Автореферат (Разработка методов расчёта расщепления спектра частот неидеального упругого чувствительного элемента волнового твердотельного гироскопа), страница 2

Можно говорить о двух этапах этой работы.На первом с использованием приближённых методов (Рэлея–Ритца,Бубнова–Галёркина) был исследован ряд физических особенностей динамикинеидеальных оболочек (А.С. Вольмир, И.Г. Кильдибеков, Н.Ф. Гришин,И.А. Горенштейн, В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчук, И.В. Корольков, S.A. Tobjas,L.R. Koval и др.) и динамики ВТГ (Д.М. Климов, В.Ф. Журавлёв, Н.Е.

Егармин,D.D. Lynch, V.B. Scott, S.A. Tobjas, I.C. Chen, C.D. Babcock, D.A. Evensen и др.).Использование в этих работах приближённых методов определяет, в основном,качественный характер полученных результатов и существенно ограничиваетвозможности их непосредственного применения в практике проектирования.Второй этап связан с появлением и развитием численных методов. На этомэтапе на базе моделей оболочек вращения был решён ряд задач о влияниидетерминированных осесимметричных погрешностей на собственные частоты иформы оболочек, в частности, резонаторов (Н.Ф. Гришин, В.С. Калинин,С.О.

Шукуров, Т.Д. Каримбаев, О.С. Нарайкин, В.А. Дадонов, L. Liu и др.).Кроме того, было исследовано влияние некоторых видов анизотропии материалаи неравномерности в окружном направлении толщины и плотности резонаторана погрешность ВТГ, а также рассмотрен ряд вопросов теории и методовпроектированияВТГ(Д.М. Климов,В.Ф. Журавлёв,В.А. Матвеев,В.В. Подалков, И.В. Меркурьев, Б.С.

Лунин, М.А. Басараб, А.С. Донник,В.А. Солдатенков,Ю.К. Грузевич,В.М. Ачильдиев,О.С. Нарайкин,А.М. Гуськов, D.D. Lynch, A. Heidari, S.-Y. Choi, F.K. Chowdhury, P. Pai и др.).Однако модели, использованные в этих исследованиях, не позволяютучесть ряд реальных технологических погрешностей резонаторов,оказывающих весьма существенное влияние на работу ВТГ, в первую очередьотклонение срединной поверхности УЧЭ от осевой симметрии.Кроме того, до настоящего времени в исследованиях не нашёлотражения тот факт, что реальные технологические погрешности геометрии иматериала оболочечных УЧЭ ВТГ носят случайный характер, что требуетвероятностного анализа их влияния на расщепление частот резонаторов.Таким образом, разработка методов расчёта расщепления собственныхчастот резонаторов ВТГ, обеспечивающих максимально полный учётреальных несовершенств их геометрии, прежде всего, неосесимметричных, вдетерминированной и вероятностной постановках является весьмаактуальной.На основании проведённого анализа сформулированы цель работы изадачи, решение которых необходимо для её достижения.Вторая глава посвящена разработке и обоснованию математическоймодели слабо отклоняющегося от осевой симметрии оболочечного упругогочувствительного элемента волнового твердотельного гироскопа.Наиболее отвечающей условиям изготовления и эксплуатации УЧЭ ВТГ5является модель тонкостенной оболочки с распределённой массой, срединнаяповерхность которой имеет отклонения от осевой симметрии, замкнутой попараллели, переменной по меридиану и параллели толщины (Рис.

2, а, б). Всеотклонения геометрических параметров от номиналов, зависящие от окружнойкоординаты, принимаютсямалыми, что соответствует реальному положениювещей. Что касаетсягеометрии меридиана изаконовизмененияпараметров оболочки вмеридиональном направа)б)лении, то они могут бытьРис. 2произвольными.Колебания резонатора приняты малыми, его материал – линейно-упругим.Соотношения геометрических размеров реальных резонаторов ВТГ даютвозможность при составлении уравнений движения использовать теориюоболочек Кирхгофа–Лява.Малость отклонений геометрических параметров обусловливаетблизость расщеплённых собственных частот и делает естественнымприменение для решения задачи расчёта расщепления частот резонаторааппарата теории возмущений линейных операторов.Задача на собственные значения для механической системы водномерном случае может быть записана в видеdy= Ay − λ By;x = x H : CH y = 0, x = x K : CK y = 0,(1)dxгде λ = p2 – квадрат собственной круговой частоты системы (собственноезначение); y – собственный вектор системы (вектор амплитуд обобщённыхперемещений и обобщённых внутренних сил в произвольном сечениисистемы); A, B – квадратные матрицы; CH , CK – прямоугольные числовыематрицы; x H , x K – начальное и конечное значения переменной x .Для тонкостенной оболочки x = s ( s – длина дуги меридиана, Рис.

2), асобственный вектор и вектор сопряжённого решения имеют вид{v = { −BTy=u v w ϑ1 BT1 BS1* BQ1* BM11},T−BS1* −BQ1* −BM1 u v w ϑ1},T(2)где u, v, w – амплитуды перемещений произвольной точки срединнойповерхности в направлениях её единичных векторов; ϑ1 – амплитуда углаповорота нормали к срединной поверхности в меридиональной плоскости;B – параметр Ламе срединной поверхности; T1, S1*, Q1* – амплитудыотнесённых к единице длины параллели обобщённых мембранной,6приведённых сдвигающей и поперечной сил в произвольной точке оболочки,соответственно; M1 – амплитуда отнесённого к единице длины параллелиобобщённого меридионального изгибающего момента в произвольной точкеоболочки.Собственное значение λ , собственный вектор y , вектор сопряжённогорешения v и матрицы A и B коэффициентов системы (1) представляются ввиде рядов по малому параметру ε :λ = λ0 + ελ1 + ε 2λ2 + …,y = y0 + ε y1 + ε 2y2 + …, v = v0 + ε v1 + ε 2v2 + …,(3)22A = A0 + ε A1 + ε A2 + …, B = B0 + ε B1 + ε B2 + ….Здесь индексом 0 отмечены соответствующие объекты для идеальнойсистемы, а индексами 1, 2, … – их возмущения.В дальнейших выкладках удерживаются только линейными по εслагаемыми.

С учётом этого получено выражение для линейной частивозмущения собственного значенияlΔλ =∫ v0T ⋅ ( ΔA − λ0ΔB) y0 ds0l,(4)∫ v0T ⋅ B0y0 ds0где ελ1 = Δλ , ε A1 = ΔA , ε B1 = ΔB .Возмущение Δp круговой частоты связано с Δλ соотношением:Δp = Δλ 2p0 ,где p0 – собственная круговая частота идеальной системы.(5)Для кратных λ0 выражение (4) будет давать ряд значений, лежащих внекотором интервале ⎡⎣ Δλmin , Δλmax ⎤⎦ .Величина расщепления круговой собственной частоты определяетсявыражениемψ = pmax − pmin = Δλmax − Δλmin 2p0 .(6)Для определения возмущений ΔA и ΔB матричных операторовсистемы уравнений движения неидеальной оболочки, входящих в выражение(4), используется подход, основанный на применении вариационногопринципа Гамильтона и состоящий в следующем.Записывается функционал действия по Гамильтону для возмущённойоболочкиΠ = T −U(7)где T, U – кинетическая энергия и потенциальная энергия деформацииоболочки, соответственно.Составляются уравнения Эйлера для функционала (7), представляющиесобой уравнения движения возмущённой оболочки()7dy= Ay − λ By .(8)dsОператоры A0 и B0 идеальной оболочки получаются из A и B принулевых значениях отклонений параметров оболочки от номинальных.Соответствующие возмущения ΔA и ΔB операторов A0 и B0 вычисляютсякак ΔA = A − A0, ΔB = B − B0.Так как координатные линии срединной поверхности неидеальнойоболочки, вообще говоря, не являются линиями кривизны, приформировании функционала (7) во избежание громоздких преобразованийвсе выкладки проводятся в прямой тензорной (инвариантной) форме.Выражения для кинетической энергии и потенциальной энергиидеформации возмущённой оболочки имеют вид:T =λ∫2s2π∫ ρhu2AB sin χ ds dϕ ,(9)0⎧⎪ Eh2⎛⎞∫ ∫ ⎨⎪2 1 − µ2 ⎝Sp ε − 2 1 − µ ε ⎠ +s 0 ⎩2+ D 2⋅ ⎛Sp æ − 2 1 − µ æ ⎞ AB sin χ ds dϕ,⎝⎠U =2π( )æ = Sym ⎡⎣∇ ( ϑ × n ) ⋅ a ⎤⎦ϑ = ( a + 1 2nn ) ⋅ ( ∇ × u )Здесьε = Sym ∇u ⋅ a(( )–)()()тензор–(тензор})деформацийприращений(10)(В.В.

Елисеев);кривизны;– вектор поворота элемента поверхности(В.В. Елисеев); ∇ – оператор-градиент на возмущённой поверхности;a = E − nn – единичный тензор возмущённой поверхности; E – единичныйтензор; n – единичный вектор нормали к возмущённой поверхности; Sym –оператор взятия симметричной части тензора; s, ϕ, A, B – гауссовыкоординаты и параметры Ламе возмущённой поверхности, соответственно;χ – угол между координатными линиями; u – вектор амплитуд перемещенийпроизвольной точки срединной поверхности; E, µ, ρ – модуль Юнга,коэффициент Пуассона и плотность материала оболочки, соответственно; h –толщина оболочки; D = Eh 3 12 1 − µ2 – цилиндрическая жёсткость.()Поскольку выражения (4) и (6) получены для обыкновенныхдифференциальных уравнений, необходимо осуществить переход кодномерной задаче.Так как колебания оболочки являются гармоническими, можноисключить время, записывая все соотношения для амплитудных значенийсоответствующих переменных.В силу замкнутости оболочки по параллели все искомые функции могутбыть представлены рядами Фурье по окружной координате ϕ .

При этом, в8отличие от оболочки вращения форма колебаний неидеальной оболочки вобщем случае содержит не одну, а бесконечное множество гармоник по ϕ .Вследствие этого разрешающая система уравнений (8) и собственныйвектор y (2) являются бесконечномерными{} {}y = ⎛ u, v, w, ϑ1 , BT1 , BS1* , BQ1* , BM1, u, v, …, BM1,…⎝(1)(0)(11)T⎞u, v, …, BM1,… ,(k ) ⎠где k – волновое число (номер гармоники ряда Фурье).Возмущения матриц системы (8) также будут бесконечномерными ираспадутся на блоки [8×8]: ⎡⎣ ΔA ⎤⎦ , ⎡⎣ ΔB ⎤⎦ , i, j = 0,1,2,...,k,... .{}(i,j )(i,j )В выражение (4) возмущения ΔA и ΔB входят только в видескалярных произведений v0T ⋅ ΔAy0 и v0T ⋅ ΔBy0 .

При этом векторы y0 и v0будут содержать лишь по одному ненулевому блоку({}({} {{} {T}y0 = 0,0,…,0 ,…, u, v, w,BM1, 0,0,…,0 ,…⎞ ;⎠(k )T (12)⎞v0 = 0,0,...,0 , ..., −BT1 , − BS1* , − BQ1* , − BM1 ,u,v,w,ϑ1, 0,0,...,0 ,... .⎠(k )Таким образом, при вычислении Δλ все блоки бесконечномерныхматриц ΔA и ΔB , за исключением блоков ⎡⎣ ΔA ⎤⎦, ⎡⎣ ΔB ⎤⎦, будутϑ1 , BT1 , BS1* ,BQ1* ,} {}(k,k )(k,k )умножаться на нулевые элементы.Следовательно, для нахождения первого приближения возмущениясобственного значения, соответствующего волновому числу k , достаточнознания двух блоков ⎡⎣ ΔA ⎤⎦, ⎡⎣ ΔB ⎤⎦бесконечномерных матричных(k,k )(k,k )операторов.В силу этого вектор перемещений u можно представить в виде()()()u = uk s coskϕ t1 + vk s sinkϕ t2 + wk s coskϕ n,(13)где t1, t2, n – орты возмущенной срединной поверхности.С использованием (13) показано, что расщепление частоты,соответствующей волновому числу k , в первом (линейном) приближенииможет быть вызвано лишь гармониками возмущения формы оболочки сномером 2k .Для вычисления функционала действия по Гамильтону определеныпараметры геометрии возмущённой срединной поверхности.Радиус-вектор точки срединной поверхности возмущённой оболочкизаписывается в видеr = r0 + ξ s, ϕ n0 ,(14)( )где r0 , n0 – радиус-вектор и вектор нормали срединной поверхности9( )идеальной оболочки вращения, соответственно; ξ s, ϕ – малое отклонениевозмущённой срединной поверхности от осесимметричной формы (Рис.