Глава 6 (Синтез и анализ оптических систем с асферическими поверхностями и градиентными средами), страница 2

, -б Х + 0(3); у =бу ~. - б у ~.0(3), где бх„,, бу„з, б'х„з, б'у„, — координаты АЛД1П и АЛД2П порядков в плоскости изображения. Из Формулы (6.32) следует, что меридиональная Аи', и сагиттальная АС', составлякщие геометрических поперечных аберраций второго порядка равны: л ~ из ' ~ г а уиз * ( * Таким образом, для расчета геометрических аберраций второго порядка луча с нормированными координатами й ,й ,У ,У необходюю рассчитать через оптическую систему АЛД2П, построенный на двух одинаковых АЛД1П, параметры которых можно представить в виде: бх(я)=Ь(я)й + Н(я)У ; бу(я)=Ь(я)й + Н(я)К бр(к)=-и (я)(а(з)й ~~(х)К ); бя(2)=-и (ж) (й(е)й Ф~(е)И~ ).

(6.38) Если предметная плоскость свободна от аберраций второго порядка, то параметры АЛД2П в пространстве предметов на первой поверхности оптической системы следует принять равньпюи: б'х=о,б'у=О,б'р=а,б'~=О. Координаты луча в плоскости изображения согласно Формулам 6.4. Определение меридионального астигматического отрезка В первом приближении траектория главного луча описываетсн формулами: Н =Н +бН +0(2), "Т =Т +бТ +0(2), (639) где бН, = № бН„, =№ (О;-п,(я)р(я);О) (бН „бТ ), построенный виде: бН = бН, + б Н„, + 0(3), "бТ = бТ, + б Т, + 0(3), (6.4О) где бН = бН,, = (О,"Ь(ъ);О) , "бТ = бТ, =(О;-п,(я)а(в);О); (б Н„;б Т„,) — АЛД2П.

После подстановки формул (6.39) в выражения (6.11) имеем: бх, + О(2) О, при № Н >О ~=агс1~ бу, + О(2) 1~, при №„Н <О (6.41) Система дифференциальных уравнений (6.14) в этом случае принимает вид: = и, (я)б~,х„; = и, (я)б у„+ Зт~, (я) ~№ Н(я) ~ Ь(я); = б'р„,; и (я)(йб'у„,/йя) = б'с„ (6.42) После подстановки выражений (6.39)-(6.41) в Формулы (6.26) получим: п.(е)(аб'р.,/Де) п,(г) (йб д„/йя) и (2) (с~б х„ /сне) № (О,Н(я),О), бТ -№ бТ Меридиональный апертурный ЛД1 П ня луче (Н ;Т ), можно представить в б'И = об'х„.; б'И, = рб'у„. 6а, ~К„Н(з)~ ) (~) (6.43) При подстеновке в Формулу (3 57) выражений (6.39)-(6.41) и дополнительных преобразований, в ходе которых отбрасываются все члены второго и более высоких порядков малости относительно нормированной координаты И , получи: б ч лв авиа/ <т> (6.44) где з.' — меридиональный астигматический отрезок в приближении геометрических поперечных аберраций второго порядка; б'у„,„ лучевой диф))еренциал второго порядка в плоскости изображения.

6.5. Определение сагиттального астигматического отрезка Сагиттальный апертурный ЛД1П (бй ;бТ ), построенный на луче (В ;Т ), можно представить в виде: где бВ, = бК„, = (Ь(з);О;О); бТ, = бТ„, =(-п,(з)а(я);О;О)', (б'Н,~;б'Т„) — АЛД2П. Угол л при расчете АЛД2П определяется по Формуле (6.41). Система дифференциальных уравнений (6.14) в этом случае принимает вид: 2п (з)(й б р ~аз) = 2п,(з)б х + Зт~,(з)~И~ Н(ъ)~Ь(г); п,(з) (й б'ц„/йк) = п,(з)б'у„; п.(з) (а б'х„~ах) = б'р,.; п.(з)(а б'у, ~аз) = б'с„.

(6.46) После подстановки выражений (6.39),(6.41), (6.45) в 4юрмулы (6.26) получим: бК = бН 1 б В + О(3); бТ = бТ + б Т 1 О(З), (6.45) При подстановке в формулу (3.69) выражений (6.39), (6.45) и дополнительных преобразований, в ходе которых отбрасываются все члены второго и более высоких порядков малости относительно нормированной координаты И , получи: где я.' — сагиттальный астигматический отрезок в приближении геометрических поперечных аберраций второго порядка; 6'х„,„ лучевой диФФеренциал второго порядка в плоскости изображения. 6.6. Квазиинварианты второго порядка а,', и,', 6~у„е = 1 „+ 1 ...

+ Ь ... (6.50) где Ь ..., 1 ,„., — квазиинварианты второго порядка, обусловленные переносом АЛД2П между плоскостжчи О... и О,',, ; Ь ... , Ь ... — квазиинварианты второго порядка, обусловленные переносом АЛД2П в среде ~ между плоскостями О,', „ и О...; Значения параметров АЛДЯП в плоскости изображения б х„ , 6'у„ могут быть найдены при помощи квазиинвариантов второго порядка аналогично тому, как это было сделано для параметров б'х , б'у лучевого дп$ференциала третьего порядка.

Параметры б~х„ , 6~у„ можно представить в виде: 1П т Ь , 1 — квазиинварианты второго порядке, обусловленные аберрациями второго порядка в предметной плоскости. Квазжнварианты 1 , Ь (жщекс ( опущен) для среды с Функцией распределения показателя преломления (6.1 ) равны: .с> = а(и„)п (2„)б х„+ с>(и„) б р„ Х = а(и„)п,(и„)б'у'„+ Ь(и„) б'ц„ (6.5Я) уравнением (6.17), а показатели преломления прилегающих к ней сред функциями (6.19),(6.ЯО), равны: Ь =и,' (О)а'б'у''+б'с''Ь; Ь =и> (О)а>б'х»+б'р»Ь где а', Ь вЂ” параметры первого вспомогательного луча в плоскости О,',,; б~х'' , б~р'', б~у'', б д'' — параметры АЛДЯП в плоскости О,'...

рассчитанные при условж, что в плоскости О... параметры б'х, б'р, б'у,б'ц ревны нулю. Квазиинверианты Ь , Ь „ равны: 2 2 2 ~пр с~> с~> пр рпр пр с~> с1> пр' 2 2 2 ~>пр с~>~с~> упр ~пр пр с>.>~с1> упр> б'х, б'у — линейные координаты АЛДЯП в предметной плоскости; б'рпр б'спр АЛДЯП оптических направляющих косинусов в пространстве предметов; йп =Π— высота первого вспомогательного луча в предметной плоскости.

Если предметная плоскость свободна от аберраций второго порядка, то где а (и„ ),Ь(и„) — параметры первого вспомогательного луче в плоскости и=и„; б х„ , б р„ , б у„ , б д, — параметры АЛДЯП в плоскости и=и„, рессчитанные при условии, что б'х(и )=О, б р(и, )=О, б'у(и )=О, б'ц(и, )=О . Квазиинварианты Ь , (жщекс ~ опущен) для поверхности, Форма которой описывается — 170— квазиинварианты Ь , 1 равны нулю. Если АЛД2П построен на двух одинаковых АЛД1П, а угол определяется па Формуле (6.33), то ь = 6 о (и (О) — и'(0)) Ь бу Ь = б с, (и (О)-п'(0)) Ь бх ('б.

54) Вывод Формул для расчета квазиинвариантов 1 , Ь приведен в статье (40~. Основная идея етого вывода состоит в там, что квазиинварианты 1 , 1 можно представить в виде: где квазиинварианты Ь ,, Ь , обусловленные переносам Щ12П от плоскости я=я. до плоскости а=я. в градиентной среде 3-1 3 (рис.4.2). При я. ,-и. 0 с использованием Формул (4.46), (4.47), (6.14), (6.15), (6.51)„ (6.52) определяются 1 Х . . После замены суммирования на интегрирование квазиинварианты 1 , 1 равны я~ т1, (я) й(я) бу(я) и, (я) Е„ т), (я) й(я) бх(г) и (я) Для однородной среды квазиинварианты (6.55),(6.56) равны нулю.

На основании Формул (6.37),(6.49)-(6.56) геометрические поперечные аберрации второго порядка луча могут быть представлены в виде: Ь~,' = ~,"... + Ь , , (6.6О) Формула (6.44) примет вид: 1 % АЛД1П (М =ба,,; бт =бт... ), угол ю определяется по Формуле , Ь , Ь , Ь имеют вид: Если АЛД2П построен на (бН,=У бЕ„,; бТ,=Р„бТ,„, ), (6.41), то квазиинварианты 1 Если АДД2П построен на АЛД1 П (я.=в„я,„,; бт.=к„бт„,), угол ~ (6.41), то квазиинварианты 1 , Ь , Ь (бВ„=ба„,; бт,=бт„, ), определяется по 4юрмуле , Ь имеют вид: Формула (6.48) примет вид: 2ш 2я 2(а,', )'и,' 6.7. Определение геометрических аберраций третьего порядка Траекторию луча на основании свойства 3 ЛДЗП можно представить в виде: В=В +бК+ — бВ + — бН+0(4) Т вЂ” Т +бТ+ бТ + бТ+О(4) (6.

62) где (б'Е;б'Т) — АЛДЗП, построенный на трех равных АЛД1П (бН;бТ) и соответствующих им АЛДЯП. Угол р при расчете лучевых ди$$еренциалов второго порядка определяется по 4юрмуле (6.33). Из выражений (3.35), (3.36), (6.2)- (6. 1 О), (6.61 ), (6. 62) следует, что АЛДЗП в градиентной среде с Функцией распределения квадрата показателя преломления (6.1) удовлетворяет системе диФ$еренциальных уравнений: д б',р , д п,(я) и (е)= и (е)б х + 3 ' б'к бх + о — и (и) (6з1п'~ + 9 з1п ~ сов'р) бх б'х + 2 +Зссз'~ (б'хбу+бхб'у) + Зз1п'р бу б'у + + 12п, (я)бх(бх'+бу'); бп, (я) и (е)= и (е)б у + 3 б е бу + Йе дя — т~ (я) (6 соа'р + 9 соа р а1п'ф бу б'у + 2 (6.

63) + За1п д (б убх+буб х) + Зсоа <~ бх б х + + 12п,(я)бу(бу~+бх ); и. (я) а б,'хааа = б,'р; и (я) а б,'у~ах = б,'о С учетом величин, тождественно равных нулю, для АЛДЗП„ принадлежащего плоскости я=я„, справедливы выражения: б'х = б„'х(я,) + Збр(я„)б'~ ; б у = б,у(я,) + Збо(я,)б 1 „ б р = б~р(я ) + 3 и (е„) бх(е„) б 1; б д = б ~(г„) + 3 и (я„) бу(г„) б 1, где б 1 определяется по Формуле (6.1 6). плоскости О... до поверхности Ф(я,у,я)=0 описывается выражениями: бзх = бзх + збр б'~ + Збц б'~ + Зп (О)бх б 1 + Зп,(0)бу б 1 где б ~=р (бх +бу Рп (О) .

Иа Формул (3.4О)-(З 4г ), (6.гт) Рассмотрим перенос АЛДЗП между плоскостями О... и О,',, В плоскости О... параметры АДДЗП имеют вид: б'х;б'у; б'р; б'д. Иа Формул (3.37),(З.ЗВ),(6.19) следует, что перенос АЛДЗП от следует, что после преломления на поверхности ~ АЛДЗП примет вид: б'р" = б'р' + б'И„(п.(О)-п. (О)) + Зрбх б'и; б'д" = б'о + б'И (п.(0)-п. (О)) + Зрбу б'и, где и, и,' дп дп' и, и' дз дз (бх +бу ) + 2=0 (бр' )+(бц') бр~+бц~ и'(0) и (О) б И = рб х + За, (6 зюп р + 9 з1п р соз ~) бх б х + + Зсоз'р (б'хбу+бхб'у) + Зз1п'~ бу б'у + 243,бх(бх'+бу'); бИ =рбу +За (бсоз~р+9созуз1пср) бубу+ + Зз1п р (б убх+буб х) + Зсоз ~ бх б х + 243„бу(бу +бх ) Параметры АЛДЗП (или его продолжения) в плоскости О,',, на основащж формул (3.37),(3.38) равны б'х''=б'х +Збр' б'1'' .

б'у''=б'у +Збц'б'1'' (6.67) б'р''=б'р '+Зп1(О)бхб'Ф''; б'д''=б'д '+Зп1(О)буб'1'', где б'~ = -р(бх'+бу')~п.(О). Используя выражения (6.63)-(6.67), можно рассчитать через оптическую систему и найти в плоскости изображения параметры б х„ , б у„ АЛЛЗП, построенного на трех одинаковых АЩ1П порядка, каждый из которых по Формулам (6.38) выражается через параметры вспомогательных лучей и нормированные координаты.