opbvshmt (Условия контрольного ДЗ)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТАФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ» (МГТУ ГА)Кафедра высшей математикиА. С. Гордиенко, Ю. И. ДементьевВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА:АЛГЕБРА, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ИДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКАУчебно-методическое пособиепо выполнению практических заданийдля студентов I курсанаправления 23.03.01очной формы обученияМоскваИД Академии Жуковского2022УДК 656ББК 517.8Д30РецензентПлатонова И. В. — канд. экон.

наук, доцентА. С. ГордиенкоД30Высшая математика: алгебра, математическая логика и дискретнаяматематика [Текст]: учебно-методическое пособие по выполнению практических заданий / А. С. Гордиенко, Ю. И. Дементьев. — М.: ИД АкадемииЖуковского, 2022. — 48 с.Данное учебно-методическое пособие издаётся в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины «Высшая математика» по учебномуплану для студентов I курса направления 23.03.01 очной формы обучения.Учебное пособие охватывает разделы математики, изучаемые студентами направления подготовки 23.03.01 по дисциплине «Прикладная математика» на I курсе: алгебра, аналитическая геометрия, математическаялогика, дискретная математика, математический анализ, дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая статистика.В пособии содержатся теоретический материал по дисциплине, варианты контрольных домашних заданий, образцы их решения и методическиеуказания по их выполнению.Рассмотрено и одобрено на заседаниях кафедры 16.03.2021 г.

и методического совета . .2021 г.УДК 656ББК 517.8В авторской редакцииПодписано в печать 02.02.2022 г.Формат 60x84/16 Печ.л. 3 Усл. печ. л. 2,79Заказ №620/0413-УМП25 Тираж 40 экз.Московский государственный технический университет ГА125993, Москва, Кронштадский бульвар, д. 20Издательский дом Академии имени Н. Е. Жуковского125167, Москва, 8-го Марта 4-я ул., д. 6АТел.: (495) 973-45-68E-mail: zakaz@itsbook.ruc Московский государственный технический○университет гражданской авиации, 2022.Контрольное домашнее задание №1.

АлгебраЗадание 1. Вычислить:⎛⎞)︃2)︃(︃(︃0 1201 2 −1 ⎜⎟1.1.⎝ −2 −1 ⎠ +3 11 0 201⎛⎞)︃2)︃ 2 −2(︃(︃−1 1−1 2 0 ⎜⎟1.2.2 ⎠+⎝01 −11 0 21−1⎛⎞)︃2)︃ −2(︃(︃10 31 −1 1 ⎜⎟1.3.⎝ 2 −1 ⎠ +−1 22 0 1−11⎛⎞)︃2)︃ 1 −1(︃(︃23−2 −1 0 ⎜⎟1.4.1 ⎠+⎝2−1 01 2 −10−1⎞⎛(︃)︃2(︃)︃ −1 1−3 11 −2 4 ⎜⎟1.5.⎝ 3 0 ⎠+1 2−2 3 1−12⎞⎛(︃)︃2(︃)︃ 320 13 1 −1 ⎜⎟1.6.⎝ 1 −1 ⎠ +−1 20 2 102⎞⎛(︃)︃2(︃)︃3 201−2 1 0 ⎜⎟1.7.⎝ −2 1 ⎠ +3 10 2 101⎞⎛(︃)︃(︃)︃23 0−1 21 1 1 ⎜⎟1.8.⎝ 1 2 ⎠+0 −2 11 0−10⎛⎞(︃)︃2(︃)︃ −111 −3−1 2 1 ⎜⎟1.9.⎝ 2 −1 ⎠ +2 −10 1 −102⎛⎞(︃)︃ 3(︃)︃21−2 0 −1 ⎜10⎟1.10.⎝ 2 −1 ⎠ +0 1 30 11 03Задание 2. Вычислить:⃒⃒⃒ 2 2 −1 ⃒⃒⃒⃒⃒2.1.0 ⃒ 2.2.⃒3 1⃒⃒⃒1 21⃒2.4.2.7.⃒⃒ −11 0⃒⃒⃒ 3 −1 2⃒⃒ 1 −2 1⃒⃒⃒⃒⃒ 2.3.⃒⃒⃒⃒⃒ 0 3 1⃒⃒⃒⃒⃒⃒ −1 2 1 ⃒⃒⃒⃒ 3 1 1⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 2⃒⃒⃒⃒⃒3 1⃒1⃒⃒⃒ −3 1⃒ 0 1 −2 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒1 3 ⃒ 2.5.

⃒ 1 2 −1 ⃒ 2.6. ⃒ −1 2 1 ⃒⃒ −1⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 0 −1 1 ⃒⃒ 2 0⃒ 2 1 −1 ⃒1⃒⃒⃒2 11⃒⃒1⃒3 1⃒⃒ 0 2 −1⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ −1 2⃒1⃒⃒⃒⃒2.8. ⃒ 1 0 −1 ⃒ 2.9.⃒⃒⃒ 1 21⃒⃒⃒ 1 −3 2⃒⃒⃒ 2 −1 1⃒⃒10 1⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1 0 −3 ⃒⃒⃒⃒⃒2.10. ⃒ 1 11⃒⃒⃒⃒ −2 13⃒Задание 3. Вычислить:⃒⃒⃒11 2 3 ⃒⃒⃒⃒ 3 −1 −1 −2 ⃒⃒⃒3.1.⃒⃒⃒23 −1 −1 ⃒⃒⃒⃒12 3 −1 ⃒3.4.⃒⃒ 12 −1 2⃒⃒ 3 −12 4⃒⃒⃒ 24 2 4⃒⃒ −35 −2 −43.7.⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒1 −2 3 −1 ⃒⃒2 3 −4 4 ⃒⃒⃒3 1 2 −2 ⃒⃒1 −3 7 6 ⃒3.10.⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒1 1 −1 −2 ⃒⃒3 −1 −1 −1 ⃒⃒⃒2 3 1 2⃒⃒3 2 3 1⃒⃒⃒⃒⃒⃒3.2. ⃒⃒⃒⃒1 2 3 −22 −1 −2 13 2 −1 22 −1 2 1⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 3.3.⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒1134212332124321⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒3⃒⃒2⃒83−11−51⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒2⃒⃒3 4 1⃒0 −6 ⃒⃒⃒⃒⃒ 1 −3⃒ 3.5.

⃒⃒ 3.6. ⃒⃒⃒⃒ 1 −1 −2 −2 ⃒⃒02 −1 2 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 5 −3⃒14 2⃒4 −7 6 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒3.8.424832353−1−1−3−21242⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒3.9. ⃒⃒⃒⃒2711⃒−1 −6 1 ⃒⃒−4 2 −1 ⃒⃒⃒−2 −4 2 ⃒⃒−1 2 1 ⃒Задание 4. Найтиумножением:⎛1 1 −1⎜4.1. ⎝ 4 −312 1 −1матрицу, обратную к данной,⎞⎛⎞1 1 2⎟⎜⎟⎠ 4.2. ⎝ 2 −1 2 ⎠ 4.3.4 1 4выполнив проверку⎛⎞1 1 −1⎜⎟⎝ 8 3 −6 ⎠4 1 −3⎛4.4.⎞⎛⎞⎛⎞1 2 31 2 31 1 −1⎜⎟⎜⎟⎜⎟2 ⎠ 4.5. ⎝ 2 −1 −1 ⎠ 4.6. ⎝ 3 2 1 ⎠⎝ 2 −35 8 −11 3 44 −1 5⎛4.7.⎞1 2 3⎜⎟⎝ 5 −1 −1 ⎠ 4.8.4 3 2⎛⎛⎞2 1 3⎜⎟⎝3 2 1⎠1 1 1⎛⎞2 −1 −1⎜⎟4.9.

⎝ 32 2⎠1 1 −2⎞1 2 −1⎜⎟4.10. ⎝ 2 −32⎠3 1 1Задание 5. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:⎧⎧⎪⎪+−=−223⎨ 1⎨ 1 + 2 + 23 = 25.1.5.2.41 − 32 + 3 = 1121 − 2 + 23 = −3⎪⎪⎩ 2 + − = −1⎩ 4 + + 4 = 31231235.3.⎧⎪⎨ 1 + 2 − 3 = 181 + 32 − 63 = 1⎪⎩ 4 + − 3 = 01235.5.⎧⎪⎨ 1 + 22 + 33 = 321 − 2 − 3 = 2⎪⎩ + 3 + 4 = 3123⎧⎪⎨ 1 + 22 + 33 = −25.7.51 − 2 − 3 = 7⎪⎩ 4 + 3 + 2 = −31235.9.⎧⎪⎨ 21 + 2 − 3 = −331 + 22 + 23 = 1⎪⎩ + − 2 = −61235.4.⎧⎪⎨ 1 + 2 = 61 − 2 + 23 = −8⎪⎩ + =1235.6.⎧⎪⎨ 1 + 2 − 3 = 331 + 22 + 3 = 3⎪⎩ 4 − + 5 = 41235.8.⎧⎪⎨ 21 + 2 + 33 = 431 + 22 + 3 = −5⎪⎩ + + =01235.10.⎧⎪⎨ 1 + 2 − 3 = −141 − 32 + 3 = 9⎪⎩ 2 + − = 11235Задание 6.

Решить систему линейных уравнений, указать частное решение и фундаментальную систему решений соответствующей однороднойсистемы:⎧⎪⎨ 61 + 32 − 3 + 114 − 5 = 96.1.31 + 32 − 23 + 74 − 85 = 6⎪⎩ 6 + 4 − 2 + 12 − 6 = 10123456.2.⎧⎪⎨ 41 + 102 + 43 + 24 + 25 = 1621 + 72 + 33 + 25 = 13⎪⎩ 4 + 8 + 3 + 3 + = 11123456.3.⎧⎪⎨ 41 + 172 − 3 + 74 + 35 = 1−21 − 132 + 23 − 24 − 35 = 6⎪⎩ −4 − 20 + 2 − 6 − 4 = 3123456.4.⎧⎪⎨ 41 + 42 − 23 + 104 + 25 = 1821 + 42 − 33 + 74 − 35 = 17⎪⎩ −2 − 7 + 6 − 10 + 9 = −29123456.5.⎧⎪⎨ −81 + 2 + 23 − 174 − 65 = −971 − 22 − 3 + 84 + 55 = 9⎪⎩ −6 + + − 10 − 4 = −7123456.6.⎧⎪⎨ 121 − 52 − 3 + 24 + 35 = −7151 − 72 − 23 − 24 + 35 = −5⎪⎩ −12 + 6 + 2 + 4 − 2 = 2123456.7.⎧⎪⎨ 31 + 22 − 3 + 4 + 5 = 1−21 + 2 + 23 + 4 − 5 = 2⎪⎩ 6 + 4 − 2 + 2 + 2 = 3123456.8.⎧⎪⎨ 61 + 2 + 43 + 94 − 5 = 1641 + 2 + 33 + 74 + 5 = 13⎪⎩ 2 + 2 + 3 + 8 + 8 = 17123456.9.⎧⎪⎨ 41 − 62 − 3 + 74 + 35 = 11−21 + 92 + 23 − 54 − 35 = −7⎪⎩ 2 − 17 − 4 + 7 + 5 = 91234566.10.⎧⎪⎨ −21 + 32 − 3 + 94 − 5 = −531 − 22 + 3 − 44 + 5 = 6⎪⎩ 6 − + + 5 + 2 = 912345Задание 7.

Найти характеристический многочлен матрицы:⎛7.1.⎞1 −2 3⎜⎟4 2 ⎠ 7.2.⎝ −13 1 5⎛7.4.⎞1 −2 2⎜⎟2 4⎠⎝32 3 17.7.3 3 1⎟⎜⎝3 1 4⎠1 4 4⎜⎝⎞2 1 3⎟5 3 2⎠−4 2 3⎛7.3.⎞4 −1 3⎜⎟7.5. ⎝ −23 1 ⎠ 7.6.−1 2 3⎞⎛7.8.1 2 3⎟⎜⎝2 3 1⎠3 1 2⎞−3 1 2⎜⎟⎝ −1 2 1 ⎠3 1 4⎛⎞⎛⎛⎛⎞2 2 1⎜⎟⎝3 1 3⎠1 4 4⎛⎜7.9. ⎝⎞−1 4 2⎟3 −2 1 ⎠2 1 4⎞3 5 −2⎟⎜⎝ 2 1 −4 ⎠1 3 1⎛7.10.Задание 8. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей, приведённой ниже,и указать матрицу данного оператора в базисе из собственных векторов:(︃)︃(︃)︃(︃)︃(︃)︃−1 22 30 31 18.1.8.2.8.3.8.4.−6 63 21 2−3 5(︃8.5.(︃8.9.12 ,2 −6−2 1)︃9 −103 −2)︃(︃8.6.(︃8.10.11 3−2 4)︃−1 1−6 4)︃(︃8.7.8 −318 −7)︃(︃8.8.7 −96 −8)︃Задание 9.

а) Заданы комплексные числа 1 и 2 . Вычислить 1 ±2 , 1 2 ,¯1 , ¯2 и указать расположение чисел 1 и 2 на комплексной плоскости.б) Решить уравнение 2 + + = 0 в комплексных числах и представить7ответ в тригонометрической и показательнойформах.√9.1. 1 = 4 + , 2 = 2 − , = 3 3,√ = 9;9.2. 1 = −1 + , 2 = −2 − 3, =√ 3, = 1;9.3. 1 = −1 − , 2 = 2 − 3, = √2, = 1;9.4. 1 = 1 − , 2 = 2 + 3, = − 3, = 1;9.5. 1 = 2 + , 2 = 3 + , = 1, √ = 1;9.6.

1 = −3 + , 2 = 2 − , = 2, = 2;9.7. 1 = −3 − , 2 = 2 − , =√−1, = 1;, = 4;9.8. 1 = 3 − , 2 = 2 + , = 2 3√9.9. 1 = 3 + 2, 2 = 1 + 3, = − 2√, = 2;9.10. 1 = 3 − 2, 2 = 1 − 3, = −2 3, = 4.Образец выполнения контрольного домашнего задания№1Задание 1. Вычислить⎛⎞(︃)︃2(︃)︃ 1 22 03 0 1 ⎜⎟.⎝−1 1⎠ +3 10 1 11 0Решение.

Введём обозначения(︃=3 0 10 1 1)︃⎞⎛(︃)︃1 22 0⎟⎜., = ⎝ −1 1 ⎠ , =3 11 0Тогда — матрица размера 2×3, — матрица размера 3×2. Следовательно,произведение = определено и имеет размер 2 × 2. Введём обозначения(︃)︃11 12.=21 22Умножая матрицы по правилу «строчку на столбец», получаем, что11122122====3·13·20·10·2+ 0 · (−1)+ 0·1+ 1 · (−1)+ 1·1++++Таким образом,(︃)︃4 6=.0 181·11·01·11·0====4,6,0,1.Аналогично, — матрица размера 2 × 2. Следовательно, произведение = 2 = определено и имеет размер 2 × 2. Введём обозначения(︃)︃ (︃)︃ (︃)︃2 02 0 == 11 12 .3 121 223 1Тогда11122122====2·22·03·23·0++++0·30·11·31·1====4,0,9,1.Таким образом,)︃(︃4 0, =9 1)︃(︃86.

+ 2 = + =9 2Задание 2. Вычислить:⃒⃒ −1 21⃒⃒3⃒ 2 1⃒⃒ 1 1 −2⃒⃒⃒⃒⃒.⃒⃒Решение. Воспользуемся методом «молний». Запишем данный определитель дважды, указав в первом случае элементы, произведения которыхберутся с положительным знаком, а во втором случае — с отрицательнымзнаком:(−1)2121311(−2)=(−1)2121311(−2)== (−1) · 1 · (−2) + 1 · 2 · 3 + 1 · 2 · 1 − 1 · 1 · 1 − 2 · 2 · (−2) − (−1) · 1 · 3 == 20.9Задание 3. Вычислить:⃒⃒⃒ 2 −5⃒12⃒⃒⃒ −37 −1 4 ⃒⃒⃒⃒⃒.⃒ 5 −92 7⃒⃒⃒⃒ 4 −61 2⃒Решение.

Упростим определитель при помощи элементарных преобразований над строками. Будем вычитать первую строчку из остальных соответствующими коэффициентами так, чтобы на месте третьего столбца появился столбец единичной матрицы:2 −5 1 22 −5−3 7 −1 4 II + I−1 2=Δ=5 −9 2 7 III − 2I1 14 −6 1 2 IV − I2 −110002630Раскладываем по третьему столбцу. Благодаря тому, что почти все элементы этого столбца нулевые, у нас оказывается только одно ненулевое слагаемое:2 −5 1 2−1 2 6−1 2 0 6= (−1)1+3 · 1 · 1 1 3 + 0 + 0 + 0 =Δ=1 1 0 32 −1 02 −1 0 0−1 2 63 2 6=1 1 3 = 3 1 32 −1 00 −1 0I + 2IIРаскладываем по последней строке:Δ=3 2 63 1 30 −1 0= 0 + (−1)3+2 · (−1) ·3 6+0=3 3=3 63 3Выносим множитель 3 из одной строчки и множитель 3 из другой строчки:Δ=3 61 2=9= 9(1 · 1 − 1 · 2) = −9.3 31 110Задание 4. Найти матрицу, обратную к матрице⎛⎞2 0 0⎜⎟ = ⎝ 3 1 1 ⎠.0 0 2Выполнить проверку умножением.Решение.

Вычисляем миноры:⃒⃒⃒⃒⃒1 1⃒⃒3 1⃒⃒⃒⃒⃒11 = ⃒12 = ⃒⃒ = 1 · 2 − 0 · 1 = 2,⃒ = 3 · 2 − 0 · 1 = 6,⃒0 2⃒⃒0 2⃒⃒⃒⃒⃒⃒3 1⃒⃒0 0⃒⃒⃒⃒⃒13 = ⃒21 = ⃒⃒ = 3 · 0 − 0 · 1 = 0,⃒ = 0 · 2 − 0 · 0 = 0,⃒0 0⃒⃒0 2⃒⃒⃒⃒⃒⃒2 0⃒⃒2 0⃒⃒⃒⃒⃒22 = ⃒23 = ⃒⃒ = 2 · 2 − 0 · 0 = 4,⃒ = 2 · 0 − 0 · 0 = 0,⃒0 2⃒⃒0 0⃒⃒⃒⃒⃒⃒0 0⃒⃒2 0⃒⃒⃒⃒⃒31 = ⃒32 = ⃒⃒ = 0 · 1 − 1 · 0 = 0,⃒ = 2 · 1 − 3 · 0 = 2,⃒1 1⃒⃒3 1⃒⃒⃒⃒2 0⃒⃒⃒33 = ⃒⃒ = 2 · 1 − 3 · 0 = 2.⃒3 1⃒Сразу же можем вычислить определитель матрицы , например, разложив по последней строке:det = 0 + 0 + (−1)3+3 233 = 4.Матрица, составленная из элементов имеет вид⎛⎞2 6 0⎜⎟⎝ 0 4 0 ⎠.0 2 2Тогда матрица, составленная из элементов , получается транспонированием:⎛⎞2 0 0⎜⎟⎝ 6 4 2 ⎠.0 0 2Матрица, составленная из элементов (−1)+ ⎛⎞ ⎛2 −0 02⎜⎟⎜^ = ⎝ −6 4 −2 ⎠ = ⎝ −60 −0 2011имеет вид⎞0 0⎟4 −2 ⎠ .0 2Отсюда⎛−112⎜^⎜== ⎜ − 32det ⎝0001− 12012⎞⎟⎟⎟.⎠Проверка:⎛⎞⎛1202 0 0 ⎜⎜⎟⎜⎝ 3 1 1 ⎠ ⎜ −3⎝ 20 0 20⎛2· 12 +0·(− 32 )+0·0 2·0+0·1+0·0= ⎝ 3· 12 +1·(− 32 )+1·00· 12 +0·(− 32 )+2·03·0+1·1+1·00·0+0·1+2·00⎞⎟⎟=1 − 12 ⎟⎠102⎞12·0+0·(− 2 )+0· 213·0+1·(− 12 )+1· 21 ⎠ =0·0+0·(− 12 )+2· 21⎛⎞1 0 0⎜⎟= ⎝ 0 1 0 ⎠.0 0 1В другом порядке:⎛12⎜⎜ 3⎜−⎝ 2012 ·2+0·3+0·0(︃=12 ·0+0·1+0·000⎞⎛⎞200⎟⎟⎜⎟1 ⎟⎝ 3 1 1 ⎠ =1 −2 ⎠0 0 2102)︃12 ·0+0·1+0·2( )·2+1·3+( )·0 ( )·0+1·1+( )·0 ( )·0+1·1+(− 12 )·2− 32− 120·2+0·3+ 12 ·0− 32− 210·0+0·1+ 12 ·0− 23=0·0+0·1+ 12 ·2⎛⎞1 0 0⎜⎟= ⎝ 0 1 0 ⎠.0 0 1Задание 5.