Теория случайных процессов (Теория случайных процессов)

ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Принятые сокращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57Р А З Д Е Л 1. Введение в теорию случайных процессов . . . .9Лекция 1. Определение, классификация и основные характеристики . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Лекция 2. Свойства характеристик стохастической связи. . . . . .Лекция 3. Стационарность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .9151923Р А З Д Е Л 2. Дискретные цепи Маркова . . . . . . . . . . . . . . . .24Лекция 4. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Лекция 5. Анализ структуры пространства состояний и классификация цепей . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Лекция 6. Долгосрочный прогноз эволюции цепей с одним классом эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Лекция 7. Долгосрочный прогноз эволюции цепей с L классамиэквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .Лекция 8. Дискретные цепи Маркова с доходами . . . . . . . . . . .Лекция 9. Построение оптимального управления на конечномгоризонте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Лекция 10. Построение оптимального управления на бесконечном горизонте . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Лекция 11. Два класса прикладных задач управления цепямис доходами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246881Р А З Д Е Л 3. Непрерывные цепи Маркова . . . . . . . . . . . .

. .82303846545964Лекция 12. Простейший поток событий. Пуассоновская цепь. . . 82Лекция 13. Дифференциально-разностные уравнения Колмогорова и их решение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Лекция 14. Процессы гибели и размножения (общие сведения) 100Лекция 15. Процесс чистого размножения (построение вероятностей состояний) . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074ОглавлениеЛекция 16. Процессы чистой гибели (построение вероятностейсостояний) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Лекция 17. Процессы гибели и размножения. Стационарные режимы cистем обслуживания . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Сборник задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1. Элементарные случайные функции (процессы). . . . . . . . . .§ 2.

Построение дискретных марковских моделей . . . . . . . . . . .§ 3. Анализ структуры и предельного поведения дискретныхцепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Дискретные цепи с доходами. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 5. Непрерывные цепи. Уравнения Колмогорова . . . . . . . . . . .§ 6. Финальные вероятности состояний непрерывных цепей . . .§ 7. Непрерывные процессы гибели и размножения — математические модели экономических систем . . . . . . .

. . . . . . . . .134134141163178184195200АнночкепосвящаетсяПредисловиеВ 1989–2002 гг. по инициативе декана факультета экономической кибернетики Российской экономической академии(РЭА) им. Г. В. Плеханова проф. Еремеева Г. А. читалсяфакультативный курс по дискретным марковским цепям.По материалам этих лекций и семинаров Соколовым Г. А.и Чистяковой Н.

А. было подготовлено учебное пособие«Теория вероятностей. Управляемые цепи Маркова в экономике»(ФИЗМАТЛИТ, 2005). После короткого перерыва с 2005 г.по инициативе декана экономико-математического факультетапроф. Тихомирова Н. П. чтение курса по случайным процессамвозобновилось, но уже на значительно более серьезнойоснове и в более полном объеме как односеместровый курс.Настоящее пособие подготовлено по материалам этого курсаи в результате существенной переработки упомянутого пособия(но с сохранением принятых в нем терминов и основныхобозначений).

По мнению авторов, оно в полной мере отвечаеттем значительным изменениям в тематике изучаемых на факультете дисциплин, которые произошли в последние годы.Сказанное относится в первую очередь к математическомуанализу экономических рисков.Предполагается, что читатель знаком с такими дисциплинами, как математический анализ, дифференциальные уравнения,линейная алгебра и теория вероятностей в объеме, предусмотренном принятыми учебными программами.Пособие состоит из 17 лекций, сгруппированных в три раздела, и сборника задач, включающего около 180 задач.Первый раздел (три лекции) является по существу введениемв теорию случайных процессов: даются определения основныхпонятий, в частности, законов распределения и числовых характеристик, доказываются свойства последних, рассматриваютсястационарные и взаимно-стационарные процессы.6ПредисловиеВторой раздел (восемь лекций) посвящен изучению случайных процессов Маркова с дискретным временем и конечным пространством состояний.

Первые четыре лекции этогораздела носят теоретический характер: структурный анализ,классификация, законы эволюции цепей различных классов.В последующих четырех лекциях второго раздела рассматриваются неуправляемые и управляемые цепи с доходами, включаяметоды построения оптимальных управлений на конечных и бесконечных горизонтах.Третий раздел пособия (шесть лекций) посвящен непрерывным цепям Маркова с конечным или счетным множествомсостояний. Он, как и второй, также состоит из двух частей. Первая носит теоретический характер: строится системадифференциально-разностных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний, изучаются методы ее решения. Значительное внимание уделяется процессам гибели и размноженияи их частным случаям. Вторая часть посвящена использованию этих процессов как математических моделей экономических систем, в частности, достаточно подробно рассматриваются стационарные режимы функционирования 11 классов системобслуживания.В преамбуле к сборнику задач отмечается ряд его особенностей.Автор считает своим долгом выразить благодарность глубокоуважаемым рецензентам и коллегам по кафедре высшейматематики РЭА за их критические замечания и благожелательное отношение к книге в целом.Принятые сокращения и обозначенияБОУ — блок оценки управленияБОЦ — блок организации циклаБУУ — блок улучшения управленияВВС — вектор вероятностей состоянийВКВФ — взаимная ковариационная функцияВКРФ — взаимная кореляционная функцияВНВ — вектор начальных вероятностейВСП — взаимно стационарный процессГС — граф состоянийДП — динамическое программированиеДРУ — дифференциально-разностное уравнениеДЦМ — дискретная цепь МарковаЗР — закон распределенияКВФ — ковариационная функцияКП — коэффициент переоценки (приведения)КРФ — корреляционная функцияКЭ — класс эквивалентностиМВП — матрица вероятностей переходаМО — математическое ожиданиеМОД — матрица одношаговых доходовМПЦ — моноэргодическая поглощающая цепьМРЦ — моноэргодическая регулярная цепьМСП — марковский случайный процессМЦ — моноэргодическая цепьМЦЦ — моноэргодическая циклическая цепьНОР СВ — независимые одинаково распределенные случайные величиныНРЦ — неприводимая регулярная цепь8Принятые сокращения и обозначенияНСНЦНЦМНЦЦОДОТПВПГРПОДППППЦПРПРСПРЦПСЦПЦПЦЦПЧГПЧРРГСРФРЦСВСОСОДСПССССПСУФРЦПЭВМ————————————————————————————————несущественное состояниенеприводимая цепьнепрерывная цепь Маркованеприводимая циклическая цепьодношаговый доходосновная теорема структурного анализапоток вероятностипроцесс гибели и размноженияполный ожидаемый доходпростейший потокполиэргодическая поглощающая цепьплотность распределения вероятностейпространство состоянийполиэргодическая регулярная цепьполиэргодическая смешанная цепьполиэргодическая цепьполиэргодическая циклическая цепьпроцесс чистой гибелипроцесс чистого размноженияразмеченный граф состоянийруководитель фирмыразложимая цепьслучайная величинасистема обслуживаниясредний одношаговый доходслучайный процесссущественное состояниестационарный случайный процессстратегия управленияфункция распределения вероятностейциклический подклассэлектронная вычислительная машина (компьютер)ЭС — элементарное событиеЭСФ — элементарная случайная функцияРАЗДЕЛ 1ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮСЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВВ настоящем разделе (три лекции) излагаются первоначальные сведения о случайных функциях (процессах).

Дается их классификация по трем характеристикам: по структуревременно́го параметра, по структуре пространства состояний,по стохастической связи сечений случайного процесса. Из множества числовых характеристик рассматриваются математическое ожидание, дисперсия, ковариационная и корреляционнаяфункции.