Глава 6 (Синтез и анализ оптических систем с асферическими поверхностями и градиентными средами)

— 157— ГЛАВА 6 РАСЧЕТ АБЕРРАЦИИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯКОВ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С АСФЕРИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ И ГРАДИЕНТНЫМИ СРЕДАМИ ТИПА "ПСЕВДОАКСИКОН" 6.1. Перенос аксиальных лучевых ди4$еренциалов первого и второго порядков в среде с распределением показателя преломления типа "псевдоаксикон" Рассмотрим осесимметричную оптическую систему, состоящую из к поверхностей„ каждая из которых описывается уравнением (2.56). Плоскости предмета и изображения оптически сопряжены. Среды пространства предметов и пространства изображения являются однородныви.

Функции распределений показателей преломления остальных сред описываются выражением: и' (х,у,я) = и' (я)~ п, (я)(х'+у' ) ~ т~, (я)(х'~у' )'" ~ и (2) (х ~-у ) + т~ (я) (х +у ) + ..., (6.1) где п (я), п,(т,), т~,(я), п,(к), г),(г), ... — Функции, зависящие только от координаты к. Введем в оптической системе плоскости 0...,0'„,, ((=1,2,3,...,ш), перпендикулярные оптической оси и проходящие через вершину поверхности (.

Плоскость Р... находится в среде (, плоскость О,',, — в среде И1 (рис. 4.1). Рассмотрим перенос АЛД1П и АЛД2П в среде ~ между плоскостями О,', „, О,,, В системе координат градиентной среды плоскости О,' ,, „О, , описываются уравнениями я=я , т.=я,. Честные производные но координатам х,у для функции (6.1) имеют вид: — = 2п,(я)х + Зт~,(х)х(х +у )" + 4п,(я)х(х +у')+...; (6.2) 2 = 2п, (з)у + Зт~, (г)у(х +у ) + 4п, (з)у(х +у )~...; (6.3) Ы = Еп (е) , 3„ Се)-~2"*' *~- . 4п Се)~ЗХ*.У*). .; (6.4) бх' а а)~ а г а = т~,(з)ху(х'+у') '" + 8п,(з)ху + дхду д'и' (2у +х ) = 2п,(з) + 31),(з),, „, + 4п,(з)(Зх'+у') +...;(6.6) ду (х+у ) — — З~) (з)(2х +Зху )(х +у ) ' + 24п (з)х+ ...; (6.7) з г З~), (з)у'(х'+у') '" ~ 8п,(з)у ~ дх'ду 3 2 31), (з)х'(х +у ) + 8п,(я)х + ...; ау'ах (6.9) Зт~(з)(2у+Зух)(х+у)+24пг(з)у+ вида (О/01.

Для их раскрытия перейдем к полярным координатам ф,~: у= ~ соз ~р , ~' = х' + у' . (6.11) х= 1 з1п р Для луча, бесконечно олизкого к оптической оси, условия х О, у 0 эквивалентны условию ~ О. Тогда: При х=О,у=О в Формулах (6.2)-(6.12) возникают неопределенности д и' . - д и' . - д и' ).2п †, = 2п,(х); 1йлп — = 0; 1злп †, = 2п,(з). (6.12) ~'0 дх' ' ~'0 дхду ~. 0 ду' уравнений: а б р ЫЬ = п,(~)б,х ; а б,о /а~ = и, (х)б,у ; д б ~ 1 д' и' (з) о дС 2 дх' а б,хЫ~ = б,р; д б,у/дт, = б,ц; д б,я/а~ = б,~ (6.13) Система диФФеренциальных уравнений (6.13) аналогична системе диФФеренциальных уравнений (4.23), которая описывает АЛД1П в среде с распределением квадрата показателя преломления (4.20).

Параметры АЛД2П в среде с Функцией распределения квадрата показателя преломления (6.1) в соответствии с выражениями (3.23),(3.24),(6.2)-(6.12) удовлетворяют системе диФФеренциальных уравнений: 2п (х) (с1 б,р / дх ) = 2п,(я)б,х + т),(х)(б з~п ~р+ + Эзоп р соз'~)бх,бх,+ 31),(и)соз'у (бх,бу, + бу„бх,) + + 3т~, (х)зьп'~ бу„бу,; 2п,(х) (с1 б,д / дх ) = 2п,(х)б,у + т),(х)(б соз <~ + +9соз 4т з1.п'р)бу„бу, + Зт),(х)зш'у (бу,бх, + бх„бу,) + + Зтт,(з)соз'р бх,бх, ; дб',~ 1 д'и,'(х) , д п,(г) и (х) — ~ = — б х + ' (бх бх +бу бу ); о де 2 де~ ~ д е А в А а Ы',х/дх = б,'р/п.(х); дб',у/дх = б',о/п.(х); с1 б,х/с1я = б,1/и (з) Параметры АЛД1П в среде с Функцией распределения квадрата показателя преломления (6.1) в соответствии с выражениями (3.4)-(3.6),(6.2)-(6.10) удовлетворяют системе диФФеренциальвых - 16О- Параметры АЛД2П в плоскости з=з„ в соответствии с Формулами (3.25),(3.26) имеют вид: б х=б х(е„); б у = б у(2„);б е =б 2(2„) + и (е„)б г; б~р=б~р(з ); б'ц=б~ц(з„); о( б21=б2 1(е ) + и (е ) О Условие (3.27) для АЛД2П, принадлежащего плоскости х=х,, имеет вид: б'я=О.

Следовательно: б $ = — б е(е„)/и (е„) (6.16) Так как параметры б'х, б'у, б*р, б'с не зависят от б'й, то индекс "С" при их обозначении спускается. Рассмотрим перенос АЛД1П и АЛД2П между плоскостями О... и О,',, Уравнение поверхности ( описывается Формулой: Ф(х,у,з) = -х + (р/2)(х'+у') + а,(х'+у')' ' + + В, (х'+у' )' + а, (х'+у' )"' + ... =О Координаты вектора нормали этой поверхности имеют вид: ('6.17) И= рх +За, х(х+у*)' + 43х(х+у ) + ...

И = ру + За,у(х +у ) + 4В,У(х'+у') + ... (6.18) Функции распределений квадратов показателей преломления сред ( и (+1 имеют вид." 6.2. Перенос аксиальных лучевых диФФеренциалов первого и второго порядков через преломляющую поверхность типа "псевдоаксикон" и'(х,у,з) = и'(з)+и, (х) (х'+у')+т~, (з) (х'+у')'" + (и'(х,у,з))'=(и'(з))' + и,'(з) (х'+у') + + 1),'(з)(х +у ) + ... яз Формул (1.20), (1.21 ), (2.12), (4.21) (б.20) следует, что оптические направляющие косинусы луча, совпадакщего с оптической осью, в средах ~ и ~+1 равны: р „ = р „ =0; ц „ =ц „ =О; ~ „ =~ „-п (б.21 ) Ф(х,у,з)=О, так как плоскость О...

является касательной к вершине поверхности. Из Формул (1.34),(3.10),(3.14) следует, что преломление АЛД1П на поверхности Ф(х,у,з)=0 списывается выражениями: бр'= бр+ рбх и; бс'= ба+ обу и; б1' = -бы=О . (б.22) Очевидно, что лучевой дифференциал бх,бу,бз=О,бр',бц',б1'=0 принадлежит плоскости О,',, Формулы (6.21),(б.22) совпадают с выражениями (4.31),(4.32).

Следовательно, ксзФ$ициенты а,,а,, уравнения ас4ерической поверхности (б.17) не влияют на АЛД1П и не оказывают влияние на параксиальные характеристики оптической системы. В плоскости О... параметры АЛД2П обозначим как: б х(е)=б х, б у(е)=б у, б е(е)=б 2=О, б р(е)=б р, б Я(е)=б Я, где р , ц , 1 =п,(О) — оптические направляющие косинусы в среде (; р' , ц' , Г =и,'(О) — оптические направляющие косинусы в среде 1+1; п=п (0)-и'(О). Параметры АЛД1П в плоскости О... равны: бх, бу, ба=О, бр, бц, И=О.

Одновременно данный АЛД1П предлежит и поверхности — 162— б'1(з)=б'1. Из тождества (3.30) следует, что б'~=(п, (0) (бх,бх,+бу„бу,)-бр„бр,-бо бо, Рп (0). Перенос АЛД2П от плоскости О,,„ до поверхности Ф(з,у,з)=0 описывается выражениями (3.25),(3.26), которые после раскрытия неопределенностей и с учетом величин, тождественно равных нулю, примут вид: б'х =б'х; б'у'=б'у; б'з'=п.(0)б'~; б'р'=б'р; б'ц =б'ц; о( б1=б 1+и (з) дз Для АЛД2П, принадлежащего поверхности Ф(з,у,в)=0, условие (3.27) имеет вид: б'з' = р(бх„б,х+бу,бу,)=0. Тогда б'~ = б'з'~п (0)= р(бх„бх,+бу,бу,)~п,(0) .

Из Формул (3.28),(3.29),(6.18) следует, что преломление АЛД2П на поверхности Ф(х,у„з)=0 описывается выражениями: б р '=б Р + б Я ы, "б ч '=б я + б М й; б 1 '=б 1 -б и, (6 25) где б И„= рб х + а,(6 з1п Ф + 9 з1п Ф соз Ф)бх„бх,+ За, соз'Ф (бх„бу, + бу,бх,) + За, зш'Ф бу,бу, ; б М = рб у + а,(6 соз Ф + 9 соз Ф з1п Ф)бу„бу,+ + 3 а,з1п Ф (бу„бх, + бх„бу,) + За, соз Ф бх„бх,.

На основании тождества (3.30) запишем: б' ~" =(и, (0)(бх,бх,+бу„бу, )- бр,бр, — бс„бо, Рп. (0) дп,' (з) дх р(бх„б х,+ бу,бу,). Тогда бп — б1 — б1 Параметры АЛД2П (или его продолжения) в плоскости О,',, на основании Формул (3.25),(3.26) равны: б'х =б'х"=б'х; б'у"=б'у"=б'у; б'х"=б'х +и (а)б'~ ', а б р'"=б р '; б о''=б а дп,' (х) б'1 =б'1" + п,(е) дх Так как аИ2П б'х", б'у", б'х", б'р", б'д, б'~" принадлежит плоскости О,'... то б*х' '=О; б'~'' = -б'х"~п'(О) = -с(бх б х+бу бу Рп'(О) 6.3.

Определение поперечных аберраций второго порядка Траекторию луча, бесконечно близкого к оптической оси, в градиентной среде можно„ на основании свойства 3 ЛД2П, представить в виде: Последовательно применяя 4юрмулы (6.23)-(6.29), можно рассчитать АЛДЯП ат плоскости предмета до плоскости изображения оптической системы. При этом необходимо определить угол у, который входит в эти 4юрмулы.

(6.31) где (бЕ;бт) — ~Лд1П; (б'Е;б'Т) — АЛдгп, построенный на двух равных АЛД1П (бЕ;бТ). На основании 4)ормул (6.30),(6.31 ), координаты х,у луча можно представить в виде: х = бх + '; б'х + О(3) ; у = бу + ,†' б'у + О(3) После подстановки Формул (6.32) в выражения (6.11) имеем (л=агс~я(бх~бу) + О(1) . При (() = агс1я (6.33) имеют место равенства: бх = У бх + бу ххп хх ( бу = У бх ~. бу иии у (6.34) Так как бх и бу являются Функциями координаты я, то угол также зависит от я: ~(1)(я). Перепишем систему ди4$еренциальных уравнений (6.14) для (6.35) Йе и (у) После подстановки выражений (6.33),(6.34) в Формулы (6.26) случая, фсрмуле а б'р Š— Е +бЕ+ б Е+О(З) Т = Т„„+ бТ + —, б'Т + О(3) когда бЕ=бЕ,=бЕ,; бТ=бТ,=бТ,, а угол (1) определяется по (6.33) п,(х)= п, (х)б*х + 3 б, (х)бх х бх* + бу* п, (х) = и, (х )б*у + б б, (х)бу х' бх' ~ бу* с1 б'х /йя = б'р ; и (я) й б'у /йя = б'д аи = рбх + аа,ах ./ох* ~ юг* 6 Е = Рб у + ба оу /бх ~ бу (6.36) (6.32) можно представить в виде: Х =бХ ~.