2 вариант готовое ДЗ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ«Московский государственный техническийуниверситетимени Н.Э. Баумана»(МГТУ им. Н.Э. Баумана)АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТКАФЕДРА«ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА»Дисциплина «МАТЕМАТИЧЕСКАЯСТАТИСТИКА»РАБОТА №1ВАРИАНТ 2Баланин А. С.Студент:Группа АК3-51Преподаватель:Валишин А.А.МОСКВА 2014Задача №1.Известно, что генеральная совокупность имеет распределение ПуассонаP  k kk!e   , неизвестным является параметр λ. Используя указанный ниже методполучения точечных оценок, найти по выборке (x1,x2,….x8) оценку неизвестногопараметра λ.1.

Метод моментов.2. Метод максимального правдоподобия.xi  (117 131 128 118 125 135 123 119), i  1, 8.1. Из теории известно, что математическое ожидание (первый момент) дляраспределения Пуассона равен  . Поэтому, исходя из смысла метода моментов, в качествеоценки неизвестного параметра  возьмём выборочное среднее:1 n1 ( )    x  ˆ  x   xi  124,5.n i 12. Составим функцию правдоподобия:nL( xn ,  )  i 1xixi !e  ,l ( xn ,  )  ln L( xn ,  );nnni 1i 1l ( xn ,  )   ( xi ln   ln xi   )  ln   xi   lnxi  n ;i 1l 11  xi  n  0  ˆ   xi  124, 5.  i 1n i 1Метод моментов и метод максимального правдоподобия подтвердили, что оценкойнеизвестного параметра  в распределение Пуассона является выборочное среднее(эмпирический момент первого порядка).

►nnЗадача №2.Известно, что генеральная совокупность имеет биномиальное распределениеP    m   C mn p m (1 p ) n  m , неизвестным является параметр p. Используяуказанный ниже метод получения точечных оценок, найти по выборке (x1,x2,….x8) оценкуp̂ неизвестного параметра p.1. Метод максимального правдоподобия.2. Метод моментов.xi  (117 131 128 118 125 135 123 119), i  1,8; n  150.1. Математическое ожидание (первый момент) для биномиального распределениявычисляется по формуле:nx1 ( p)   m  C mn p m (1  p ) n  m  np  pˆ   0,83.nm02.

Составим функцию правдоподобия (пусть m объём выборки равный 8):mL( xm , p)   p xi (1  p) n  xi ;i 1ml ( xm , p)   ( xi ln p  (n  xi ) ln(1  p)) i 1mmi 1i 1 ln p  xi  nm ln(1  p )  ln(1  p ) xi ;2l 1 mmn1 mxnx  xi xi  0   0  x  np p p i 11  p 1  p i 1p 1 p 1 pxpˆ   0,83.nМетод моментов и метод максимального правдоподобия подтвердили, что оценкойнеизвестного параметра p в биномиальном распределении является частота успеха. ►Задача №3.Генеральная совокупность имеет нормальное распределение с неизвестнымматематическим ожиданием a и известной дисперсией  2 .

По выборке ( x1 , x2 ,..., xn )объёма n вычислено выборочное среднее x .Определить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания,отвечающей заданной доверительной вероятности р.x  110; n  130; 2  100;p  0,94.Оценкой неизвестного параметра a является выборочное среднее x , которое будетобладать нормальным законом распределения с параметрами:  x N  a;.nПоэтому в виде исходной статистики возьмём выражение:x anN (0;1).Построение доверительного интервала:P  |  |     1    p ,12 где 1 квантиль нормального распределения уровня 1 2Из таблицы находим, что 1 0,97 . 0,97  1,88 .2   108,35  a  111, 65n 1 2В итоге мы получаем, что a  110  1, 65 с надёжностью 0,94.

►xn21ax2Задача №4.Генеральная совокупность имеет нормальное распределение с неизвестнымиматематическим ожиданием a и дисперсией  2 . По выборке ( x1 , x2 ,..., xn ) объёма nвычислены оценки математического ожидания и дисперсии – выборочное среднее x иисправленная выборочная дисперсия s 2 . Найти доверительный интервал дляматематического ожидания, отвечающей заданной доверительной вероятности p .x  2,1; n  28;s2  0,5  s  0,71; p  0,9.В этом случае в виде исходной статистики возьмём:x an T (n  1).sПостроение доверительного интервала:3P  |  | t  (n  1)   1    p ,12где t1(n  1)  квантиль распределения Стьюдента уровня 1 2свободы ( n  1)  27 .Из таблицы находим, что t12 0,95 с числом степеней(n  1)  t0,95 (27)  1, 7 .2sst  (n  1)  a  x t  (n  1)  1,87  a  2,33n 1 2n 1 2В итоге мы получаем, что a  2,1  0, 23 с надёжностью 0,90.

►xЗадача №5.В результате n опытов получена несмещенная оценка в виде исправленнойвыборочной дисперсии s 2 для дисперсии нормальной генеральной совокупности. Найтидоверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности p .n  15;s2  1,5  s  1, 23;p  0,98.В виде исходной статистики возьмём величину равную:  (n  1)s22 2 (n  1).Мы видим, что выбранная нами статистика имеет известное распределение  2 счислом степеней свободы n  1, а также содержит нужную нам величину  2 .Построение доверительного интервала:P  dq    dp   1    p dq   2  (n  1)2,2 dp   1  (n  1)2где  2  (n  1) и  21212(n  1) квантили нормального распределения уровня22 0, 01 и 0, 99 с числом степеней свободы (n  1)  14 .Из таблицы находим, что  2 (n  1)   20,01 (14)  4,66 и221(n  1)  20,99(14)  29,14 .2(n  1)s 2(n  1)s 22  2 0, 71   2  4,51  0,84    2,122  (n  1)  (n  1)122В итоге мы получаем, что   1,5  0, 66 с надёжностью 0,98.

►Задача №6.В серии из n выстрелов по мишени наблюдалось m попаданий. Найтидоверительный интервал для вероятности p попадания в мишень при доверительнойвероятности p . n  30; m  11; p  0,95.4P( p2  p  p1 )  1  Теория гласит, что доверительный интервал неизвестной величины при неизвестнойвероятности события вычисляется по формуле:1 m 1m   2     m 1     2 12 1 2n  4 1 22p1,2  p1  0,31;2n 1p2  0, 4620,31  p  0, 46.

►Задача №7.В серии из n опытов событие A не наступило ни разу. Определить число опытовn , при котором верхняя доверительная граница для вероятности P ( A) равна заданномучислу p1  0,02 . Доверительную вероятность принять равной 0.95.Пользуемся соображениями из предыдущего задания при ( m  0) формула приметвид:p1 1 21 2    12 1 24 1 22n  212Откуда выражаем n :n1 21 2    1124 1 222 21p1 188 .

►2Задача №8.Для контроля взяты 200 узлов, собранных на заводском конвейере. Число узлов miпри сборке которых пропущено i операций, сведено в таблицу:i01234567 Всегоmi4162452216842200Согласуются ли полученные результаты с распределением Пуассона:(P (  i ) ii!e   ,   случайное число пропущенных операций )по критерию2при уровне значимости  ? Решить задачу для заданного значения параметра   1, 71 идля случая, когда параметр  оценивается по выборке.Рассмотрим случай, когда  задано и   1, 71 .5Получаем, что наблюдаемое значение статистики Пирсона равно: Wнаблюд  23,1186.Теперь выясним, является ли Wнаблюд допустимой.Пусть   0, 01 - уровень значимости (вероятность совершить ошибку), в своюочередь 1    0,99 .P W   кр | H 0    ;W 2 (r ),где r - число степеней свободы, равное: r  k  1  l  8  1  7  кр   2 (1 ) (7)   2 (0,99) (7)  18, 48.W 2 (7).Мы видим, что Wнабл   кр  гипотеза H 0 принимается с надёжностью 0,01.

То естьмы видим, что полученные результаты не согласуются с распределением Пуассона.Рассмотрим случай, когда параметр  неизвестен.Параметр  является математическим ожиданием предполагаемого распределенияПуассона, поэтому в качестве его оценки возьмём выборочное среднее:ˆ ( xn )  x  1, 73 Получаем, что наблюдаемое значение статистики Пирсона равно: Wнаблюд  21, 76034.Теперь выясним, является ли Wнаблюд допустимой.Пусть   0, 01 - уровень значимости (вероятность совершить ошибку), в своюочередь 1    0,99 .P W   кр | H 0    ;W 2 (r ),где r - число степеней свободы, равное: r  k  1  l  8  1  1  6  кр   2 (1 ) (6)   2 (0,99) (6)  16,81.W 2 (6).Мы видим, что Wнабл   кр  гипотеза H 0 принимается с надёжностью 0,01.

То естьмы видим, что полученные результаты не согласуются с распределением Пуассона. ►6Часть 2.Задача №1.Дана генеральная совокупность, состоящая из случайных величин, являющихсярезультатами некоторого опыта. Необходимо проанализировать данные величины,выдвинуть гипотезу о виде их распределения и подтвердить или опровергнуть её сопределённой долей вероятности.3,254,034,513,703,645,37Генеральная совокупность xn  ( x1 , x2 ,..., xn ),4,252,604,135,023,234,153,941,914,130,004,994,104,121,473,452,913,144,163,912,854,402,005,682,873,713,854,262,564,204,87n  60 имеет вид:4,325,482,950,932,001,983,824,817,002,132,922,612,613,182,033,163,824,573,655,664,403,472,196,322,132,953,704,134,516,322,193,143,714,134,577,00Составим вариационный ряд xn  ( x(1)  x(2)  ...

 x( n ) ) :0,002,563,163,824,154,810,932,603,183,824,164,871,472,613,233,854,204,991,912,613,253,914,255,021,982,853,453,944,265,372,002,873,474,034,325,482,002,913,644,104,405,66Возьмём количество разбиений равное 7-ми, тогда h 2,032,923,654,124,405,68x(n)  x(1)7 1.Для приближённого определения плотности теоретической вероятности функциираспределения, на основе данной таблицы (на основе эмпирической функциираспределения) построим гистограмму и полигон:7По виду гистограммы мы предположим, что наша генеральная совокупность имеетнормальное распределение.( x  a )212H 0 : N (a,  ),f ( x, a ,  ) e 2 , 22где a  математическое ожидание, а   дисперсия нормального распределения.В качестве оценки параметра a возьмём выборочное среднее, а в качестве оценкипараметра  2 возьмём исправленную выборочную дисперсию:1 n1 7aˆ ( xn )  x  3, 62; ˆ 2  S12 ( xi x ) 2 ( xi*  x ) 2  1, 79  ˆ  S1  1,34.n  1 i 1n  1 i 1Функция распределения с учётом найденных параметров примет вид:21f ( x) e1,34 22( x 3,62)23,57 0, 298e( x 3,62)23,57.Проверка гипотезы:1) Критерий ПирсонаW  статистика Пирсона, имеющая распределения  2 .n7(ni  ni )2ni 2W     n; ni  npi .nii 1i 1 niИз теории известно, что вероятность попадания случайной величины в интервал длянормального распределения описывается уравнением: x a x aP( xi    xi 1 )  Ф  i 1Ф i.    В нашем случае:x xx xzi  i,zi 1  i 1 P( xi    xi 1 )  Ф  zi   Ф  zi 1  .S1S1После расчётов приведённых в таблице получили, чтоWнаблюд  2,56.Теперь выясним, является ли Wнаблюд допустимой.Пусть   0, 01 - уровень значимости (вероятность совершить ошибку), в своюочередь 1    0,99 .P W   кр | H    ;W 2 (r ),где r - число степеней свободы, равное: r  k  1  l  7  1  2  4  кр   2 (1 ) (4)   2 (0,99) (4)  13, 28.W 2 (4).Мы видим, что Wнабл   кр  с надёжностью 0,99 наши экспериментальныерезультаты описываются нормальным распределением.Построим доверительные интервалы для параметров a и  2 :8Так как параметр  2 неизвестен, то воспользуемся известной статистикой, имеющейраспределение Стьюдента с n  1 степенями свободы:x aT (n  1) n;S1ssx  1 t  (n  1)  a  x  1 t  (n  1).1n 2n 1 2t0,995 (59)  2, 66; 3,16  a  4, 08.То есть мы получили, что a  3, 62  0, 46 с надёжностью 0,99.Для параметра  2 возьмём статистику вида:S2 2 (n  1)  (n  1) 12 ;(n  1) S(n  1) S122.  2 (n  1)  2 (n  1)21120,995(59)  91;2220,005(59)  36; 1,16   2  2,93 1, 08    1, 71.То есть мы получили, что   1,34  0,37 с надёжностью 0,99.2) Критерий КолмогороваСуть метода состоит в сравнении интегральной и эмпирической функцийраспределения. (t , xn )Fˆn (t , xn )  эмпирическая функция распределения.nСтатистика Колмогорова имеет вид:D( xn )  sup | Fˆ (t , xn )  F (t ) | .xRDнабл  0,14;P( D( xn )  d кр | H)  0, 01;d кр  0, 207.Видно, что гипотеза H не выполняется, так Dнабл  d кр  что наши экспериментальныеданные описываются нормальным законом распределения с надёжностью 0,99.