Курсовая работа по Диф.Гем. В-2 (course work) (Огромное количество решённых курсовых)

Министерство образования и науки Российской ФедерацииМосковский государственный технический университетИмени Н. Э. БауманаАэрокосмический факультетКафедра Вычислительная математикаи математическая физикаКУРСОВАЯ РАБОТАпо курсуДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯГЕОМЕТРИЯИ ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГОАНАЛИЗАВыполнил:студент 2-го курсаБаланин А.С.Преподаватель:к.ф.-м.н.,доц.Щетинин А.Н.Реутов – 2014Задача 1. Найти эволюту трактрисы.tx = −a ln tg + cos t ,2y = a sin t.Если кривая задана параметрическими уравнениями, то координаты (ξ, η) центракруга кривизны выражаются формулами:ẋ2 + ẏ 2ẏ,ẋÿ − ẍẏξ =x−η=y+ẋ2 + ẏ 2ẋ.ẋÿ − ẍẏГеометрическое место центров кривизны данной кривой называется ее эволютой. Найдем ее уравнение :! 2 cos t11−sint=−a;−sint=−aẋ = −asin tsin t2 tg 2t cos2 2tẍ = −a=a−2(cos t) sin2 t − cos3 tsin2 t=a2 cos t sin2 t + cos t(1 − sin2 t)sin2 t=cos t(2 sin2 t − sin2 t + 1)cos t(sin2 t + 1)=a;sin2 tsin2 tÿ = −a sin t.ẏ = a cos t;tξ = −a ln tg + cos t −2a!!4costa2+ a2 cos2 t a cos t2sin t!!=cos2 tsin2 t + 1a sin t − a cos ta cos tsin tsin2 tcos t (cos4 t + cos2 t (1 − cos2 t))t == −a ln tg + cos t − a2cos2 t sin2 t − cos2 t sin2 t + 1tcos ttt= −a ln tg + cos t − a= −a ln tg − a cos t + a cos t = −a ln tg .22222sin t − sin t − 1a2η = a sin t +a= a sin t +cos4 tsin2 t!+ a2 cos2 t!cos2 ta sin t − a cos tsin t!(−a)sin2 t + 1a cos tsin2 tcos2 t=sin tcos4 t + cos2 t(1 − cos2 t)cos2 tcos2 ta(−a)=asint+a=.2222sin tsin tsin tsin t cos t − cos t(sin t + 1)Мы получили, что координаты центра кривизны равны:taξ = −a ln tg; η=.2sin t1Видно, что если применить к ξ функцию ch (), то получим: t −1t +explntgexplntg− a ln tg22ξtch = ch= ch ln tg==aa22! t1 t1 − cos t 1 1 − cos tsin t1 = tg == tg ++==2 2sin t 2sin t1 − cos tt 2tg2!!221−2cost+cost+sint1−cost111== 2=2sin t(1 − cos t)2sin t(1 − cos t)sin tt2–что в свою очередь равноη.aПолучаем, что :η = a chξ– уравнение эволюты трактрисы.aЗадача 2.

Найти натуральные уравнения кривой.Кривая задана в пространстве уравнениями:x = 3 ch t + 4t,z = 4 ch t − 3ty = 5 sh t,(a 6 t 6 b)или в векторной форме:r(t) = (3 ch t + 4t, 5 sh t, 4 ch t − 3t)(a 6 t 6 b).Формулыk = k(s),κ = κ(s)где k и κ – кривизна и кручение кривой, а s – натуральный параметр (длина дуги)называются натуральными уравнениями кривой.Для нахождения натуральных уравнений кривой вначале вычислим ее кривизну икручение, которые находятся по формулам:k=|r0 × r00 |,|r0 |3κ=r0 (t) = (3 sh t + 4, 5 ch t, 4 sh t − 3) ;r00 (t) = (3 ch t, 5 sh t, 4 ch t) ;r000 (t) = (3 sh t, 5 ch t, 4 sh t) .2(r0 , r00 , r000 ).|r0 × r00 |2~k~i~j000r × r = 3 sh t + 4 5 ch t 4 sh t − 3 = 3 ch t5 sh t4 ch t ~i(20 ch2 t − 20 sh2 t + 15 ch t) − ~j(12 sh t ch t + 16 ch t − 12 sh t ch t + 9 ch t) ++ ~k(15 sh2 t + 20 sh t − 15 ch2 t) = ~i(20 + 15 sh t) + ~j(−25 ch t) + ~k(20 sh t − 15);p2t + 625 ch2 t + 400 sh2 t − 600 sh t + 225 =|r0 p× r00 | = 400 + 600 sh t + 225 shp√= 625 + 625 ch2 t + 625 sh2 t = 25 ch2 t − sh2 t + ch2 t + sh2 t = 25 2 ch t;p|r0 |p= 9 sh2 t + 24 sh t + 16 + 25 ch2 t + 16 sh2 t − 24 sh t + 9 =√= 25 sh2 t + 25 ch2 t + 25 ch2 t − 25 sh2 t = 5 2 ch t;√|r0 |3 = 250 2 ch3 t;Подставляем все это в формулу для k:√25 2 ch t1√k==3250 2 ch t 10 ch2 t3 sh t + 4 5 ch t 4 sh t − 35 sh t4 ch t = −125;(r0 , r00 , r000 ) = 3 ch t 3 sh t5 ch t4 sh t (Результат смешанного произведения векторов был получен на сайтеWolframAlpha(перейти по ссылке));|r0 × r00 |2 = 625 · 2 ch2 t;Подставляем все это в формулу для κ:κ=− 125225 · 25 · 2 ch t=−1.10 ch2 tПолучилось, что кривизна k и кручение κ равны:k = −κ =110 ch2 tНайдем натуральный параметр s:Zts=Zt √t√√0|r (u)| du = 5 2 ch u du = 5 2 sh u = 5 2 sh t.000Так как ch2 t = sh2 t + 1, то из формул для k и κ получаем натуральные уравнения:k = −κ =s235+ 50.