Лекции по ОУ

Оглавление Введение ....................................................................................................................... 3 1. СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ................................................................................... 4 1.1. Моделирование экономических систем управления .....................................

4 1.2. Математическая модель управляемых систем ........................................... 7 1.3. Допустимые управления .................................................................................. 8 1.4. Линейные системы. Формула Коши .............................................................. 9 2. ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ .................................................... 13 2.1. Задача оптимизации функционала ............................................................... 13 Задача минимизации функционала ................................................................. 16 2.2. Постановка задачи оптимального управления........................................... 18 2.3.

Дискретные задачи оптимального управления ......................................... 21 2.4. Примеры задач оптимального управления экономическими ..................... 24 системами .............................................................................................................. 24 3. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА ................................................... 29 3.1. Доказательство принципа максимума для простейшей задачи...............

29 терминального управления ................................................................................... 29 3.2. Принцип максимума для нелинейных систем .............................................. 38 3.3. Условия трансверсальности при различных режимах .............................. 44 на концах оптимальной траектории .................................................................. 44 3.4. Задача с квадратичным функционалом ....................................................... 47 3.5. Принцип максимума для дискретных задач ................................................ 50 3.6. Примеры решения задач оптимального управления .................................. 53 с помощью принципа максимума ........................................................................

53 4. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ............................... 64 (МЕТОД БЕЛЛМАНА) ............................................................................................ 64 4.1. Динамическое программирование для линейной системы........................ 64 с квадратичным функционалом ........................................................................... 64 4.2. Метод динамического программирования ................................................ 72 для нелинейных систем ...................................................................................... 72 4.3. Схема Беллмана для дискретных задач .......................................................

73 4.4. Примеры решения задач с помощью метода Беллмана ............................. 75 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ .............................. 83 С ПОМОЩЬЮ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ ...................................................... 83 ОПТИМАЛЬНОСТИ (МЕТОД КРОТОВА) ......................................................... 83 5.1. Достаточные условия оптимальности .......................................................... 83 Тогда пара ( xˆ (t ), uˆ (t ) ) является оптимальной для задачи (5.1.1) – (5.1.4)..........

86 5.2. Решение задачи, линейной по управлению ................................................ 88 5.3. Задача оптимального развития экономики .................................................. 92 ЗАДАЧИ ..................................................................................................................... 98 ТЕСТЫ ...................................................................................................................... 105 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.................................................................... 117 2ВведениеСоздание в середине 50-х годов прошлого столетия математической теории оптимального управления было связано с потребностями решения технических и экономических задач.

Проблемы управления, в частности проблемыотыскания наилучшего, оптимального управления, возникают всюду. Наиболееяркие примеры таких задач – это задачи управления летательными аппаратами,управления технологическим процессом на производстве и т. п. В настоящеевремя оптимальное управление выросло в обширную самостоятельную теорию,использующую в своих исследованиях аппарат высшей алгебры, математического и функционального анализа, дифференциальных уравнений.Учебное пособие посвящено изучению трех направлений в теории оптимального управления: принципа максимума Л.С. Понтрягина, динамическогопрограммирования и метода В.Ф.

Кротова. Пособие написано на базе курсалекций «Теория оптимального управления экономическими системами», прочитанного автором студентам 4-го курса механико-математического факультета, а также на основе практических занятий по этому курсу. Основные теоремыпо обоснованию методов даны с подробными доказательствами с целью сведения до минимума необходимость использования дополнительной литературы,так как пособие предназначено в первую очередь для студентов, обучающихсяна заочном отделении. В отдельном разделе собраны примеры задач оптимального управления, имеющие экономическое содержание. Пособие содержитподробное решение задач по каждому рассмотренному методу.

В частности,приводится решение задачи оптимального развития экономики (однопродуктовая модель), решение задачи оптимизации капитальных вложений между отраслями (непрерывная модель), решение задачи об оптимальном распределениисредств между предприятиями (дискретная модель). Кроме того, пособие содержит задачи для самостоятельной работы студентов.31. СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ1.1. Моделирование экономических систем управленияИспользование понятия «системы» можно встретить во всех сферах научной и практической деятельности человека. Коротко систему можно определить как совокупность взаимосвязанных элементов, совместно реализующихопределенные цели.

Таким образом, система – это, прежде всего, некотораясовокупность. Однако не каждую совокупность можно назвать системой. Основное свойство систематизации, системного представления о рассматриваемом объекте – наличие цели, для которой предназначена данная совокупностьпредметов, явлений. Цель функционирования системы определяет системныепризнаки, с помощью которых описываются элементы системы.

Любая системафункционирует в некоторой среде, окружающей ее. Эта среда называется надсистемой. Подсистема – множество элементов системы, реализующих частьцелой системы.Например, основная цель экономической системы (или просто экономики) – обеспечение общества предметами потребления, в том числе такими, которые создают условия для безопасности общества. Экономика состоит из элементов – хозяйственных единиц (предприятий, фирм, банков и т.п.). Надсистема экономики – природа и общество, две ее главные подсистемы – производственная и финансово-кредитная.Таким образом, систему можно определить как упорядоченное представление об объекте исследования с точки зрения поставленной цели.

Упорядоченность заключается в целенаправленном выделении системообразующихэлементов, установлении их взаимосвязи между собой и с внешней средой.Системный подход позволяет выделить в изучаемом объекте наиболее существенное, главное, пренебрегая при этом второстепенными признаками.Системы можно разделить на управляемые и неуправляемые.

К неуправляемым системам относятся все стихийные явления в природе. Примерыуправляемых систем – это движение автомобиля, работа предприятия по установленному плану. Управляемые системы отличаются от неуправляемых тем,что их функционирование должно быть целенаправленным, и предполагаемаяцель должна быть достигнута независимо от изменений условий внешней среды и внутренних параметров.Рассмотрим пример управляемой системы – систему управления предприятием. Цель функционирования этой системы – повышение эффективностипроизводства.

К существенным системным признакам следует отнести: числонаименований выпускаемой продукции, потребность в ней, производственныемощности предприятия по выпуску продукции различных наименований, обес4печенность материальными, трудовыми ресурсами, общий фонд заработнойплаты и условия его использования и т.д. Сущностью системы управленияпредприятием является установление и описание взаимосвязей и взаимозависимостей между наиболее существенными факторами и характеристикамипредприятия.Остановимся на общей схеме систем управления. Структура системыуправления включает в себя объект управления, управляющую систему и обратную связь.Объект управления – это непосредственное устройство, агрегат, подсистема основной системы, в которой реализуется цель функционирования системы.Управляющая система – орган управления (в экономической литературеего иногда называют субъектом управления), предназначенный для выработкипри необходимости управляющих воздействий на объект управления для приведения его функционирования к режиму, который в соответствии с цельюуправления считается нормальным.Обратная связь – объект, подсистема, с помощью которого реализуетсявоздействие управляющей системы на управляемый объект.Эти элементы, формирующие в совокупности замкнутую систему управления, находятся под воздействием внешней среды, которая может способствовать или препятствовать достижению целей системы.В технике воздействия управляющих систем на объекты управления осуществляются через обратную связь с помощью разного рода усилителей, рулевых приводов и других механизмов.