Вариант 15 дифуры (Дифференциальные уравнения (Кузнецов Л.А.))
Описание файла
PDF-файл из архива "Дифференциальные уравнения (Кузнецов Л.А.)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "кузнецов (высшая математика)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
5 _ 05 _152 y 2 dx + ( x + e1/ y ) dy = 0, y |x =e = 1dx= −( x + e1/ y )dyx = uv2 y22 y 2 (u ' v + uv ') = −uv − e1/ y2 y 2 u ' v + 2 y 2 uv '+ uv = −e1/ yv(2 y 2 u '+ u ) + 2 y 2 uv ' = −e1/ ydy⎧ du⎧ 2 du⎧⎪2 y 2 u ' = −u⎧− ln u = −1/ 2 y⎪ 2 y dy = −u⎪− u = 22y⇒⇒⇒⇒⎨ 2⎨⎨⎨ 21/ y1/ y2yuv'e=−⎪⎩2 y uv ' = −e⎩⎪ 2 y 2 uv ' = −e1/ y⎪ 2 y 2 uv ' = −e1/ y⎩⎩⎧u = e1/(2 y )(1) ⎧u = e1/(2 y )⎧⎪u = e1/(2 y )⎪⎪1/(2y)⇒ ⎨ 2 1/(2 y )⇒⎨⇒⎨⇒ x = uv = e1/ y + C ⋅ e1/(2 y )e1/ y1/(2 y )v ' = −e+C⎩⎪2 y e⎩⎪v = e⎪v ' = − 2 y 2⎩y |x =e = 1 ⇒ C = 0x = e1/ yt = 1/(2 y )1ett2y(1) ∫ − 2 dy == e dt = e + C = e + C−1dt = 2 dy ∫2y2y12y5 _ 06 _15y '− y = 2 xy 2 , y (0) = 1/ 21 dy 1− 2+ = −2 xy dx ydz1 dyz = 1/ y ⇒=− 2dxy dxz '+ z = −2 xz = uvu ' v + uv '+ uv = −2 xv(u '+ u ) + uv ' = −2 x⎧ du⎧ du−x(1) ⎧u = e − x⎧u ' = −u⎪ = −u⎪ = − dx⎪⎧u = e⎪⇒⇒⇒⇒⇒⎨⎨ dx⎨u⎨⎨xx⎪⎩v ' = −2 xe⎪⎩v = 2e (1 − x) + C⎩uv ' = −2 x ⎪uv ' = −2 x ⎪uv ' = −2 x⎩⎩⇒ z = uv = 2(1 − x) + Ce − x = 1/ y11y= =z 2(1 − x) + Ce − xy (0) = 1/ 2 ⇒ C = 01y=2(1 − x)dv = e x dx⎛⎞= −2 ⎜ x ⋅ e x − ∫ e x dx ⎟ =(1) ∫ −2 xe x dx = −2∫ x ⋅ e x dx = v = e x⎝⎠du = x; du = dx= −2e x ( x − 1) + C = 2e x (1 − x ) + C5 _ 08 _15xyy ′ = − , M ( 4, 2 ) .2построим поле направлений для данного диф.
уравнения. Изоклины,соответствующие направлениям поля с угловым коэффициентом−xравным k есть y =2kинтегральные кривые имеют вид :xdy=−dx22 y dy = − x dxy2 y 2 = − x2 + C2 y 2 + x2 = CM (4,2) ⇒ C = 24т.е.2 y 2 + x 2 = 245 _ 09 _15M 0 (1, − 1) , a : b = 1: 3уравнение касательнойy − Y = y '( x − X )где ( x, y ) − координаты произвольной точки искомой линииKN a=по условиюNM bxNKN ONa+ KON ~+ NML ⇒=⇒=NM NLx − xN bточка N ( xN ;0) принадлежит касательной⇒ y = y '( x − xN ) ⇒ bxN = ax − axN ⇒ xN =ayx= x−a+by'a +bdy a + b yyb==⇒ y = Cx bx⇒dxy' a +bb xM 0 (1, − 1) , a : b = 1: 3 ⇒ C = −1y = − x4 / 3axa+b5 _12 _15y '''− y ' = 3 x 2 − 2 x + 1 − линейное неоднородное дифференциальное уравнениехарактеристическое уравнениеk 3 − k = 0 ⇔ k = 0, k = 1, k = −1общее решение линейного однородного дифференциального уравненияyобщ = C1 + C2 e − x + C3 e xчастное решение линейного неоднородного дифференциального уравненияyчас = x(ax 2 + bx + c) = ax3 + bx 2 + cx′ = 3ax 2 + 2bx + cyчас′′ = 6ax + 2byчас′′′ = 6ayчас′′′ − yчас′ = 3x 2 − 2 x + 1yчас6a − 3ax 2 − 2bx − c − 3 x 2 + 2 x − 1 = 0⎧6a = 1 + c ⎧6 ⋅ (−1) = 1 + c ⎧a = −1⎪⎪⎪−3 (1 + a ) x + ( 2 − 2b ) x + 6a − c − 1 = 0 ⇒ ⎨1 + a = 0 ⇒ ⎨a = −1⇒ ⎨b = 1⎪⎪⎪⎩2 = 2b⎩b = 1⎩c = −72yчас = x(− x 2 + x − 7)y = yобщ + yчас = C1 + C2 e − x + C3 e x − x3 + x 2 − 7 x5 _13 _15y '''+ 4 y ''+ 4 y ' = (9 x + 15)e x − линейное неоднородное дифференциальное уравнениехарактеристическое уравнениеk 3 + 4k 2 + 4k = 0 ⇒ k ( k 2 + 4k + 4 ) = 0 ⇒ k1,2 = −2; k = 0общее решение линейного однородного дифференциального уравненияyобщ = C1e −2 x + C2 xe−2 x + C3частное решение линейного неоднородного дифференциального уравненияyчас = (ax + b)e x′ = a ⋅ e x + (ax + b)e xyчас′′ = a ⋅ e x + a ⋅ e x + (ax + b)e x = 2ae x + (ax + b)e xyчас′′′ = 2a ⋅ e x + a ⋅ e x + (ax + b)e x = 3ae x + (ax + b)e xyчас′′′ + 4 yчас′′ + 4 yчас′ = (9 x + 15)e xyчас3ae x + (ax + b)e x + 4 ( 2ae x + (ax + b)e x ) + 4 ( a ⋅ e x + (ax + b)e x ) − (9 x + 15)e x = 03a + ax + b + 4 ( 2a + ax + b ) + 4 ( a + ax + b ) − 9 x − 15 = 0( a + 4a + 4a − 9 ) x + 3a + b + 8a + 4b + 4a + 4b − 15 = 0⎧−15 + 15a + 9b = 0 ⎧ a = 1⇒⎨⎩9a − 9 = 0⎩b = 0( 9a − 9 ) x + 15a + 9b − 15 = 0 ⇒ ⎨yчас = xe xy = yобщ + yчас = C1e −2 x + C2 xe−2 x + C3 + xe x5 _14 _15y ''+ y = 2 cos 5 x + 3sin 5 xхарактеристическое уравнениеk 2 + 1 = 0 ⇒ k = ±iобщее решениеyобщ = C1 cos x + C2 sin xчастное решениеyчас = A cos 5 x + B sin 5 x′ = −5 A sin 5 x + 5 B cos 5 xyчас′′ = −25 A cos 5 x − 25B sin 5 xyчас′′ + yчас = 2 cos 5 x + 3sin 5 xyчас−25 A cos 5 x − 25B sin 5 x + A cos 5 x + B sin 5 x − 2 cos 5 x − 3sin 5 x = 0( −25 A + A − 2 ) cos 5 x + ( −25B + B − 3) sin 5 x = 0⎧ 2 + 24 A = 0 ⎧ A = −1/12− ( 24 A + 2 ) cos 5 x − 3 (1 + 8 B ) sin 5 x = 0 ⇒ ⎨⇒⎨⎩1 + 8 B = 0⎩ B = −1/ 8− cos 5 x sin 5 xyчас =−128cos 5 x sin 5 xy = yобщ + yчас = C1 cos x + C2 sin x −−1285 _16 _15y ''+ 4 y = 4 ctg 2 x, y (π / 4) = 3, y '(π / 4) = 2k 2 + 4 = 0 ⇔ k = ±2iyобщ = C1 sin 2 x + C2 cos 2 xчастное решение будем искать методом вариациипроизвольных постонных.Пусть C1 = C1 ( x), C2 = C2 ( x)⎧C1′ sin 2 x + C2′ cos 2 x = 0⎪⎨cos 2 x ⇒′′=42cos22sin2Cx−Cx2⎪⎩ 1sin 2 xsin 2 xcos 2 x= −2sin 2 2 x − 2 cos 2 2 x = −2W =2 cos 2 x −2sin 2 x− cos 2 x ⋅ 4 ctg 2 xcos 2 2 x=2⇒ C1 = cos 2 x − ln cos x + ln sin x + C3W ( x)sin 2 xsin 2 x ⋅ 4 ctg 2 x= −2 cos 2 x ⇒ C2 = − sin 2 x + C4C2′ =W ( x)y = (cos 2 x − ln cos x + ln sin x + C3 ) sin 2 x + (− sin 2 x + C4 ) cos 2 xC1′ =− sin x cos x ⎞⎛+y ' = ⎜ − sin 2 x ⋅ 2 −⎟ sin 2 x + ( cos 2 x − ln cos x + ln sin x + C3 ) ⋅ cos 2 x ⋅ 2 +cos x sin x ⎠⎝+ ( − cos 2 x ⋅ 2 ) cos 2 x + ( − sin 2 x + C4 ) ⋅ ( − sin 2 x ⋅ 2 )⎧C3 = 3⎧ y (π / 4) = 3⎪⎧C3 ⋅ 1 + (−1 + C4 ) cos 2 x = 3⇒⎨⇒⎨⎨⎩ y '(π / 4) = 2 ⎪⎩( −1 ⋅ 2 + 1 + 1) ⋅ 1 + ( −1 + C4 ) ⋅ ( −1 ⋅ 2 ) = 2 ⎩C4 = 0y = (ln tg x + 3) sin 2 xпроверкаy (π / 4) = ( ln tg (π / 4 ) + 3) sinπ2= ( ln1 + 3) ⋅ 1 = ( 0 + 3) ⋅ 1 = 3⎛ 11 ⎞y' = ⎜⋅⎟ ⋅ sin 2 x + ( ln tg x + 3) ⋅ cos 2 x ⋅ 2 =2⎝ tg x cos x ⎠1⎛⎞=⎜⎟ ⋅ 2sin x cos x + ( ln tg x + 3) ⋅ cos 2 x ⋅ 2 = 2 + 2 ( ln tg x + 3) ⋅ cos 2 x⎝ sin x cos x ⎠πππ⎛⎞⎛⎞y ' (π / 4 ) = 2 + 2 ⎜ ln tg + 3 ⎟ ⋅ cos = 2 + 2 ⎜ ln tg + 3 ⎟ ⋅ 0 = 2424⎝⎠⎝⎠⎛ 1⎞12 cos 2 xy '' = 2 ⎜⋅⋅ cos 2 x + ( ln tg x + 3) ⋅ ( − sin 2 x ) ⋅ 2 ⎟ =− 4 ( ln tg x + 3) ⋅ sin 2 x2⎝ tg x cos x⎠ sin x cos x2 cos 2 x2 cos 2 x4 cos 2 x− 4 ( ln tg x + 3) ⋅ sin 2 x + 4(ln tg x + 3) sin 2 x === 4 ctg 2 xy ''+ 4 y ' =sin x cos xsin x cos x 2sin x cos x.