Интегралы 1 вариант (Интегралы (Кузнецов Л.А.))

Скачано с http://antigtu.ruU.ruЗадача Кузнецов Интегралы 1-1Условие задачиВычислить неопределенный интеграл:tiGTРешениеanОбозначим:осВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 2-1Условие задачиСкачРешениеанВычислить определенный интеграл:Обозначим:. Получаем:. Получаем:tiGTU.ruВоспользуемся формулой интегрирования по частямОбозначим:аносanВоспользуемся формулой интегрирования по частямЗадача Кузнецов Интегралы 3-1Условие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеВведем замену. Получаем:U.ruТогдаЗадача Кузнецов Интегралы 4-1tiGTУсловие задачиВычислить определенный интеграл:осanРешениеанЗадача Кузнецов Интегралы 5-1Условие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеПод интегралом неправильная дробь.

Выделим целую часть:U.rutiGTПолучаем:anРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:осТогда получаем:Задача Кузнецов Интегралы 6-1анУсловие задачиСкачВычислить неопределенный интеграл:РешениеРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:U.rutiGTanВычтем из третьего уравнения четвертое:аносПрибавим к третьему уравнению первое умноженное на -4:СкачПрибавим к второму уравнению первое умноженное на -5:U.ruТогда:Задача Кузнецов Интегралы 7-1Условие задачиtiGTНайти неопределенный интеграл:РешениеаносanРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:СкачВычтем из второго уравнения четвертое:Вычтем из второго уравнения первое:tiGTU.ruанСкачТогда:осanВычтем из тертьего уравнения четвертое:U.ruЗадача Кузнецов Интегралы 8-1Условие задачиРешениеВоспользуемся универсальной подстановкой:осanОткуда:tiGTВычислить определенный интеграл:СкачанПодставим:Задача Кузнецов Интегралы 9-1Условие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruРешениеВоспользуемся подстановкой:tiGTОткуда:anПодставим:СкачТогда:аносРазложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенныхкоэффициентов:Задача Кузнецов Интегралы 10-1U.ruУсловие задачиВычислить определенный интеграл:аносantiGTРешениеЗадача Кузнецов Интегралы 11-1СкачУсловие задачиВычислить определенный интеграл:U.ruРешение1− x3x + 11− t21− xx=− 1dx3t + 1(1)3x + 1 − 8t==dx =dt21− x (3t + 1) + (3x + 1) 23x + 1 x = 0 ⇒ t =1x =1⇒ t = 0t=0t2 =dx =1)1− x3x + 1;223 xt 2 + t 2 = 1 − x ; x(3t + 1) = 1 − t− 2t (3t 2 + 1) − 6t (1 − t 2 )(3ttiGT∫(4 1 − x − 3x + 1dx = ∫3x + 1 + 4 1 − x (3x + 1) 20 1 + 42)+12dt =− 6t 3 − 2t − 6t + 6t 3(3t)dt =an142+12(3tанос3 − 3t 2 − 6t + 6t 343x + 1 ==3t 2 + 13t 2 + 11 (4t − 1) −28tdt 21112( 2)(3t + 1) = 1 4t − t dt = 1  t − 1 + 2 dt =(1) = ∫162 ∫0 1 + 4t2 ∫0  2 4t + 1 0 (1 + 4t )(3t 2 + 1)21= ln 516Скач4t 2 − t 4t + 1(2) − 24t + t t − 12− 2t−12t −212− 8t2)+12dt1 11 1 1 1 − + ⋅ ln 4t + 1 0  =22 2 2 4Задача Кузнецов Интегралы 12-1U.ruУсловие задачиВычислить определенный интеграл:tiGTРешениеanЗамена:аносПолучаем:Задача Кузнецов Интегралы 13-1СкачУсловие задачиНайти неопределенный интеграл:РешениеПод интегралом дифференциальный бином, откудаU.ruТак, как- целое, то используем замену:, где- знаменатель дроби.tiGTТ.е.

в нашем случае замена имеет вид:осanПолучаем:анЗадача Кузнецов Интегралы 14-1Условие задачиСкачВычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:tiGTU.ruРешениекак разность двух интегралов :СкачаносНайдем площадь части гдеanНа графике видно что площадь между графиками состоит из двух одинаковых частей :Задача Кузнецов Интегралы 15-1Условие задачиВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.tiGTU.ruРешениеТак как функцииилина отрезкепериодичны (с периодом. ВозьмеманИз рисунка видно, что область симметрична относительно осипо формуле:Скач), то берем.

Тогда:ослюбой отрезок длинойanНайдем точки пересечения:и ее площадь можно посчитатьU.ruantiGTУсловие задачиосЗадача Кузнецов Интегралы 16-1Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.СкачанРешениеU.rutiGTanосанСкачЗадача Кузнецов Интегралы 17-1Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.Решение, определяется формулойU.ruДлина дуги кривой, заданной уравнениемСкачаносanТогда по вышеприведенной формуле получаем:tiGTНайдем производную данной функции:Задача Кузнецов Интегралы 18-1Условие задачиВычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.U.ruРешение:tiGTНайдем производные поЗадача Кузнецов Интегралы 19-1Условие задачиanВычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.РешениеСкачНайдеманосДлина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулойПолучаем:U.rutiGTЗадача Кузнецов Интегралы 20-1Условие задачиanВычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.аносРешениеОснование рассматриваемой области - полуэллипс, в которомприСкачприТо есть,Поэтому объём будетРассмотрим поверхностьU.rutiGTТеперь рассмотрим площадь основания и найдем объем данного тела:Ответ:Задача Кузнецов Интегралы 21-1Условие задачиanВычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

Осьвращения.СкачаносРешениеПоскольку осьявляется осью вращения, то объём находится по формуле:U.ruНайдем пределы интегрирования:Задача Кузнецов Интегралы 22-1аносУсловие задачиantiGTНайдем объём тела:Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочнойСкачтрапеции (см. рис.). Плотность водыравным 10 м/с2.Указание: Давление на глубине равном,м,м.кг/м3, ускорение свободного падения.положитьосанСкачподобенU.rutiGTanРешение.