07-12-2020-Лекции_8_9__моделирование_при_проектировании_ (Лекция Иванов В.А.)

Лекции 8-9 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИСТАНКОВ И КОМПЛЕКСОВВВЕДЕНИЕПроцесспроектированиястанкаоснованнапроцедурахмоделирования различных физических процессов в его механическойсистеме. Изучаемые процессы и явления, как правило, весьмасложные и взаимосвязанные, и их практически не удаетсяпроанализировать в полном объеме.

Поэтому построение матмоделивсегда предполагает наличие ряда допущений и упрощений, которыеопределяют различия между реальными условиями и моделью.Математическое моделирование проектируемого оборудованияпозволяет заменить дорогостоящее и длительное физическоемоделирование при проведении инженерного анализа конструкций ипредставляет собой основу для построения автоматизированныхсистем проектирования.1Математическая модель - это совокупность математическихвыражений, адекватно описывающих исследуемые свойства объектапроектирования.В матмодели выделяют следующие составляющие:• уравнение (систему уравнений), описывающих процессфункционирования объекта проектирования;• ограничения;• функцию (критерий) качества;• варьируемые проектные параметры и метод их варьирования.Уравнения функционирования проектируемого станка можнопредставить в общем виде:Ф = Ф(F, x, ),(1)где Ф = (Ф1, Ф2, ...

, Фn) - вектор выходных параметров станка(показатели качества);x = (х1, х2, ..., xm) - вектор варьируеиых проектных параметров;F = (f1, f2, ..., fk) - вектор внешних и внутренних воздействий; - аргумент.2Ограничения, накладываемые на конструкционные параметры,могут иметь вид уравнений и неравенств:g(x, F, Ф, )  0где g - обобщенная функция ограничений.Функция качества - это целевая векторная функция показателейкачества:Ф = Ф(х) = [Ф1(х), Ф2(х), ..., Ф(х)]В качестве отношений между составляющими матмодели берут ихвзаимодействие в процессе получения требуемых значенийпроектных параметров x, которое можно представить в видеструктурной схемы системы с отрицательной обратной связью(рис.

1).3Рис.1 Структурная схема матмодели проектируемого станкаНа вход модели поступает заданный уровень функциикачества Ф0. В результате сравнения Ф0 с текущим значениемфункции качества Ф получают рассогласование Ф, котороеиспользуют в методе варьирования проектных параметров длявычисления новых значений ( x1' , x2' ,..., xm' )Далее значения корректируют в соответствии с ограничениями, врезультате чего находят вектор “текущих” параметров конструкцииx = (х1, х2, ... , xm).4В матмодели при полученных “текущих” значениях составляющихвектора х решают уравнения процесса функционирования объектапроектирования и вычисляют новое “текущее” значение Ф.В качестве примера рассмотрим модель параметрическогосинтеза ШУ токарного станка по критерию жесткости (рис.

2).Рис. 2 Расчетная схема шпиндельного узла по критерию жесткости5Расчетная схема ШУ принята в виде упругой балки на упругихопорах. Балку нагружают силой резания Р2 и силой Р1,возникающей от привода. Варьируемый параметр - межопорноерасстояние а, функция качества - прогиб у1 переднего концашпинделя. На межопорное расстояние накладывают ограничения,связанные с минимально и максимально возможной длинойшпинделя:l = с + а + b;аmin < а < аmax·Уравнение, описывающее упругую линию балки, при малыхпрогибах имеет вид:у"(х) = M(x)/(EJ),где М(х) - изгибающий момент; Е - модуль упругости первого рода;J - момент инерции поперечного сечения.Для заданной схемы нагружения из этого выраженияинтегрированием можно найти уравнение у(х) упругой линиибалки.6Общий вид структурной схемы математической модели приведенна рис.

3. Поскольку эта модель решает задачу параметрическогосинтеза, то ее структура характерна для автоматизированногооптимального проектирования.Рис. 3 Структурная схема матмодели параметрического синтеза ШУ7Процессы, анализируемые в ходе проектирования станков,определяются с помощью следующих видов математических моделей.Виды математических моделей:• Статические моделинеучитывают факторвремени.Применяются для описания стационарных процессов в станках,то есть процессов, которые не обнаруживают изменений с течениемвремени.• Динамические модели учитывают фактор времени и применяютсядля описания нестационарных процессов в станках, то естьпроцессов, которые изменяются с течением времени.• Детерминированные модели – это модели, в которых параметрысистемы являются определенными величинами.• Стохастические модели – это модели, в которых параметрысистемы являются случайными величинами.

Применяют дляописания случайных процессов, параметры которых - случайныефункции.• Дискретные модели служат для описания дискретных процессов.• Непрерывные модели описывают непрерывные процессы.8По виду и числу варьируемых параметров математические моделибываютструктурныеипараметрические,одноимногопараметрические, а по наличию или отсутствию ограничений- условные и безусловные.Метод варьирования параметров выделяет оптимизационные ипоисковые математические модели.Вид математических моделей в значительной степени зависит отобъекта проектирования и вида проектных работ, т. е. от уровняавтоматизации проектирования.

Можно построить иерархиюматематических моделей по иерархии объекта проектирования ипо иерархии автоматизированных проектных работ. Так, дляразличных уровней иерархии объекта проектирования структурнаямодель может иметь вид формы, схемы, компоновки и структуры.Параметрические модели на разных уровнях иерархии объектапроектированиямогутбытьсраспределеннымииссосредоточенными параметрами.9Матмодели должны удовлетворять следующим требованиям:1. Адекватность и точность.

Наиболее существенныесвойства модели и объекта должны быть тождественны (совпадать).Точность оценивается степенью совпадения значений выходныхпараметров реального объекта и значений тех же параметров,рассчитанных с помощью модели. В машиностроении общепринятаяпогрешность расчетов по модели не должна превышать 20%.2. Полнота и универсальность. Модель должна содержать всеисходные и все выходные параметры объекта, необходимые идостаточные для моделирования. Универсальность предполагаетвозможность многократного использования модели для анализа илисинтеза некоторой группы объектов проектирования.3. Эффективность требует выбора таких составляющихматмодели, которые позволяют получить проектное решение при ееминимальной сложности.4. Наглядность.

Удобное визуальное восприятие модели ирезультатов моделирования.10Требования адекватности, универсальности и эффективностиявляются противоречивыми. Чем точнее и универсальнее модель,тем она сложнее.Предпочтительностьтехилииныхтребований,поисккомпромиссныхрешенийвосновномопределяютсяособенностями конкретной проектной задачи и наличием средствдля ее выполнения.11Системный подход при разработке матмоделейДля упрощения изучения сложных систем (объектов) удобно разбитьих на части (подсистемы), и изучать каждую из частей отдельно.

Приэтом, части находятся во взаимодействии и зависимы друг от друга.Для описания поведения взаимодействующих объектов используетсясистемный подход, заключающийся в представлении сложногообъекта в виде системы более простых взаимодействующихэлементов.Системный подход к исследованию и описанию сложных системоснован на декомпозиции сложной системы на более простыеподсистемы, взаимодействующие между собой, раздельном изученииих структуры и функций с последующим синтезом полученныхрезультатов (композиции).Декомпозиция основана на использовании структуры системы ипозволяет заменить решение одной большой задачи решениемнескольких более простых задач.Композицией называется моделирование связей подсистем иэлементов между собой и с внешней средой.Связь между элементами осуществляется через множествопараметров, которые для одних элементов являются входными,12а для других – выходными.Этапы моделирования станочных (технических) системПроцесс моделирования включает следующие этапы (рис.

4):1. определение воздействия x(t) на систему;2. разработка математической модели, описывающей поведениесистемы. Математическая модель часто представляется в видеуравнения (системы уравнений);3. выбор метода решения и решение уравнения (системыуравнений) с учетом ограничений, начальных и граничных условий,и определение реакции системы y(t);4. идентификация (корректировка, доводка) параметров модели наоснове натурного эксперимента.Рис. 4. Общая схема моделирования13Введение в метод конечных элементов (МКЭ)Основная идея МКЭОсновная идея МКЭ состоит в том, что любую непрерывную функцию(перемещение,температура,давление)можнопредставить(аппроксимировать) дискретной моделью, которая строится намножестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечномчисле подобластей (элементов).Этапы построения дискретной модели непрерывной функции:1).

В рассматриваемой области фиксируется конечное число узловыхточек (узлов).2). Значение непрерывной функции в каждой узловой точке считаетсянеизвестной переменной, которая должна быть определена.3). Область определения непрерывной функции разбивается наконечное число подобластей (элементов), которые имеют общиеузловые точки и в совокупности аппроксимируют геометрическуюформу области.144). Непрерывная функция аппроксимируется на каждом элементеполиномом (функция формы элемента), который определяется спомощьюузловыхзначенийэтойфункции.Полиномыподбираются таким образом, чтобы сохранялась непрерывностьвеличины функции вдоль границ элемента.Например, аппроксимация функции T(x) состоит из 4-х кусочнолинейных функций формы, каждая из которых определена наотдельном элементе (рис.