Автореферат (Разработка методов расчёта расщепления спектра частот неидеального упругого чувствительного элемента волнового твердотельного гироскопа), страница 3

2, б).В соответствии с приведённым выше результатом выражение дляфункции возмущение формы записывается в видеξ s, ϕ = ξ2k s cos2kϕ .(15)С учётом (15) выражения для характеристик геометрии возмущённойсрединной поверхности в линейном приближении имеют вид:( )()()A = ∂r ∂s ≈ 1 + ξ R10 ;B = ∂r ∂ϕ ≈ r0 1 + ξ sin θ0 r0 ;t1 = ∂r A ∂s ≈ t10 + ∂ξ ∂s n0; t2 = ∂r B ∂ϕ ≈ t20 + ⎡⎣ ∂ξ r0 ∂ϕ ⎤⎦ n0; (16)t ×tn = 1 2 ≈ − ∂ξ ∂s t10 − ⎡⎣ ∂ξ r0 ∂ϕ ⎤⎦ t20 + n0; cos χ = t1 ⋅ t2 ≈ 0,t1 × t2где t10, t20, n0 – орты срединной поверхности идеальной оболочки; r0 –радиус параллельного круга срединной поверхности идеальной оболочки(Рис.

2); θ0 – угол между нормалью к идеальной срединной поверхности и()(())()()()осью её симметрии (Рис. 2); R10 – радиус кривизны меридиональногосечения идеальной срединной поверхности.Как видно из (16), в линейном приближении координатные линии навозмущённой поверхности можно считать ортогональными.Подставляя в (9) и (10) выражение (13) и используя (15) и (16), можнозаписать функционалы потенциальной энергии деформации и кинетическойэнергии оболочкиU = ∫ ΦU s,uk ,vk ,wk , ϑ1k , uk′ , vk′ , wk′ , ϑ1k(17)′ ,Q1k , ξ2k ds ,(s)()T = λ ∫ ΦT s,uk ,vk ,wk , ξ2k ds .s(18)Здесь штрихом обозначена производная по s .Функционал действия по Гамильтону возмущённой оболочки с учётом(17), (18) имеет видΠ = ∫ L s,uk ,vk ,wk , ϑ1k , uk′ , vk′ , wk′ , ϑ1k(19)′ ,Q1k , ξ2k ds ,s(())()′ ,Q1k , ξ2k .где L = λΦT s,uk ,vk ,wk , ξ2k − ΦU s,uk ,vk ,wk , ϑ1k , uk′ , vk′ , wk′ , ϑ1kДля вычисления подынтегрального выражения в (19) был разработанспециальный программный комплекс «Operator», позволяющий сиспользованием компьютерного пакета Wolfram Mathematica осуществлять ваналитическом виде все необходимые преобразования.С помощью указанного комплекса для функционала (19) полученасистема уравнений Эйлера (8), возмущения ΔA и ΔB операторов A0 и B0 .Для случая малых неосесимметричных возмущений толщиныh s, ϕ = h0 + h2k s cos2kϕ процедура определения ΔA и ΔB полностью( )10()аналогична изложенной.Изложенный алгоритм был протестирован на примерах расчётанеидеального кольцевого резонатора и некруговой цилиндрической оболочкис граничными условиями Навье.Случайные технологические разбросы параметров геометрии приводятк соответствующему случайному разбросу значений расщепления частот.Возможность расчётной оценки величины расщепления частот упругихэлементов обусловлена знанием вероятностных характеристик случайныхотклонений параметров их геометрии и материала.Источником исходных данных для статистического анализатехнологических погрешностей УЧЭ является непосредственное измерениеконструктивных параметров готовых упругих элементов.Применительно к неосесимметричным отклонениям формы срединнойповерхности (для толщины резонатора проблема решается совершенноаналогично) алгоритм получения функции ξ s, ϕ по результатам такихизмерений состоит в следующем.По результатам обмеров осевых сечений sm m = 1, 2, …, Mреальных УЧЭ и сопоставления координат соответствующих точекнаправляющей реального и идеального упругого элемента получаем массивзначений функции ξ s, ϕвозмущения формы, заданный на сетке( )()( )M : s1 < s2 < … < sM , N : ϕ1 < ϕ2 < … < ϕN{ξmn } = ξ (sm ,ϕn ), (m = 1, 2, …, M; n = 1, 2, …, N ) .Функция ξ2k (s ) (15) будет иметь вид()()2 s + b2 s .ξ2k (s ) = a2k( ) 2k ( )( )(20)(21)где a2k s и b2k s – коэффициенты ряда Фурье функции ξ s, ϕ .В большинстве случаев для реальных резонаторов характер зависимостивозмущений формы от s в пределах одной партии слабо изменяется от образцак образцу, а для скорости изменения ξ s, ϕ в меридиональном направлениивыполняется сильное неравенство∂ξL 1,ξ s, ϕ ∂s( )( )где L – характерный размер по меридиану, например длина меридиана УЧЭ.Эти обстоятельства позволяют воспользоваться методом каноническихразложений случайных функций, ограничиваясь первым приближениемξ s, ϕ = ξ (0) ϕ X s ,(22)( )где ξ (0) ϕ( )– случайная функция ϕ ,( ) ()X (s ) – неслучайнаяфункция s ,заданные соответствующими дискретными значениями (20).11С использованием (22) получается из (21)ξ2k (s ) = 1 X (s )π2( )()2⎛π⎞⎛π⎞0)0)((⎜ ∫ ξ ϕ cos2kϕ dϕ ⎟ + ⎜ ∫ ξ ϕ sin 2kϕ dϕ ⎟ = (23)⎝ −π⎠⎝ −π⎠( )(0)= 1 π X s ξ2k .Используя результаты обмеров (20) достаточно большого числаоднотипных элементов и применяя изложенный алгоритм, получимэмпирическую случайную выборку значений ξ2k s (23).

Вид соответствующейфункции плотности вероятностей можно установить, пользуясь известнымистатистическими методами.Цель расчёта вероятностных характеристик расщепления ψ = 2Δpсобственных частот неидеального УЧЭ состоит в определении плотностивероятностей, а также математического ожидания и дисперсии ψ поплотностям вероятностей случайных неосесимметричных отклоненийпараметров геометрии упругого элемента.Предложены два варианта алгоритма расчёта вероятностныххарактеристик расщепления собственных частот: при отсутствии априорнойинформации о плотностях вероятностей случайных отклонений параметровгеометрии и материала и при её наличии.В первом случае алгоритм выглядит следующим образом.Пусть имеется партия K номинально одинаковых чувствительных()(0)элементов, для которых измеренные значения ξ2k заключены в пределах(0)(0)(0)ξ2k min ≤ ξ2k j ≤ ξ2k max , j = 1, 2, …, K(24)Проводится детерминированный расчёт в соответствии с изложеннымвышеалгоритмомиполучаетсязависимость( ( ))0ψ ξ2kвинтервале⎡ξ (0) , ξ (0) ⎤ (Рис.

3). Определяется количество n , γ = 1,2,…, Γγ⎢⎣ 2k min 2k max ⎥⎦(0)n1 + n2 + … + nγ + … + n Γ = K значений ξ2k j , попавших в каждый интервал()Δξ (Рис. 3). По значениям nγ , γ = 1,2,…, Γ с использованием зависимости( ( ))0ψ ξ2k(Рис.3)определяютсяпараметрыгистограммы,служащейприближением к плотности P1(ψ ) распределения случайной величины ψ :fψ γ = nγ K , hψ γ = nγ Kψ γ ; где ψ γ – интервал разбиения по ψ (Рис. 3);fψ γ– частота попадания значения ψв интервал ψ γ ; hψ γгистограммы в интервале ψ γ .По этой гистограмме определяютсяматематического ожидания и дисперсии ψ .12приближённые– высотазначенияKСтроя над каждым интервалом Δξ прямоугольник, высота которогоравна fξγ Δξ , получаем гистограмму, которая служит приближением к(0)(0)неизвестной плотности P ⎛ ξ2k ⎞ распределения случайной величины ξ2k .⎝⎠Еслиплотность(0)(0)P(ξ2k )распределения ξ2kопределенапутём статистической обработкирезультатов измерений параметровготовыхУЧЭ,изложенныйалгоритммодифицируетсяследующим образом.

Интервал⎡⎣ψ min ,ψ max ⎤⎦ (Рис. 3) разбиваетсяна равные интервалы длиной ψ γ .(0)Рис.Рисунок32.6( ( ))Случайнаявеличинаξ2kразыгрывается в соответствии салгоритмом метода Монте-Карло.0С использованием зависимости ψ ξ2k , определяются значения случайнойвеличины ψ ∈ ⎡⎣ψ min , ψ max ⎤⎦ .Далее определяется количество nψ значений расщепления, попавших втот или иной интервал ψ γ , вычисляются соответствующие частоты попаданийи строится гистограмма, служащая приближением к плотности распределенияP1 ψ случайной величины ψ .В третьей главе приведены некоторые результаты расчётов расщеплениячастот реальных УЧЭ ВТГ на основе изложенной методики.

Получены ипроанализированы зависимости расщепления от основных конструктивныхпараметров резонаторов. Установлено, какие из этих параметров являютсяпроектными, то есть оказывающими наиболее существенное влияние навеличину расщепления. На Рис. 4, 5 приведены графики зависимостей отпараметров геометрии величины расщепления ψ второй собственной частоты(k = 2 )полусферическихрезонаторовизплавленогокварцаснеосесимметричной срединной поверхностью (Рис. 4) и с неосесимметричнойразнотолщинностью (Рис.

5) при следующих номинальных значениях основныхпараметров: радиус полусферы R0 = 30 мм, толщина оболочки h0 = 0,5 мм,( )радиус ножки rH0 = 2 мм, коэффициент Пуассона µ0 = 0,17 , модуль ЮнгаE0 = 75 ГПа, плотность ρ0 = 2600 кг/м3.Анализ полученных результатов позволил выявить ряд важныхзакономерностей.

В частности, установлено, что для полусферическогорезонатора проектными параметрами являются R и h , хотя степень ихвлияния на величину расщепления различна для различных диапазоновзначений самих этих параметров.Радиус ножки резонатора не оказывает значимого влияния на величину13расщепления, что согласуется с результатами работы A. Heidari и др.3.5h = 0,3h = 0,5h = 0,7h=1ê2.52.0(s − smin )2 cos2kϕ(smax − smin )2(0)(s min = R arcsin rH R1.00.530R,322.5y,y,1.528R = 25R = 30R = 353.02.0ξ2k = 1 мкм263.5ê3.0(0)ξ (s, ϕ ) = ξ2k1.5)1.00.5s max = π R 2340.30.40.50.6h,0.70.80.91.0Рис. 4. Зависимости величины расщепления частоты от радиуса итолщины оболочки( )0.6()h2k s = h2k ⋅ ⎡⎣cos π s 2s max + 1⎤⎦()(0)0.40.3(0)h2k hHOM = 10−4hhном==0,30,3 ммhhном==0,50,5 ммhhном==0,70,7 ммhhном==1 1 мм0.5ê0.30.6y,ê0.4y,0.5()h s, ϕ = hHOM + h2k s cos2kϕR = 25R = 30R = 350.20.2s max = π R 20.10.30.40.50.60.7hномh,, мм0.80.90.1261.02830R,3234Рис.