Тимофеев Г.А. - Теория механизмов и механика машин, методические рекомендации по решению ДЗ, страница 7

Решим задачу об ускорениях. Продифференцировав уравнения (2.23), получим систему линейных уравнений относительно Зрг" Зрз: 'рг~г згп'рг 'РЗ 3 зи11РЗ А ггргз 'рг 31РЗ! ! З»(2 24) 9212соз рг+Зрз(зсоззрз =-УА+12Ы з(п~рг+13(зрз) з(ПЗРЗ Найти зр" н зр' из системы (2.24) можно, используя прием, приведенный выше. Однако систему (2.24) (н (2.23) также можно 45 Модуль 6.

Группа П(4, 5). 1(0,1) -+ П(2,3) — э П(4,5). в ввв пвп Спроепнруем на оси координат: О - хс — Ь фь з(п яьь + Ь "соз ьрь ~ Уе =Ус +Ь'сььсоз'Рь+Ь 'зшьР». решить по правилу Крамера, что при автоматизированных расче- тах удобнее. Пример 4. Кулиснььй механизм на базе игарниунага четырехзееннина Если 5' = 1, то 4 и <р(«) — обобщенная координата. Формул» строения." Ддя анализа группы 1(0,1) предназначен модуль 1, группы П(2, 3) — модуль 5, для расчета кинематических параметров точки С вЂ” модуль 3. Составим расчетный модуль для диады П(4, 5) с вращательной внутренней и двумя внешними поступательными кинематическя.

ми парами. 46 дано: «3С(б) = ( „Ус,хс,ус, с *ус); Р«з (3) = И'ь йььь,чьь»' хг = сопз1 Найти; Р««(3) = (Ь,Ь',Ь ), «3Е(б) =(хя,уе,О.,уе,О.,уе), Условие замкнутости векторного контура: хе хс Из первого уравнения найдем Ь = —. соир» Из второго уравнения найдем уе, Продифференцируем систему (225): Ь'ьр» з)пьр» хс Из первого уравнения Ь' = созфь Из второго уравнения найдем уе.

Дифференпируя систему еще рзз подучим 2~' »р» з(п»р» + Х»((»р»)' соз»р» + р» з(п (р„~ — х' сов <р„ ув =- ус + 2Ь' Ф» соа»р» -Ь((»р'„)' з(п»р» — <р" сов 4» 1+ Х»" з(не», Запишем порядок чередования модулей для расчета данногс механизма. 1. Модуль 1. Результат Х1й(6) = (хв, ув хв, ув,хв, ув) 2, Модуль 5, В формуле (2.22) необходимо выбрать знак плюс (основная сборка). Результат: РР2(3) =(»р,„»р',»р",), РРЗ(3) = (»рз,»р'„»р',). ° 3. Модуль 3. Дано: ВХ(6) = Х»й(6) = (хв,ув,хв,у~,хд,ув); Я =1 с„РРХХ(З) = =Ррв(3) = Мв~»Р2.Ю. Найти; .ВС(6) = (хс„уг,хс,рс,хс,уев), 4.

Модуль 6. Дано: ВС(6) =(х„.,ус,х'.,Ус,хс,ус); РРН(3) = ((»р, -к/2),<р',,<р,"); хе= сонм, Найти: РН(3) = (л„Кл"), ХЗЕ(6) = (хе,у,0.,уе,0.,уе), 5, Модуль 3. Для расчета координат точки оз. Дано: ХЩ6)=(хв,ув,х',ув,хв,у')„ХХ=Хои', РРЯ(3)-"(»рз,»р',,»рв). Найти: Хв32(6) =(хв„увз,хвз,уз,,хвз,у~»). Пример 5. Кулисньвй механизм, входным звеном которого лелнетсл коромысло Проведем структурный анализ механизма, выбрав в качестве обобщенной коордннать» угол»р. Получим следующую формулу строения механизма: 1(0, 1) -+ П(2,3) -+ П(4, ~, В пвв впп По сравнению с механизмами, рассмотренными ранее, строение данного механизма обладает одной существенной особенно- 48 стью, которая не позволяет начать кинематический анализ с расчета группы 1(0,!) модулем 1.

Эта особенность заключается в том, чво следующая группа П(2, 3) присоединяется к начальному звену лвв яе вращательной, а поступательной кинематической парой А. Позтому расстояние Х не постоянно, а зависит от положения звена 1, т,е. направляющая для ползуна является подвижной, Анализ механизмов подобного типа следует начинать сразу с расчета присоединенной к начальному звену группы. Модуль 7. Группа П(2,3) с подвижной направляющей для пвв лолзуна. усложним конфигурацию группы. Рассмотрим общий случай, когда ось поступательной пары А (ось 2) не проходит через внутренний шарнир В, а отстоит от него на некотором расстоянии»Х. Ьх =хм ха~ Ьх =хм ха* Ь=~Ь~=Д- Ь,' Ум Ул 21 Ф Ьк =Ум Ул~ Ьг =Ум Уа* сР» = агстй(Ь /Ь„) (2.26) 50 Положение группы при плоском движении определяется нс.

ложением связанных со звеньями векторов а = Й3 и Ы = .ВА, Прз фиксированных положениях внешнего шарнира Х) и оси 7 возмск. ны два варианта сборки группы (на рисунке второй вариант поки. зан штриховой линией), которые будем отличать с помощью чи. елового признака сборки ЗОВ=х1: если обход кинематическиз пар Ху, В и С (внешний шарнир -+ внутренний шарнир -+ постум.

тельная пара) совершается по ходу часовой стрелки, то ЗОВ =-!: если против хода, то ЗОВ =+1. Задача кинематики формулируется следующим образом. Дано; ХЗХтб) =( Х(6)=(х,у„„х,'„у',хл,у'); 1 =-а=сольц ~„„=-а'=соли Движение оси Е поступательной пары определяется заданнымз параметрами некоторой ее произвольной точки М: ХЗМ(6)= =(хм,ум,х',ум,х",ум), и угловыми параметрами: РР2(3)=. =('р Е' 'рх) Найти: РРА(3) = (<р„<р'„<р',); РН(3) = (Ь, Ь"„Ь").

Введем кбазовый» вектор Ь=Х)М, связывающий заданнмс точки В и М, Тогда условие замкнуюсти векторного контурз ХЗВСМ имеет вид Параметры вектора Ь: 13В(6) = (Ь,<р„,Ьд.,Ь„',Ь;,Ь„"), определяются согласно алгоритму и считаются известными, Спроецируем уравнение (2.26) на осн координат и после перехода от тригонометрических функций углов (ф + Зк~2) и (~р + я) к функциям угла дх получим Ьсозср, =ассам, +Иссяк, йЬсоз~р., Ьз(п<р~ =азппр,-Из(п<р, ~Ьз1п~р,. Знак перед Ь в (228) зависит от направления вектора Ь относительно оси 2 поступательной нары (при совпадении направления вектора Ь с направлением оси 7 получается знак плюс, в противном случае — знак минус)„что, в свою очередь, зависит от выбора точки М на оси Е Чтобы сделать алгоритм расчета Ь инвариантиым относительно выбора точки М, будем условно считать, что вектор Ь совпадает по направлению с осью Х независимо от положения точки М, тогда систему уравнений (2.28) будем всегда записывать со знаком плюс перед Ь, и если при ее решении значение Ь получится отрицательным, то зто будет означать, что вектор Ь в действительности имеет противоположное направление.

Учитывая сказанное, перепишем систему (2.28) в виде Ьсозсз„— аз1п~р -Ьсозф, = асозср„, Ьз1пср„+Иссяк, -Ьзйнр, =азшр,. Возведя в квадрат обе части уравнений (2.28а) и складывая их, Ь~+с(~+Ь~+2Ыз(п(9 -<р„)-2ЬЬсоз(у -р )=а~.

(2.29) Уравнение (2,29) является квадратичным относительно Ь: Ь'-2ЬЬсоФрз — грз)+(Ь +сХ -а +2Ыз1п(грз-срз))=0. (230) При решении (2.30) получаем два значения Ь, соответствуюглаз двум вариантам сборки группы: Ь =Ьсоз(ш„-гр )+ЗОВ~Го — (И+Ьз(п(рз -гр )Г. (2.311 Далее нз (2.28а) найдем тригонометрические функции угла гр,: з(п<р, =(Ьз(п<р +Нсоз~р, — Ьз(пгр,)/а, созгр, = (Ь совая -Изпнр, — Ь совр,)/а. шарнир В (при этом Х = 8А= О), Эта конфигурация в механизмах встречается наиболее часто. Ниже ва рисунке показаны оба возможных варианта сборки группы.

Знак числового признака сборки определяют по следующему правилу: если обход контура ХЗХ)Х)з (где Х) — внешняя вращательная пара, Х1 — внутренняя вращательная пара, Х)з — проекция внешней лары на ось У поступательной пары) совершается ло ходу часовой стрелки, то ЗОВ=-1„если против хода, то 36В =+1. Учитывая, что Ьсоирь =Ь„, Ьз(пу = Ь, перепишем системз (2.28а) в виде Ьсозгр, +осовев, =Ь -Аз)пгр„ Ьз(пгр, +азшгр, =Ь,,+Исозгр,. После дифференцирования (2.33) по обобщенной координате 9 получим систему линейных уравнений относительно неизвестных Ь' и гр',: Ь'созгр, -гр',аз(пгр„= Ь' +Ьгр', з1п~р„- Йр', созгр„ (2.341 Ьз(пгр,+гр',асоир, =Ь;,— Ьр',созгр,-йр',з(пгр,. Прн повторном дифференцировании (2.34) получаем систему ли- нейных уравнений относительно неизвестных 6" н гр",: Л"соз<р,-<р",аз(пгр, =Ь"„+а(<р'„) совр„~- + ~2Ь9' + Ьгр" +а(9',)~1з1пгр, +(Ь(р',) — ~Хгр" 1созгр,„ Ь"з(пф, +<р",асозгр.

=Ь,", +а(~р',)'созгр,— — 12Лгр' + Ьгр" + г((гр',)')созгр, + (Ь(гр',) — йр~)з1п ~р,, Системы уравнений (234), (2,35) репшются по правилу Крамера. Рассмотрим частный случай конфигурации группы П(2, 3), когпвв да ось поступательной пары А (ось Л) проходит через внугренннв 52 Постановка задачи кинематики в этом случае ничем не отличается от рассмотренного общего случая, за исключением того, что направление оси У здесь определяется поворотом вектора ХЮз против хода часовой стрелки на 90'.

Очевидно, что результаты, пслученные для общего случая, бу,зут справедливы и для рассматриваемого, если в формулах (2.27) — (2.35) положить Ы = О. Вернемся к механизму, описанному в примере 5, Для расчета его кннематическнх параметров необходимо последовательно использовать два расчетных модуля: 7 н 3. Расчет структурной группы П(2, 3) выполняется модулем 7.

пзв Ось У поступательной пары группы в данном случае совпадает с осью ОА входного звена Х. Произвольная точка М этой оси может быть совмещена с шарниром О, а положительное направление осн получено поворотом вектора ХЮя против хода часовой стрелки на 90'.

Связь между угловь1мн параметрами движения осн Ж 53 (5рг 9х 45Х) и входного звена 1 (~р,<р',<р') определяется ми соотношениями »» 45л =Ф Фг =9 Ух=45 Вектор и = ВМ определяет параметры относительного движе- ния в поступательной паре А звеньев 1 и 2, Поскольку обход точек 1зВОХ совершается по направлению движения часовой стрелки, тс числовой признак сборки группы ЗОВ=-К Поэтому в данном случае для модуля 7: Дано: ~Ю(6)=(х,,у„,4хО), 1)М(6)=(бхО.), а=1 =солзд А=-О, ЕПВ= — 1, РРЕ(3)=(р, р',45"). Найти: Р 3(3) = (~р5,45'„45,"), Р11(3) = (й,й*,й").

Далее, определив угловые параметры вектора,ОВ, можно оп- ределить параметры точки В, принадлежащей звеньям 2 н 3. Для этого необходимо использовать расчетный модуль 3, Дано: ХЮ(6) = (х,у „4 х 0.), а =1 = сопз5, РР3(3) = (<р„<р5 „<р",). Найти: ~'В(6) =(хв,ув хв ув*хв,ув). Расчет структурной группы П(4, 5). впп Конфигурация этой группы соответствует частному случаю, поэтому нет необходимости проводить анализ группы в полном объеме, предусматривающем определение параметров относи- тельного движения в поступательных парах В(4„5) и С(5,О), По- скольку нас интересуют только параметры движения це5пра масс 55 ползуна 5, то, учитывая характер движения этого звена, иско- мые параметры можно определить по очевидным соотношениям, сфо)змировав массив 1-'"»5(6) = (х55»узз»хвз„у55»х55»У55); 55 = хе — 1З55» уз5 ув Хзз О У55 Ув» хзв = О ~ У55 = Уз» где хе — заданная координата точки Е ползуна 5 (смещение оси поступательной пары С(5,0) относителыю начала координат); 1вл— заданное расстояние между точками Е и Я; значения у , ', " 5 ил Ув Ув Ув содержатся в уже найденном массиве 15В.