Тимофеев Г.А. - Теория механизмов и механика машин, методические рекомендации по решению ДЗ, страница 6

1. Массив декартовых координат точки, составленный из коор. динат точки в системе координат ХОГ проекций иа ее оси скоро. стей и ускорений (или их аналогов), например: 0В(б) = (хв ув хв ув*хв ув) '~.~В 2(б) — (хм ~ ухз ~ хв2 ~ указ ~ х52 ух 1 «» 220(б) = (хо,уо,хс,у', хо,у' ), 2. Массивы полярных координат: РК(3) = (Ь,л',Ь") — полярного радиуса и его производиых: РР)(3) = (~р,, <р', ср",.) — полярного угла и его производных. 3. Символом ' или" будем обозначать первую или вторую про й'р,- изводную по любому параметру: д ~р, о. Так, если ф, '= — ', то р,' Йр * АЬ,. есть аналог угловой скорости 1-го звена а,. (~р,". = — — =с,.— и г' аналог углового ускорения).

Если «р, = — ', то ф, — угловая око. (ар,. В' рость а, (д", = в, — угловое ускореиие) 1-го звала. 1Хример А Криеогииино-иолзуиимй мехаиизм Степень подвижности его 6" = Зл — 2ри = 3.3 — 2 4 = 1, д— обобщенная координата, звено 1 — начальное (кинематическм пара 0 — НКП).

Механизм декомпозируется иа две кинематиче ские группы. 1. Группа 1(О, 1), Состоит из стойки — звено 0 и кривошипа .' (в обозначении указаны в скобках), образующих НКГ1 — вращь тельную пару 0 (в обозиачеиии группы индекс В). 2. Группа П(2, 3). В ее состав входят шатун 2, ползун 3 (указз ны в скобках) и три кииематические пары (иижний индекс): внев. ние — вращательная А, поступательная  — и внутренняя — ври 3а шательиая пара В; 1г' группы равна иулкк зто группа Ассура П класса — диада, Символическая формула строения мехаиизма: 1(О, 1) -+ П(2,3).

в ввп Основьпиясь на ней, получим алгоритм кииематического жилиза мехаиизма, построив соответствучощйе расчетиые модули. Модуль 1. Группа 1(0,!). в дало: 1„, =г, =сопв1, ~Р(1), а(Г), Ф) — кииемлтические параметры начального звена, Найти: Х)А(б) = (х „у,, х'„у'„, х"„у'„): в 3 хл=гвсозр(, хА= уА'~'~ хх= хх'гя уА'в~ уА =гвз1п~р~ уА=хв'ш ~ уА= ув'сз +хв'а~ Заметим, что при а =1 (в = О) для точки А кривошипа полу- Ф Ф чим аналоги скоростей х„' =в х,, у„=в „и ускорении х„=и уя = ивы. Модуль 2. Группа П(2, 3). ввп Дано: 2)А(б) =(х„у„,х„',У',х„",У"), 1„=1= сопз1, х„= сопят Н йти;РР2(3)=Ир„А, Ю, ХзВ(б)=(х ув,0 у' О,*ув) Запишем условие замкнутости векторного коитура: 35 / 1 / ! / ! / ! ! Спроецируем его на осн координат: Из первого уравнения найдем соз<рг =, х — х» », з(шр =х 1-созгягг. Знак =' 1 перед корнем есть признак сборки Вторая сборка на 1гисунке показанг: нгзриховой линией.

Знак плюс сост.: ветствует изменению <р в предела»: 1-Й и 2-Й четвертей, знак ~~нус 3-й и 4-й четвертей. Для основная сборки перед корнем следует оста. вить знак минус. Из второго уравне-; ния выразим Дифференцируя систему еще раз: х"„=-1(с~ырг(сг',)'+з(п р,.у',1, ;=у;-1(з(прг(ф,)'- рг г), получим функции ускорений хА+/сов!Рг(Уг) /зппр У»=УА+1(з Рг(Рг)'-с Рг Рг) Выполнив расчет по составленному алгорипиу, получим значеши всех злементов массивов РР2(З) н ВВ(6). Для расчета кинематнческих параметров тачки Яг составим вспомогательный модуль.

Модуль 3, Предназначен лля расчета кинематических параметров присоединнтельных пар и характерных точек, Дано: Р/(б) = (х„,уг,Х,У',х~,уг)! г аш!Рг =х 1 — саа фг, У» = УА — !агпфг есть функции положения кинематической группы (или группы Ас-,' сура) данного вида. Для решения задачи о скоростях продифференцнруем исход-~ ную систему: х', = х» -1»шаг.!рг = -/зшфг грг.

УА = У»+1саа<Рг <Рг. Найдем с ХА грг = чгг у'„=УА-1созсгг ~р'. =Я=сон»1, РРЯ(3)=(гр»,<р~,яг"), НаЙтн: ВМ(6)= (хм,,ум,хм ум,хм,ум). Условие замкнугости; гм=г +М„ О В проекциях на осн системы координат х = хг+ Ксозгр», ум = у + Ла(п<р», хм = х', -Ма(п<р» ф», у'„= у' + Юсова яг», хм =хг-ЖсозФ»(гр») +зшгр» 9»)~ Ум = Уг л(а(пф»й'») сааф» 'Чг»1 Покажем, как использовать построенный модуль для точки Яг, Дана,"//46) =(хА,УА,х„,ул»,х„,у»А); Й=1Ал', Ря!(3) =9рг+е,(р2г,Ф ° Найти: ВЯг(6) =(х»„у»г,х»„у»г,х»г„у»г). 37 я.=~с+й созфз+е.со Ф +- у~ =ус+я'зшфз+е "аш чзз+ — . 2! н перепишем «2,8): ХА -хс =Ь соз9з-е.з1пгр„ ул — ус = л япгрз+ е созе Пример 2.

Куписимй механизм Пусть ~р — обобщенная координата, Запишем формулу строения: »(О,!) -+ П(2,3) -+ П(4,5). Две входящие в данный механизм группы уже встречались в,' примере »: »(О, !) и П(4,5». в ввп Составим расчетный модуль для диады, образованной звенья- ~ мн 2 н 3, имеющей в своем составе три кинематические парьг внешние вращательные А и С и виутреннкно поступательную В. Модуль 4. Группа П(2, 3). влв Дано: 2»А(б) =(х„Л,4,У„,х'„,Ф; 2)С(б) = (хс,ус,я',Й,4, Ф. В данном варианте хс = ус = х~ = ус = О~ ! ~я =е =сопзг.

Найти: РГЗ(3) =(у„4ч, р,», Ргг(3) = (л,л „л ). Условие замкнутости векторного контура где л — вектор переменной длины. В проекциях на оси координат Воспользуемся формулами приведения со ~рз+ — =-з»пуз, я(п гр + — =сжр Преобразуем систему (2.9). Сначала первое уравнение умиожнм на соз~р„второе — на заир» н сложим нх: Затем умнояснм первое уравнение на — з1п»рз, второе — иа соз»рз и также сложим: е = -(х„— хс)з(п»рз + (у„- ус)соз»рз.

Для определения Ь уравнения (2.10) и (2.11) возведем в квадраз и сложим, после чего выразим Ь: Заметив, что квадратная скобка, согласно (2.10), равна Ь, окончательно получим - — х',, зпир, + у', соа»рз 9»» =— Ь Производная Ь' имеет внд »рйхз хс)з»п»рз (уз ус)соа»р»1~ хя соа»рз + уз зш»рз, илн с учетом (2.11) Ь'=.е»рз+х'„соа»рз+у'„а)п»р». (2.12) пе1»ед р~дика~ом в (2.12) оставим знак плюс, так как Ь есть модуль соответствующего вектора, Зная )г, можно найти тригонометрические функции угла <р». Умножив первое нз уравнений (2.9) на — е, второе на Ь, после сложения получим -(х„— х )е+(у„— ус)Ь е'+ Ь' Умножнм первое уравнение системы (2.9) на Ь, второе на е, сло- жим их и выразим соз»рз: (х„— х )Ь+(у,-у )е соз»р = ез+Ьз Далее найдем угол 9»з-' »р, = агсгй(зш»р,»»соз»р,) Решим задачу о скоростях.

Для определения ~рз продифференцируем уравнение (2.11): 0 = -(х„— хс)соз»Р»»Р» -х»Аз»п9»з -(У,, - Ус)з»п»Р»»Р» + Ух соз»Р„ 0 =-рз((хх — хс)созфз+(Ух — Ус)з)пф»1-х'„з»пауз ~ У' соз9» Для отыскания»р» днфференцируем (2.15), предварительно перенеся Ь влево: рз Ь рз Ь Ая з'3 уА ы'р» ~А рз рз уз рз 'рз ° Учитывая соотношение (2.1б) н приводя подобные члены, получаем 9»» = "-'- е(Р»)'-29з Ь'-4з»»»9»+ У". созфз Ь 4 3 (2!7) Продифференцировав (2.16), найдем Ь" = х', соз»Р»+ У"„з)п»Р» -(х'„з(п9»з -У~ соя»Р»)»Р',. (2.18) Для частного варианта рассматриваемой группы Ассура, у которой длина плеча АВ кулисы равна нулю„функции положения легко найти непосредственно нз уравнений (2.12) — (2.14): з»па»» =, ~ж»рз =— уз ус хх хс Ь ' Ь Выражения для»р'„Ь', Ь" останутся без изменений. Функцию »рз получим, положив в (2.17) е = 0; -ар» Ь'-х,', з(п»рз+у„" соз»рз »рз = Ь 41 Таким образом, получены все расчетные зависимости для эчементов массивов РР(3) н РН(3).

Для анализа группы П(4, 5) необходимо использовать модуль 2, предварительно рассчитав кинематическне параметры присоедини- тельной пары В» заполнив массив Х/Х/(6) = (хс,ус,хс,ус,х~ ус) Для зтой цели предназначен модуль 3. Он же используется н для расчета параметров центров масс звеньев 3 и 4. Для точки Яь Дано; Х/С(б)=(х,у,,4х0); 11=1,; РРХ1(3) =(<р, ~-р,гр'„<р",). Найти: ХЖЗ(6) = (хзмуз,,х~з,у~„х~„уз,).

Для точки $,. Дано: Х/Х(6) = (хо Ус хс ус хг»»ус)» /с= 1ли1 РРЖЗ) = (»Ре % М Найти: ХЖ4(б) = (хам Уз4,хз „Уз „хз„уз4) Пример 3. Кулисный механизм на базе гиариириага чегнырехзееннина Если И' = 1, то у = =гр(г) — обобщенная координата. Формула строения 1(0„1) -+ П(2, 3) -ь П(4,5). Для анализа группы 1(0, 1) предназначен модуль 1, группы П(4, 5) — модуль 4. Прежде чем воспользоваться расчетным модулем 4, необходимо сформировать массив ИЗ(6) =(хр,у„,х~,у~,хл,ус) с помощью модуля 3, что возможно сделать лишь после анализа группы П(2,3). Составим расчет'иый модуль для диады П(2,3) с тремя ВВВ ввв вращательными кинематичсскими парами.

Модуль 5. Группа П(2, 3). Дано: ХЗА(б)=(хх умхА»ул хя у',); ХЗС(6)=(хс ус хс ус»хс ус)' 1„=1, =сопяц 1„- =., =сопев »' 2(3) = (»рз~/р2 грз)» РЗ(3) (ч»з грз »РЗ). Запишем условие замкнутости векторного контура: гс = г, +12 + 13, или 12 = гс — У/, -13» проецируя последнее на оси координат, получим 12 соз'рг хс хА 13 ' соз~рз» 123'и'Рг = ус уА 13 'з(П%. Уравнения (2.19) возведем в квадрат и сложим, обозначив =(х — А) +(у -у„), =(1', +12 — 1 )/21„ результат этого преобразования представим в виде (хс — х„)соззр, +(ус -УА)з(пзрз = с. (2,201 Из уравнения (2.20) определим угол Зрз.

Выразим з(п1рз и соз<рз через !й(зрзгз2) по формулам тригонометрии: 1+ !дг(ЗР„'2) ~ 1+ !й (р,1'2) (2,21! Подставив зти выражения в (2.20) и освободившись от знаменате- ля, получим (с А-(хс — хА)1 !й'(~Рз/2)-2ЬС-УА) 1К(93/2)+1с-(хс — ХА)1=0 Решение квадратного уравнения определяется формулой ! Л1-~ь с+(х -х„) (2.221 В основной сборке угол 0 «рз < я. где 21=31гл'-сг. После вычисления !й(зрз/2) надо по формулам (2.21) подсчитат» з)пзр и соз<рз, а затем, исходя из соотношений (2.19), найти зш и соз1рг. Знак плюс-минус в (2.22) указывает на две сборки рассыл!. риааемой группы (вторая показана на рисунке штрихами). Основноя сборке соответствует в нашем случае знак плюс, в чем можно убедиться„найдя два значения угла зрз последовательно используя фс11.

мулы (2.22), (2.21). Зная две функции угла, найдем угол зрз = агс1К(з!'1 зрз/соз 1рз ). Решим задачу о скоростях. Дифференцируя систему (2,19), получим систему линейных уравнений: 12 Р2 з1по2 хс хА + 13 Рз 31П 333. 12'Р2 соз1Р2 ус уА 13!33 соз'рз учитывая, что для рассматриваемого механизма хс =. у~ — — О, запишем — 121рг з)ПЗРЗ = — Х1+ 131рз ззп Зрз» !2'Рг соззрг = УА 131рз Соззрз. Исключим нз (2.23) Зр',» для чего умножим первое уравнение на соззР3, втоРое — на ыпзРЗ и сложим ик: хА соз1рз+ уА зшзрз ЗР 2 12(31п~рг соз!Рз соз'РЗЯ1п Рз) Умножив первое уравнение (2.23) на созЗр„второе — на ззпзрг и сложив их, найдем ХА Соз»рг + УА з!пзрг р'3— 13(з!П рзсоз'рг СОЯ43331П~РЗ Можно знаменатель свернуть„например: ХА Соз Зр2 + УА з1П 1р2 'Рз = 13 зн" 'Рз»рг Однако для расчетов более удобным оказывается первоначальный вариант.