1 (вопросы для подготовки к экзамену)

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИМАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ /2010г2 курс, 4 сем., ИУ1,2,3,4.1. Что называют: (а) случайным испытанием; (б) элементарным событием; (в) пространством элементарныхсобытий; (г) случайным событием; (д) характеристическим множеством случайного события?2. Дайте определение вероятности по Лапласу (комбинаторное определение).3. Дайте геометрическое определение вероятности.

Что общего между геометрическим определением вероятности и определением вероятности по Лапласу?4. Дайте аксиоматическое (по Колмогорову) определение вероятности.5. Используя аксиоматическое (по Колмогорову) определение вероятности, докажите следующие утверждения: (а) P (∅) = 0; (б) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B); (в) если A ⊂ B, то P (A) ≤ P (B).6. Дайте определение условной вероятности. Как связаны условная и безусловная вероятности? Что понимают под теоремой умножения вероятностей?7. Дайте определение: (а) независимых случайных событий; (б) полной группы случайных событий.8. Выведите формулу полной вероятности.9.

Получите формулу Байеса.10. Дайте определение независимых испытаний. Что понимают под схемой Бернулли?11. Докажите, что при n испытаниях по схеме Бернулли вероятность Pnm того, что ровно m из них будутуспешными, определяется равенством:P nm = Cnm · pm (1 − p)n−m .12.

Проводятся n испытаний по схеме Бернулли иP nm = Cnm · pm (1 − p)n−m .Докажите, чтоnP(а)Pnm = 1;(б)m=0mP2m=m1 +1Pnm – вероятность того, что число успешных испытаний не превосходит m2 ≤ n, но больше m1 , где0 ≤ m1 < m2 ≤ n.13. Дайте определение скалярной случайной величины, сформулируйте и докажите основные свойства еефункции распределения.14. Что называют дискретной случайной величиной? Сформулируйте и докажите утверждение о виде функции распределения дискретной случайной величины.15.

Дайте определение непрерывной скалярной случайной величины и сформулируйте основные свойства ееплотности распределения вероятностей.16. Что называют функцией Лапласа и какими свойствами она обладает?17. Дайте определение обобщенной плотности распределения вероятностей дискретной скалярной случайнойвеличины и приведите аргументы для обоснования его корректности.18. Выведите понятие n-мерного случайного вектора и сформулируйте основные свойства его функции распределения.19. Что называют дискретным случайным вектором? Сформулируйте и докажите утверждение о видефункции распределения дискретного случайного вектора.20.

Дайте определение непрерывного случайного вектора. Сформулируйте и докажите основные свойстваего плотности распределения вероятностей.21. Что понимают под функцией случайных величин? Сформулируйте и решите задачу о нахождении законараспределения функции случайных величин (общий случай).22. Сформулируйте и решите задачу о нахождении закона распределения функцииϕ : G → Q случайных величин, где G ⊂ Rn , Q ⊂ Rn и уравнение Y = ϕ(X) имеет единственное решение в Gдля каждого Y ∈ Q.23. Дайте определение независимых случайных величин. Каким основным свойством обладает совместныйзакон распределения независимых случайных величин?24.

Что называют математическим ожиданием скалярной функции случайных величин? Сформулируйте идокажите основные свойства математического ожидания.25. Что называют дисперсией скалярной случайной величины? Сформулируйте и докажите основные свойства дисперсии.126. Дайте определение ковариации двух скалярных случайных величин. Сформулируйте и докажите основные свойства ковариации.27. Что понимают под коэффициентом корреляции двух скалярных случайных величин? Сформулируйте идокажите основные свойства коэффициента корреляции.28. Дайте определение ковариационной матрицы случайного вектора.

Сформулируйте и докажите основныесвойства ковариационной матрицы.29. Что понимают под законом больших чисел и что является его основным содержанием? Докажите неравенства Чебышева.30. Сформулируйте и докажите: (а) теорему Чебышева; (б) теорему Бернулли.31. Сформулируйте центральную предельную теорему. Сформулируйте и докажите теорему МуавраЛапласа.32. Пусть k(ω) – число ”успехов” в серии из n испытаний по схеме Бернулли и n – велико. Докажите, что вэтом случае¯´³ r´³¯ k(ω)n¯¯− p¯ < ε ≈ 2Φ0 ε,P ¯np(1 − p)где p – вероятность ”успеха” в каждом отдельном испытании.33.

Сформулируйте основную задачу математической статистики. Что понимают под: 1) случайной выборкой; 2) выборкой; 3) выборочным пространством; 4) статистикой?34. В чём заключается задача построения точечной оценки? Дайте определение несмещённой оценки идокажите, что выборчная дисперсия - смещённая оценка дисперсии.35. Что понимают под эффективностью точечных оценок? Докажите, что выборочное среднее - эффективнаяоценка для математического ожидания в подклассе линейных несмещённых оценок.36.

Что понимают под состоятельностью точечных оценок? Докажите, что выборочное среднее - состоятельная оценка для математического ожидания.37. Сформулируйте и докажите теорему Рао.38. Сформулируйте и докажите следствия из теоремы Рао.39. В чём состоит идея метода ”максимального правдоподобия” построения точечных оценок (случай дискретных случайных величин)? Случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром µ. Опреде−→лите оценку ”максимального правдоподобия” µ̂ (Xn ). Какими свойствами обладает эта оценка?40.

В чём состоит идея метода ”максимального правдоподобия” построения точечных оценок (случай непре−→рывных случайных величин)? ξ(ω) ∼ N (m, σ 2 ). Определите оценки ”максимального правдоподобия” µ̂ (Xn ) и−→σˆ2 (Xn ). Какими свойствами обладают эти оценки?41. Чем обусловлена необходимость построения интервальных оценок и что понимают под интервальнойоценкой? Как определить вероятность совершения ошибки при построении интервальной оценки и что понимаютпод вероятностной характеристикой точности интервальной оценки?42. Изложите принципиальную схему построения интервальных оценок и её обоснование, введя понятиецентральной статистики.−−−→43. Пусть ξ(ω) ∼ N (m, σ 2 ), где дисперсия известна.

По данным случайной выборки ξn (ω) постройте γ доверительный интервал для m при заданных полпжительных α1 и α2 , где γ = 1 − α1 − α2 . Проведите анализполученного результата.44. Что понимают под: 1) статистической гипотезой; 2) параметрической гипотезой; 3) простой и сложнойпараметрическими гипотезами; 4) критерием проверки статистических гипотез; 5) критическим множеством?45.

Что понимают под: 1) ошибками I-го и II-го рода при проверке статистических гипотез; 2) уровнемзначимости критерия; 3) мощностью критерия?46. Сформулируйте и решите задачу проверки простых параметрических гипотез (критерий Неймана Пирсона).−−−→47. ξ(ω) ∼ N (m, σ 2 ), где дисперсия σ известна. По данным случайной выборки ξn (ω) необходимо проверитьосновную гипотезу H0 : m = m0 при наличии конкурирующей гипотезы H1 : m = m1 > m0 .48. Сформулируйте задачу проверки двух сложных параметрических гипотез и проанализируйте её специфику.

Что понимают под размером критерия и функцией его мощности?49. Дайте определение равномерно наиболее мощного критерия и докажите, что в случае своего существования при фиксированном размере он минимизирует вероятность совершения ошибки II-го рода.2Типовые задачи для подготовки к экзамену по теории вероятности, 2 к., 4 сем., ИУ 1,2,3,4.1. Классическое определение вероятности. Алгебра событий. Комбинаторика. Теоремы умножения и сложения.

Условная вероятность.1. На 10 карточках написаны буквы ”а”,”а”, ”а”, ”м”, ”м”, ”т”, ”т”, ”е”, ”и”,”к”. После тщательного перемешивания карточки раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что на первых 8 карточках получитсяслово ”тематика”?2. В группе 13 студентов, среди которых 6 отличников. По списку отобраны 7 студентов.

Найти вероятностьтого, что среди отобранных студентов окажутся 4 отличника.3. Найдите вероятность того, что дни рождения 12 случайным образом выбранных человек придутся наразные месяцы года.4. В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что среди пяти наугад выбранныхбилетов два будут выигрышными?5. Двенадцать книг на полке расставляются наугад. Определить вероятность того, что при этом четыреопределённые книги окажутся поставленными рядом.6. Из букв слова ”вероятность”, составленного с помощью разрезной азбуки, наугад последовательно извлекаются 4 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово ”сорт”?7. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: p1 = 9, 7;p2 = 0, 8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.2.

Формула полной вероятности. Формула Байеса.1. Известно, что 90% выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту. Упрощенная схема контроляпризнаёт пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0.98 и нестандартную с вероятностью 0.05. Определите вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, отвечает стандарту.2. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, чтомост будет разрушен, если на него сбросить 4 бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны0.3; 0.4; 0.6; 0.3.3.