Глава 2 (Синтез и анализ оптических систем с асферическими поверхностями и градиентными средами)

СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ АНАЛИЗА ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПАРАКСИАЛЪНОМ ПРИБЛЙЛЕНИИ И В ОБРОТИ АБЕРРАЦИИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ 2.1. Пвраксиальные лучи и аберрации третьего порядке осесимметричных градиентных оптических систем Рассмотрим асесимметричную оптическую систему, состоящую из к поверхностей и заключенных между ними однородных и градиентных оптических сред. Оси ОЕ прямоугольных декартовых систем координат, в которых описываются уравнения оптических поверхностей и функции распределения показателей преломления, сонаправлены и совпадают с оптической осью; оси ОУ сонвправлены и лежат в меридианальном сечении; аси ОХ сонвправлены и лежат в сагиттальнам сечении. Среды пространства предметов и пространства изображений являются однородными и имеют показатели преломления и...

и и,' , = и, „ соответственно. Плоскости предмета и изображения оптически сопряжены. Расчет параксивльных и нулевых лучей в осесимметричной градиентной оптической системе рассмотрен в работах ~19-22,36,49,59,б2-б4,б9,81,8б-88~. Так как траектория параксиального луча бесконечна близка к оптичекой оси, то координаты парвксиального луче х=Х, у=7 и углы о , а между оптической осью и проекциями касательной к траектории луча на меридианальную и свгиттвльную плоскости являются бесконечно малыми. В соответствии с 1191 векторы линейных координат Е и оптических направляющих косинусов Т параксивльнаго луча можно представить в виде: + О(2), (2.1) +О(2); т=т„„-п„.

у=О где и — показатель преломления среды, В =(0,0,я)', т =(О,Э,п~ ,) — векторы линейных координат и оптических направляющих косинусов луча, совпадающего с оптической осью; 0(2) — величины второго порядка малости относительно параметров Х,Р,а„,а . Если функция распределения показателя преломления градиентной среды имеет вид: п(х у е) = и (е) + и (е)(х +у )+ и (и)(х +у ) + ° ° ° (2 2) где и, (я ), и, (и), и, (я) — функции, зависящие только от координаты я, то траектория параксиального луча в среде с функцией распределения показателя преломления (2.2) описывается системой диФференциальных уравнений (19-21,49): траектории параксиальных лучей описываются выражениями (19,49,861: с1 Х(к) /йг = -а (и) с1(и (а)о (з))Яз = — 2п (а)Х(ъ) с1 3'(т,)/йя = -о (е) й(п (я)а (я))~ля = — 2п, (я)У(т,) В среде с радиальным распределением показателя преломления 1/2 п = и, 1 - я* (х'+у' ) + Ь,„.

я'" (х*+у' )' (2. 3) (2. 4) (2. 5) (2. 6) где Х,, а , 3~,, а — параметры параксияльного луча в начальной точке траектории. Рассмотрим поверхность Ф(х,у,з)=0, разделяющую две среды с показателями преломления п(х,у,з) и и'(х,у,з). Уравнение поверхности Ф(х,у,з)=0 и Функции п(х,у,з) и п'(х,у,з) записаны в декартовой системе координат с начальной точкой в вершине поверхности Ф(х,у,з)=О. Уравнение поверхности имеет вид: Ф(х,у,з)= г =-х+ — (х +у )+В,(х+у) +В,(х+у)'+ ..., (2.12) где р — кривизна поверхности в вершине. Для сФерической поверхности ~59~: В,=р Р8, В,=р /16„ Преломление параксияльного луча на границе двух сред описывается выражениями ~49,86~: (2.13) а' и,' =и о + (п,'-п )р7, (2.14) где Х,У вЂ” координаты параксиального луча на поверхности Ф(х,у,г)=0; о' ,а ,с' ,а — углы параксиального луча до и после преломления на поверхности; и,' = и'(О,О,О), п,=п(О,О,О) Расчет нулевых лучей, параметры Х,У,а ,о которых пропорционально увеличены по сравнению с аналогичными Х(я) = Х соз(щ)-о з1п(~з)/О; о„(е)=Г соя(як) Хо я Б1п(щ) ю У(з) = 3~ соз(щ)-ст з1и(~з)Я; о (з)=а„соз((,з)-3', (, з1пЯз) а' и,' = п о (и,' - п,)р Х ; показатели преломления в вершине поверхности.

(2. 8) (2. 9) (2.10) (2.11 ) параметрами параксиальных лучей, также ведется по формулам (2.З)-(2.1 4) [З6,49~. В осесимметричной оптической системе параметры любого нулевого луча в любой точке траектории могут быть представлены в виде линейной комбинации параметров двух вспомогательных лучей в этой же точке траектории [1 9,65): составляющие нормированных полевых координат луча; й ,й — меридиональная и сагиттальная составляющие нормированных апертурных координат луча [19); Ь,а — высота и угол первого вспомогательного луча, который принадлежит меридиональной плоскости и проходит через осевую предметную точку; Н,р — высота и угол второго вспомогательного луча, который принадлежит меридиональной плоскости и проходит через центр входного зрачка.

Теория аберраций третьего порядка градиентных оптических систем, обладающих осевой симметрией, изложена в работах [1 9,21,49,63,64,81,86-88). Ыеридиональная А~,' и сагиттальная ЛС,' составляющие геометрической аберрации третьего порядке в плоскости изображения оптической системы выражаются через нормированные координаты й ,й ,№ ,№ и коэффициенты Б,, зависящие только от конструкции системы. Б соответствии с [59,64,86) выражения для геометрических аберраций третьего порядка имеют вид: Ж(2) =Ь(е)й + Н(е)№ У(з) =Ь(з)й + Н(з)№ с (х) =а(х)й + Р(г)№ и (х) =о(х)й + Р(з)№, „ где № ,№ — меридиональная и сагиттальная У' х (2.15) (2.16) (2.17) (2.18) -2п,', а,', 4,,' = Б,(й' +й')й + Б,(36 й' +У й' +21 й й )+ З( х х х) 4 ( м + Б, (У' 4-6' Н~ ); -2п,', а,', АС,' = Б, (й' +й' )й + Б, (36 й' +Г й' +21 й й )+ З( м х х х ) 4 ( х м м) + Б,(У' +У' У ) (2.2О) где а,' , = а. .. — угол первого вспомогательного луча после преломления на поверхности я, то есть в пространстве изображений; У=п„,(а„,Н„, — Р...'и„,) — инвариант Лагранжа- Гельмгольца [19~.

Каждый из коаФФициентов Б, может быть представлен в виде Г4 в-1 Б, = Б. , + Б, поверхностями ~ и (,Н1). Для среды, в которой распределение показателя преломления описывается Функцией (2.2), коаФФициенты Б, (индекс ~ спущен) имеют вид [19,21,49,69,8б~: В, = ~[ ~(я)п ~а)а'(я))— 8пз (~)~ (~)+4п (~))» (~)~х (4) по (х)~х (4 ) (2.22) КоаКпщиенты Б, , характеризует вклад в аберрацию, обусловленный преломлением луча на поверхности ~, а коаФФициент Б. , — вклад, обусловлиплй прохождением луча через среду (~+1), ограниченную Б", = Л(Ь(г)и (и)~(и)а'(и))— 8п, (з)Н(л)Ь'(т) + 2п, (т)й(а)а(х) Ь(х)р(я)+Н(г)а(я) — и (и)а (и)~(и)]Ии (2 = И(Ь(и)и (и)~*(и)а(ъ)]— 8п, (л)Ь'(х)Н'(л) + 4п, (я)й(я)Н(я)а(к)]3(я)- — и (и)а*(и)~*(и)]й~; ~ п,(к) Б4 2 7 ак ~ п' (я и,' = и[и(и)и.(и)1'(а)]— 8п, (я)Ь(т)Н (к)+2п, (я)Н(з) Р(к) Ь(т)Д(я)+Н(х)а(г)— — и (е)а (е)р (2) с(е (2.26) В Формулах (2.22)-(2.26) интегрирование производится по осевой толщине градиентной среды; слагаемые вида Л(т) есть разность значений Функции т в конечной и начальной точках интегрирования.

Для среды с радиальным распределением показателя преломления (2.() Формулы (2.22)-(2.26) принжиают вид (49,6З,8~ ]: Б, = Б, + Ь~ЛБ,. где Б', = и, Л( Ь(я)а~(а) ) + п,й(а~ + ~~Ь,) Б', = п А(Ь(я)~3(к)а'(я)) + и й(а,' +~'Ь') 03,а,+~'Н,Ь ); Б, = и А(Ь(к)~3 (к)а(я))+ и й(~3 а +В Н Ь ) о Б, =и Л(Ь(я)~'(к)) + и й03' +Я Н ) О а +К Н Ь ) ~ ЬБ", =-ЗЬ,а,Ь,(а,н +~,~ ) -Ь,а' (а,н +З~З,Ь )- -Ь,К.' (За.Н.+Б.Ь.)- Ь„а.' ~3. -Ь,К.'Н. ; -гЬ а Б (а Н.+~3.Ь.)-гЬ,Ь.Н. (а.Н.+~3.Ь.)-Ь,а.' ~3.' ЬБ," =- ЗЬ,~З.Н.

(а.Н.+Б.К.) — ЬЛ.' (За.Н.+~.Ь.)— — Ь,Н.' (а.Н.+ЗБ.Ь.)-Ь,а.~3.' -Ь,Ь.Н.' ; Ь, = ~п ( — соя'(рХ)з"п(рХ) + сои(р1)и1п'(~й) + р1 )~Я; — п з~п'Щ); Ь, = и ~'(сов" (рХ) — 1); п (сои (рХ)з1п(яй) — сои(аХ)з1п (~й) — 4соз(Кй)з1п(рХ) + +зяй)~(гя) ; = я и (соБ (яй)Бали(яй) — соБ(Ф)Б1и (яй) + + 4соз(~й)зьи(~й)+ Зр1))/2; й — расстояние меиду вершинами поверхностей, ограничивающих градиентную среду; Ь,,Н вЂ” высоты вспомогательных лучей на первой поверхности градиентной среды; а,,р, — углы вспомогательных лучей после преломления на первой поверхности градиентной среди. Для поверхности 1, форма которой описывается уравнением (2.12), коэФФициенты Б, (индекс ~ опущен) имеют вид ~21,49,861: ' — а) + Ь'(и' -и )(ЕВ„ -р')+ 4й р(п,'-и„)+ + о'Ь' (п,'-п,) (2.

28) (а'- а)(р'- ~) + Ь Н(п,' -и,)(8В,-р ) + 4'и Нр(п,'-и,) + + р'Ь'Н(п'-и ); (2. 29) (р — 8)' + Н'Н'(п. -п.)(8В,-р') + 4Н'Н'р(п,-п,) + + р'Ь'Н'(п'-и ); (2. ЗЭ) З,= Г(а 1 1 (2.31) и' п, Нн'(и. — п.)(8В,— р') + Ы'р(п,'-п,) + р'ЬН'(и -и ), (2.З2) где и,' и, Й п' Ф Ф п дя 1 оп П 2 ду 1 д'и' > П 2 ду' х=у=я=О й,Н вЂ” высоты вспомогательных лучей на поверхности ~; а,~ — углы вспомогательных лучей перед преломлением на поверхности д а',~' — углы вспомогательных лучей после преломлением на поверхности,1. 2.2.

матричная оптика градиентной оптической системы В параксиальном приближении для осесимметричной оптической системы справедливы соотношения ~19,21,28]: Х(1) Х, п' с' св> ..св> <в> и' а' <в> у<в> (1> < 1 > <1»с С 1> где (1,1> ~(1,2> (2,1> (2,2) А В С П Х, „, 3'„, — координаты параксиального луча в плоскости, перпендикулярной оптической оси и проходящей через вершину первой поверхности оптической системы; а „,, о „, — углы параксиального луча в пространстве предметов; Х.