬¬ãâ â®àª®¬¬ã-â¨àãîâ ¤¨¨çë¬ ®¯¥à â®à®¬¡à âë¬ ®¯¥à â®à®¬íନ⮢᪨ ᮯàï¦ñë¬8§ ¬¥¨âì ¯à¨ í⮬ ®¯¥à â®à A^ ¥£® íନ⮢᪨ ᮯàï¦ñë¬ ®¯¥à â®à®¬ A^+.