Глава 3 (Синтез и анализ оптических систем с асферическими поверхностями и градиентными средами), страница 2

бТ (3.13) АО(<> ВО(1> о((> о<)> Ограничиваясь членами второго порядка малости при разложении функции б,Н(Н.+бН...бН,.+б'Н.,Т.+бТво,бТ,.+б'Т.,~) в ряд Тейлора с учетом Формул (3.1),(3.19), получим: б,Н(Н +бН, ,бН„ +б'Н ,Т +бТ ,бТ, +б'Т ,1)= = б,Н(Н >бН„О>Т >бТ„О>$) + + б',н(н ,бн,~,бн„~,б'н ,т ,бт,~,бт,~,б'т ,т) . (3.20) Проди$ференцировав Функцию (3.19) по 1, полу пл выражение для Лц2П оптических направлянщих косинусов: Д б1Н б(Т(НО>бНВО>бНАО>б Но>ТО>бТВО>бТАО>б Т(,>~) Й1 дТ(Н,Т,1) дТ(Н,Т,1) д Н д $.=1 О( В > О(<) д'Т(Н ,Т ,$) + ~~> ~~> — — бК .

бН дК дН во«> во< <=1 о«> о<>> д Т(Н,Т, >,) во<1> во<'> во< дН ...дТ д Т(Н,Т,1) + бТ . бТ дТ . дТ О<(> О(>> (3 21) Вместе б,Н (б,х;б,у;б,е) и составляют ЛД2П. Для оптически однородной среды при подстановке выражений (3.19),(3.21) в $юрмулы (1.4) получим: +б Т ~ ю ДиФФеренциальное уравнение„ аналогичное уравнению (3.6), имеет вид: с1 6,В /й1 = б П(Н(1),б,Н ,б В ,б В) (3.23) где 6'В(К(Ц,б,К,,б,Н,,6,*Н)= ,'~ б,В... Н=К(1) ' дК... 6Н...

дК, 6К . 6К 1 А("') С В(д) По аналогии с формулами (3.Т),(3.8) для ЛД2П запишем: б К(К ,6Н ,6Н ,б Н ,Хо,бТВо,бТАо,б 1~,1,61~,61~,6 $)= = 6,Н + 6,ТА 61 + 6,Т 61„+ В(Н) 61„6С +Тб 1; =6„Т + 60(Н,6„К )61 + 60(Н,б„Н )бй а'Н(Н,,т,,1) + — — 61 б~ + 2(К)б 1 Й$' А В а Н(Н,Х~,1) др где — " ' = ~ т. (К,Т,Ц с1 (,' аН. (в1 (В) Условие, при котором ЛД2П принадлежит поверхности Ф(Н)=С, получается при разложении в ряд Тейлора выражения (1.32): б'Н Н=Н" дН... ВН...ВН... бН„...бН„., Н=Н" =О, (3.27) где бН"„= бН(Н.,бН„.,Т.,бТ„., ~',б~,"); бН", = бН(Н.,бН...Т.,бТ...~',В'.); б'Н =б'Н(Н.,бН..,бН„.,б'Н.,Т.,бТ...бТ„.,б'Т.,~",В.",б „",б' ').

Параметры б1,, б~, определяются по Формуле (3.9); б'~ является решением линейного уравнения, которое получается при подстановке в равенство (3.27) формулы (3.25). Преломление ЛД2П на границе двух сред описывается уравнением, полученным на основании Формулы (3.10): б Т' = б Т Ф б М(Н ,бН„,бН ,б Н ) и + бИ(Н ,бН ) бп + Ф бн(Н,бН ) би„+ Ы б и (3.28) где б'Н(Н',бН',,бН',,б'Н")= ~ 1 в 1 Н=Н дН... 3 Э д2я Н=Н би„ и бп, вычисляются по формуле (3.14) при расчете ЛД1П. Раскладывая в ряд уравнение (3.11), получим тождество для ЛД2П оптических направляющих косинусов луча, справедливое для любой среды оптической системы д(п') б'В...

Н=Н (1) д Н,1, д' (и') д В...дВ„., бН . бВ Н Н(~) А(1) н()) (3.30) Велгина б'и определяется подстановкой формулы (З.ЗС) в выражение (3.28). 3.4. Свойства лучевого диф)еренциала второго порядка Свойство 1. ЛДЯП не изменяется при перестановке ЛД1П, на которых он построен. На основании 4юрмул (3.19),(3.21) можно записать: б,Н(Н ,бН ,бН„ ,б Н ,Т ,бТ ,бТ„ ,б Т ,1)= -б В(Н ,бВ ,бВ ,б Н ,Т ,бТ ,бТ ,б Т б,'Т(Н ,бН ,бН ,б Н ,Т ,бТ,о,бТАо,б'Т ,1)= =б,Т(Н ,бН ,бН ,б В ,Т ,бТ„ ,бТ ,б Т ,1). Данное свойство распространяется на всю оптическую систему. В краткой Форме зто свойство может быть записано в виде: б'Р(Н,,бН„,бН„,,б*Н,, Т,,бТ„,бТ„,б'Т,)= =б Г (В,, бВ„,, бВ„, б'В,, Т,, бТ„,, бТ„, б Т, ) оптических направляющих косинусов опорного луча на поверхности где б'Г(Н„,бН„,бВ„,б'Н,,Т,,бТ„,бТ„,б'Т,)=(б Н,;б'Т,)' векторная Функция, описывающая преобразование ЛДЯП между произвольными поверхностями Ф,(Н)=0 и Ф,(Н)=0; (б'Н,;б'Т,) ЛД2П принадлежащий поверхности Ф,(В)=0; (б'Н,;б'Т,) — ЛДЯП принадлежащий поверхности Ф,(Н)=0; Н,,Т, — векторы координат и Ф,(Н)=О; (бН„,;бТ„ ), (бН„;бТ„ ) — ЛД1П , на которых построен ЛДЯП (б Н,;б Т,).

Поверхности Ф,(Н)=О и Ф,(Н)=О произвольные и могут как совпадать, так и не совпадать с поверхностен раздела оптических сред„ находиться в одной или разных средах оптической системы. Свойство 2. В оптической системе для ЛД2П (б Н, ;б Н, ) и (б'Е, ;б'Т„), построенных на едином опорном луче (Н;Т), выполняется следующее равенство: б'Г(Н,, бН„, НбН„~МН„,Ы'Н...

Нб'Н„,, Т,, бт„, ЮТ„~РбТ„,, в~' р~" юг~' ~" на' уь' ар~)' где У,Š— произвольные константы. Из последней Формулы также следует, что где А,Б — произвольные константы. Последняя формула показывает, что при расчете можно использовать не бесконечно малые ЛД2П, которые построены на бесконечно малых ЛД1П, а ЛДЯП, которые построены на пропорционально увеличенных ЛД1П . Свойство 3.

Рассмотрим Функцию Н Е,+бН +-,'б'Е,,Т +бТ +-,"б'Т,,1+б1~-,'б'1 , описывакшую траекторию луча, оесконечно близкого к лучу Н(Н,,Т,,1). Ограничиваясь членами второго порядка малости при разложении атой функции в ряд Тейлора из выражений (3.1 ), (3.2),(3.1 9)-(3.21 ), имеем: В~В,~ЬВ ~ -',5*а,,т,+Л ~-,'В*т,,ж~н-,'Ю*ф к~а,,Х,,Ц + 6Н(Н,бН,Т,бТ,1,6~) + + -б Н(Н,бН,бН,б Н,Т,бТ,бТ,б Н,1,61,61,6 1) Овойство 4.

Формулы, описывающие преобразование параметров ЛД2П из системы координат О,Х,У,Е, в систему координат О„Х„У„Е„, имеют вид 6Т =КТ; 6Н =МН, (з.з1) где (б'Н,;б'Т,)„ (б'В„;6'Т„ )- параметры ЛДЯП в системах координат О,Х,У,Е, и О„Х„У„Е„; Я вЂ” метрице поворота. 3.5. Лучевой диФФеренциал третьего порядка Пусть Функция В(Н ,Т,,1) описывает траекторию опорного луча в оптической среде, а Фунщии б,Н(Н,„бН„,Т ,6Т„,,1), 6,Н(Н,,бН, ,Т,,бТ„,1) — ЛД1П линейных координат, на которых построен ЛД~~ 6 (Но '6Нво '6Н~о '6 Но 'То '6~во '6ТАо 'б То '~) Изменим начальные значения Функций, описывающих траекторию луча и его ЛД на величины более высокого порядка малости: В~ О = В +6Н ; Т) О =Т +6Т ; бН,)~ О =бН, +б'В, б Т„,~~ О = б Т„, +б Т,, где (6Н,,"6Т,)- бесконечно малые первого порядка малости; (б'Н„, ;б'Т„ ), (б'В„ ;б'Т, ,) бесконечно малые второго порядка (б х,;б у,;б з,) и (6'р~;б'ц~;б'1 )' -бесконечно малые третьего порядка малости.

На основании Формулы (3.1) траекторию луча Н(Н +бВ„,Т +бТ„,Ф) с точностью до величин первого порядка малости можно представить в виде: В(В +бН ,Т +бТ~~,$) = Н(Н ,Т ,$) + б„Н(Н ,бН О,Т ,бТ~~,1). Воспользовавшись выражениями (3.19),(3.2С), представим с точностью до величин второго порядка малости ЛД1П линейных координат луча в виде: б,Н(Н +бВ ,бН ~б Н ,Т ~бТ ,бТ +б Т„~ ,1)= =б,В (Н,бВ~~,Т,бТ~~,1)+ Разложим функцию б, Н (Н,+бВ,, бН, +б Н„,, бВ„+б Н„,, в степенной ряд Тейлора с точностью до величин третьего порядка малости: где дн(к,т,1), анан,т,1) — — б'н . + -- бт О(<. ) ат О(ъ) О(с а'к(к,,т,,ц АО(с> ВСО<)> ВО<(> АСО(>> о((> о<>> 2 ~ о ~ о ~ ~ ~ ~~ в д*н(к,,т,, ц — (бт . б'н . + О(() С)С) > ) СО()> АВО(() АО(() ВСО( Д ) СО(ъ) АВО(.) >„) ВО<)> АСО< +бн, ...б'тв а'н ~н.,х., ц +— ат.,„,ат ...

СО(<> АВО< 3 > д'к(к.,т.,ц бн . бн . бк + дн . дн . дк АО(с> ВО(>> СО<>с) О<с > О<3) О<(с) а'НСк.,т., ц + <бн , бн . бт + ан ат < АО(~> ВО(Д) СО<>с> о «> ос) ) о<>с> :: ся...,,сн.„,,с).„„~ сн...,,св...,,т...„,| д н(н,т,1) АО(с) ВО<д> СО(Ы> СО(() АО< ) ВО<в) ВО (с) АО ( >) СО ()с) д'к (к.,т., ц бт . бт . бт ат . ат . ат АО(с> ВО <)> СО()с> о « > о<>> о<~> (з.зя) Функцию б,'Н будем называть лучевым диФ$еренциалом третьего порядка (ЛДЗП) линейных координат. ПродиФФеренцировав Функцию (3.

32) по 1, получим выражение для ЛДЗП оптических направляющих косинусов: с (з.зз) с11 (б„Т„,;б,Т„,;б,Т„,) = (б,р;б,д;б,1) составляют ЛДЗП. Для оптически однородной среды при подстановке выражений (3.32),(3.33) в Формулы (1.4) получим: б',В=б'В.+б'т,~ ; б,'Т=б'Т,=оспа~. ДиФФеренциальное уравнение, аналогичное (3.23) имеет вид: а'б,'в л~'=б'п(в,б,в,,б,в,,б,в,,б',в„,б',в„,,б',в„,б,'в), (3.36) где д'0 <бв . бв . + .(.> .

вс~,~ <ъ< <~< з з з д'0 бв бв бв А«> с ~<~~ с а(~с> (<< (~< (~с< (3.36) <в1 <в1<св1 По аналогии с Формулами (3.25),(3.26) для ЛДЗП аапиюем дп и з — а,'«... (<< ъ=1 3 =1 (3.34) уравнению +б,т.б'~„.+б,т.б'~„, + б,Р„Ы,В. + б,Р. М.М. + с я в ~ (( вс я яс в яв с( а'н ~н.,т., ц + — " " вяв + тб~ а1 я в с а'б,н. а'б,н, а1' ' ' а1' т с а'н(н.,т., ц -451 бФ + — (б Ф 61+б 1 б1+б 1 б1 )+ з я в ,„з вс я яс в яв с а'н ~н.,т., ц ~ — ''-' — а( м м + п(к)а'(, а(,' в с <з.зв) где бР„ = бР~Н~~),б,Н„~ ; б',Ряв = б'Р~н~~~,б,н„,б,н,,б',Н„,~; др з з ()) (=1 3=1 з т.

т дн . дн . )=й (() ()) Условие, при котором ЛДЗЛ принадлеитт поверхности Ф~н)=О, а'б,н ас' а н з а~" дР р. +7 дн . () ) (в( д'Р т. бн. дн дн (() (Д) получается при разложении в ряд Тейлора выражения (3.27): *В 1 О Н=Н Н=Н" з э з Н=Н где индексом "~" обозначены ЛД, принадлежащие поверхности Ф(Н)=0.