Автореферат (Разработка методов расчета безмоментных сетчатых оболочек вращения с несимметрично уложенными нитями), страница 2

В качестве примера был полностью выполнен расчет напряженно – деформированного состояния сетчатойоболочки с несимметрично уложенными нитями по геодезическим линиям дляследующих безразмерных параметров:  Л  0.3;  П  0.5;   0.5 .5Рис. 4. Синус угла Рис. 5.

Профиль равновеснойконфигурации оболочкиРис. 6. Мембранное усилие Т1Рис. 7. Мембранное усилие Т2Рис. 8. Натяжение нитейлевого семействаРис. 9. Натяжение нитейправого семействаВ третьей главе разработана методика расчета больших перемещений длябезмоментных СОВНРН произвольной формы меридиана. Геометрия такойоболочки задается тремя функциями: r0  r0 ( s0 ) ,  П 0   П 0 ( s0 ) ,  Л 0   Л 0 ( s0 ) , гдеиндексом «0» помечены величины, относящиеся к исходному недеформированному состоянию.При несимметричной укладке нитей вместо ромба рассматривался параллелограмм из нерастяжимых или малорастяжимых нитей. Угол между диагоналями параллелограмма, образованного нитями, меняется в процессе деформирования, что приводит к новому эффекту – оболочка закручивается. Этот эффект может оказаться полезным, например, для преобразования давления в уголзакручивания или в крутящий момент.6Рис.

10. Элемент оболочки(левый - до деформации; правый - после деформации)Рассмотрим бесконечно малый треугольный элемент оболочки, образованный нерастяжимыми нитями и дугой окружности поперечного сечения (Рис.10). С помощью тригонометрических преобразований находим, что углы наклона нитей при любых деформациях должны удовлетворять соотношениямcos  Пsin  П   ( s0 )sin  Л(10)  ( s0 ), 2  ( s0 ),cos  Лrгде параметры  ( s0 ) и  ( s0 ) находятся по формулам (11):sin   П 0 ( s0 )   Л 0 ( s0 ) cos  П 0 ( s0 )(11) ( s0 ) ,  ( s0 ) .cos  Л 0 ( s0 )2r0 ( s0 )cos  Л 0 (s0 )Для оболочки, собранной на цилиндрическом барабане, соотношения (10)упрощаются и  ( s0 ) и  ( s0 ) являются постоянными («шинная геометрия»)cos  Пsin  П   sin  Л(12)   const , 2   const.cos  ЛrУравнения равновесия безмоментной оболочки вращения, дополненныесоотношением (2) и геометрическими соотношениями (10), а также дифференциальными уравнениями для вычисления координат r и z образуют замкнутуюсистему уравнений.

Для перехода от исходной конфигурации к деформированной использовался параметр Ламе A – местный масштаб меридиональной координаты:ds cos  П cos  ЛA.ds0 cos  П 0 cos  Л 0Параметры  Л ,  П и А были явно выражены через r из (10). В результате былаполучена замкнутая система дифференциальных и алгебраических уравнений(13) пригодная для расчета всех величин, характеризующих напряженнодеформированное состояние сетчатой оболочки из нерастяжимых нитей.

Алгебраические уравнения в (13) фактически явно выражают вспомогательныепеременные через основные переменные.7d (T1r ) AT2 cos ,ds0d A sin   pT2  ,ds0 T1 rdr A cos ,ds0T2  S  tg  П  tg  Л   T1tg  П tg  Л ,M,2 r 2SAr0 4 2  1   2  4  2 r 2 r 4  1    4  r022222 2,(13) П  arccos  A cos  П 0  ,dz A sin  , Л  arccos  A cos  Л 0  ,ds0где T1 , T2 - мембранные силы в меридиональном и окружном направлениях(Рис. 2); r, z - радиальная и осевая координаты; θ - угол наклона нормали к оси.Из геометрических величин большой интерес представляет также  - угол закручивания поперечных сечений оболочки вокруг осисимметрии. На основании Рис. 11 было получено дифференциальное уравнение для угла :d tg tg  П tg  П 0 tg  Л 0 tg  Л, (14)dsrrAr0Ar0rгде  - угол сдвига.Рис.

11. Поворот сеченийДля учета растяжимости нитей в разрешающей системе уравнений (13)последние 3 уравнения заменялись уравнениями (15)A(1   П )(1   Л ) r0sin   П 0   Л 0  r1  12 4  2 r 2 4  22,(15) A A П  arccos cos  П 0  ,  П  arccoscos  Л 0  . (1   П ) (1   Л )При этом деформации нитей были связаны с натяжениями соотношениями:(16) П  N П / Eн F , Л  N Л / Eн F ,где EнF - жесткость сечения нити. Натяжения нитей находились из системыN П П cos  П  N Л Л cos  Л  2 rT1 ,(17)N П П sin  П  N Л Л sin  Л  2 rS .Ниже приводится пример расчета напряженно - деформированного состояния сетчатой оболочки шинной геометрии со следующими параметрами:радиус цилиндрического барабана r0  90мм ; исходная длина l=100мм; углыукладки нитей на барабане  П 0   / 6 ,  Л 0   / 3 ,   3 ,   1 / r0 , осевая силаP0  kp r02 , внутреннее давление p=0.2 МПа, нити нерастяжимы.8Рис.

12. Форма меридианадеформированной оболочкипри M= 0, P0  kp r02Рис. 13. Углы наклона нитейк меридианупри M= 0, P0  kp r02Рис. 14. Мембранные силы T1при M= 0, P0  kp r02Рис. 15. Мембранные силы T2при M= 0, P0  kp r02Рис. 16. Конфигурация оболочкииз нерастяжимых нитейпри M=0, P0  kp r02 , k = -1.1972Рис. 17. Угол закручиванияпоперечного сеченияпри M=0, P0  kp r02 , k = -1.1972В четвертой главе рассмотрены задачи расчета больших перемещениисетчатых оболочек произвольной формы с произвольным законом укладки нитей на основе прямой минимизации функционала.Полная потенциальная энергия резинокордной оболочки имеет вид (18)(18)  U н  U с  W  19Функционал состоит из нескольких частей: U н - энергия деформаций нитей; U с - энергия деформаций связующего; W - потенциал внутреннего давления, приложенного к оболочке; 1 - потенциал сил давления и других нагрузок,приложенных к подвижному днищу:ПП2ЛЛ2 Uн   Eн FEн Fds0d,2cos22cos2П0Л0s0  Ehпр1  2  222 12 ds0r0d,11222221s0  Uс   1 r r W   p   r  ds0d.3s 0s0  где r - радиус - вектор деформированной поверхности оболочки;  П ,  Л - деформации нитей; 1 ,  2 ,  12 – меридиональная, окружная и угРис.

18. Исходная и дефор- ловая деформации; E F - жесткость нитей; E нмированная оболочкимодуль упругости резины; hпр – приведеннаятолщина по В.Л. Бидерману;  - коэффициент Пуассона резины ( = 0.5).Рассмотрим расчет равновесной конфигурации сетчатой оболочки произвольной формы с произвольным законом укладки нитей (Рис. 19). Механическая система включает упругие нити корда, жесткие торцы оболочки и внутреннее давление в оболочке. Оболочка (сетка) разбивалась на отдельные прямолинейные упругие элементы – стерженьки, упругие свойства которых объединяют сразу несколько нитей одноименного направления.

Жесткость сечениятаких стерженьков K вычисляется сложением жесткостей, заменяемых ими нитей: K  nEн F , где n – количество нитей, приходящихся на один, заменяющий ихстержневой элемент.Энергия деформаций стержневого элементас номерами узлов i и j равна2l  l0 K l 2,(19)U ij K2l02l0где l0 ,l - длины нитей (стержневых элементов) в исходном и деформированном состояниях, вычисляемые через координатыузлов элемента (Рис. 19)l0 Рис. 19.

Дискретизация оболочкиlxx22j22j 0  xi 0    y j 0  yi 0    z j 0  zi 0  ,22 xi    y j  yi    z j  zi  ,где x,y,z – декартовы координаты; i,j – номера узлов стержневого элемента;индексом «0» помечено исходное состояние.10(20)Потенциал сил давления равен произведению давления на объем внутренней полости оболочки взятый с обратным знаком:(21)W   pV .Для вычисления объема поверхность оболочки разбивалась на группы из4-х треугольников (Рис. 19). Объем тетраэдра с вершиной в начале координатнаходился через определитель по формуле (22), а объем конуса с вершиной вначале координат, опирающегося на верхнее днище рассчитан по формуле (23)xi yi zi11Vijk  x j y j z j ,(22)(23)Vcone   R 2  e  rC  ,63xk yk zkгде R – радиус верхнего днища; е – нормаль к плоскости днища; rC – радиусвектор центра днища.Полная потенциальная энергия системы складывается из упругой энергиивсех нитей и потенциала сил давления:  U ij  p  Vcone  Vijk  .i, ji , j ,k(24)Граничными условиями являются условия жесткого закрепления нитей книжнему неподвижному днищу и верхнему подвижному днищу.

Координатыузлов на нижнем днище определяются исходной конфигурацией сетки и исключаются из списка неизвестных. Радиусы - векторы ri узлов на верхнем днище выражаются через радиус - вектор rC центра тяжести и тензор поворотаri  rC  L     ri 0  rC 0  ,(25)где L() - тензор поворота;  - вектор поворота (Эйлера) верхнего днища.Координаты всех узлов верхнего днища выражаются через 6 переменныхxC , yC , zC , x , y ,z - трех координат центра верхнего днища и трех проекцийвектора поворота. Таким образом, полная потенциальная энергия механическойсистемы была представлена как функция координат свободных узлов и 6-тистепеней свободы верхнего днища:    x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 ,..., xN , y N , z N , xC , yC , zC , x , y ,z  .Положение равновесия сетчатой оболочки определялось прямой минимизацией функционала   min . Минимизация выполнялась встроенной процедурой FindMinimum пакета Mathematica.Рис. 20.

Захват робота и углы укладки нитей11В данной диссертации предлагается новый вид приводов управляемойупругой деформации и новый вид захватов роботов на основе сетчатых оболочек с неравновесной исходной конфигурацией.Приведен пример расчета захвата робота,состоящего из сетчатых оболочек (Рис. 20, 21).Исходная конфигурация оболочки – цилиндррадиуса 5мм и длины 50мм. Для создания неравновесной укладки нитей была взята равновесная укладка с углом наклона нити к меридиану   arctg 2  54.7 и модифицирована Рис. 21. Конфигурация сетча-таким образом, что углы наклона нитей с однойстороны оболочки увеличились, а с другойуменьшились (Рис. 20).При подаче внутреннего давления сетчатая оболочка перескакивает из цилиндрического в торообразное состояние. Верхнее жесткоеднище при этом поворачивается на 42.4 вокругоси y (Рис.

21).той оболочки до и после поЗадача расчета пневмобаллонной муфтыотличается от рассмотренной выше задачирасчета элемента захвата робота только записью граничных условий. Вектор поворота  ирадиус-вектор центра тяжести подвижногоднища rC , через которые и записываются граничные условия (26), определяются черезединственный неизвестный параметр–угол поворота подвижного днища : =(0, - , 0)T , rC = (1-cos , 0, sin )T . (26)Рис.