opbvshmt (862065)
Текст из файла
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТАФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ» (МГТУ ГА)Кафедра высшей математикиА. С. Гордиенко, Ю. И. ДементьевВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА:АЛГЕБРА, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ИДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКАУчебно-методическое пособиепо выполнению практических заданийдля студентов I курсанаправления 23.03.01очной формы обученияМоскваИД Академии Жуковского2022УДК 656ББК 517.8Д30РецензентПлатонова И. В. — канд. экон.
наук, доцентА. С. ГордиенкоД30Высшая математика: алгебра, математическая логика и дискретнаяматематика [Текст]: учебно-методическое пособие по выполнению практических заданий / А. С. Гордиенко, Ю. И. Дементьев. — М.: ИД АкадемииЖуковского, 2022. — 48 с.Данное учебно-методическое пособие издаётся в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины «Высшая математика» по учебномуплану для студентов I курса направления 23.03.01 очной формы обучения.Учебное пособие охватывает разделы математики, изучаемые студентами направления подготовки 23.03.01 по дисциплине «Прикладная математика» на I курсе: алгебра, аналитическая геометрия, математическаялогика, дискретная математика, математический анализ, дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая статистика.В пособии содержатся теоретический материал по дисциплине, варианты контрольных домашних заданий, образцы их решения и методическиеуказания по их выполнению.Рассмотрено и одобрено на заседаниях кафедры 16.03.2021 г.
и методического совета . .2021 г.УДК 656ББК 517.8В авторской редакцииПодписано в печать 02.02.2022 г.Формат 60x84/16 Печ.л. 3 Усл. печ. л. 2,79Заказ №620/0413-УМП25 Тираж 40 экз.Московский государственный технический университет ГА125993, Москва, Кронштадский бульвар, д. 20Издательский дом Академии имени Н. Е. Жуковского125167, Москва, 8-го Марта 4-я ул., д. 6АТел.: (495) 973-45-68E-mail: zakaz@itsbook.ruc Московский государственный технический○университет гражданской авиации, 2022.Контрольное домашнее задание №1.
АлгебраЗадание 1. Вычислить:⎛⎞)︃2)︃(︃(︃0 1201 2 −1 ⎜⎟1.1.⎝ −2 −1 ⎠ +3 11 0 201⎛⎞)︃2)︃ 2 −2(︃(︃−1 1−1 2 0 ⎜⎟1.2.2 ⎠+⎝01 −11 0 21−1⎛⎞)︃2)︃ −2(︃(︃10 31 −1 1 ⎜⎟1.3.⎝ 2 −1 ⎠ +−1 22 0 1−11⎛⎞)︃2)︃ 1 −1(︃(︃23−2 −1 0 ⎜⎟1.4.1 ⎠+⎝2−1 01 2 −10−1⎞⎛(︃)︃2(︃)︃ −1 1−3 11 −2 4 ⎜⎟1.5.⎝ 3 0 ⎠+1 2−2 3 1−12⎞⎛(︃)︃2(︃)︃ 320 13 1 −1 ⎜⎟1.6.⎝ 1 −1 ⎠ +−1 20 2 102⎞⎛(︃)︃2(︃)︃3 201−2 1 0 ⎜⎟1.7.⎝ −2 1 ⎠ +3 10 2 101⎞⎛(︃)︃(︃)︃23 0−1 21 1 1 ⎜⎟1.8.⎝ 1 2 ⎠+0 −2 11 0−10⎛⎞(︃)︃2(︃)︃ −111 −3−1 2 1 ⎜⎟1.9.⎝ 2 −1 ⎠ +2 −10 1 −102⎛⎞(︃)︃ 3(︃)︃21−2 0 −1 ⎜10⎟1.10.⎝ 2 −1 ⎠ +0 1 30 11 03Задание 2. Вычислить:⃒⃒⃒ 2 2 −1 ⃒⃒⃒⃒⃒2.1.0 ⃒ 2.2.⃒3 1⃒⃒⃒1 21⃒2.4.2.7.⃒⃒ −11 0⃒⃒⃒ 3 −1 2⃒⃒ 1 −2 1⃒⃒⃒⃒⃒ 2.3.⃒⃒⃒⃒⃒ 0 3 1⃒⃒⃒⃒⃒⃒ −1 2 1 ⃒⃒⃒⃒ 3 1 1⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 2⃒⃒⃒⃒⃒3 1⃒1⃒⃒⃒ −3 1⃒ 0 1 −2 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒1 3 ⃒ 2.5.
⃒ 1 2 −1 ⃒ 2.6. ⃒ −1 2 1 ⃒⃒ −1⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 0 −1 1 ⃒⃒ 2 0⃒ 2 1 −1 ⃒1⃒⃒⃒2 11⃒⃒1⃒3 1⃒⃒ 0 2 −1⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ −1 2⃒1⃒⃒⃒⃒2.8. ⃒ 1 0 −1 ⃒ 2.9.⃒⃒⃒ 1 21⃒⃒⃒ 1 −3 2⃒⃒⃒ 2 −1 1⃒⃒10 1⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1 0 −3 ⃒⃒⃒⃒⃒2.10. ⃒ 1 11⃒⃒⃒⃒ −2 13⃒Задание 3. Вычислить:⃒⃒⃒11 2 3 ⃒⃒⃒⃒ 3 −1 −1 −2 ⃒⃒⃒3.1.⃒⃒⃒23 −1 −1 ⃒⃒⃒⃒12 3 −1 ⃒3.4.⃒⃒ 12 −1 2⃒⃒ 3 −12 4⃒⃒⃒ 24 2 4⃒⃒ −35 −2 −43.7.⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒1 −2 3 −1 ⃒⃒2 3 −4 4 ⃒⃒⃒3 1 2 −2 ⃒⃒1 −3 7 6 ⃒3.10.⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒1 1 −1 −2 ⃒⃒3 −1 −1 −1 ⃒⃒⃒2 3 1 2⃒⃒3 2 3 1⃒⃒⃒⃒⃒⃒3.2. ⃒⃒⃒⃒1 2 3 −22 −1 −2 13 2 −1 22 −1 2 1⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 3.3.⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒1134212332124321⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒3⃒⃒2⃒83−11−51⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒2⃒⃒3 4 1⃒0 −6 ⃒⃒⃒⃒⃒ 1 −3⃒ 3.5.
⃒⃒ 3.6. ⃒⃒⃒⃒ 1 −1 −2 −2 ⃒⃒02 −1 2 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 5 −3⃒14 2⃒4 −7 6 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒3.8.424832353−1−1−3−21242⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒3.9. ⃒⃒⃒⃒2711⃒−1 −6 1 ⃒⃒−4 2 −1 ⃒⃒⃒−2 −4 2 ⃒⃒−1 2 1 ⃒Задание 4. Найтиумножением:⎛1 1 −1⎜4.1. ⎝ 4 −312 1 −1матрицу, обратную к данной,⎞⎛⎞1 1 2⎟⎜⎟⎠ 4.2. ⎝ 2 −1 2 ⎠ 4.3.4 1 4выполнив проверку⎛⎞1 1 −1⎜⎟⎝ 8 3 −6 ⎠4 1 −3⎛4.4.⎞⎛⎞⎛⎞1 2 31 2 31 1 −1⎜⎟⎜⎟⎜⎟2 ⎠ 4.5. ⎝ 2 −1 −1 ⎠ 4.6. ⎝ 3 2 1 ⎠⎝ 2 −35 8 −11 3 44 −1 5⎛4.7.⎞1 2 3⎜⎟⎝ 5 −1 −1 ⎠ 4.8.4 3 2⎛⎛⎞2 1 3⎜⎟⎝3 2 1⎠1 1 1⎛⎞2 −1 −1⎜⎟4.9.
⎝ 32 2⎠1 1 −2⎞1 2 −1⎜⎟4.10. ⎝ 2 −32⎠3 1 1Задание 5. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:⎧⎧⎪⎪+−=−223⎨ 1⎨ 1 + 2 + 23 = 25.1.5.2.41 − 32 + 3 = 1121 − 2 + 23 = −3⎪⎪⎩ 2 + − = −1⎩ 4 + + 4 = 31231235.3.⎧⎪⎨ 1 + 2 − 3 = 181 + 32 − 63 = 1⎪⎩ 4 + − 3 = 01235.5.⎧⎪⎨ 1 + 22 + 33 = 321 − 2 − 3 = 2⎪⎩ + 3 + 4 = 3123⎧⎪⎨ 1 + 22 + 33 = −25.7.51 − 2 − 3 = 7⎪⎩ 4 + 3 + 2 = −31235.9.⎧⎪⎨ 21 + 2 − 3 = −331 + 22 + 23 = 1⎪⎩ + − 2 = −61235.4.⎧⎪⎨ 1 + 2 = 61 − 2 + 23 = −8⎪⎩ + =1235.6.⎧⎪⎨ 1 + 2 − 3 = 331 + 22 + 3 = 3⎪⎩ 4 − + 5 = 41235.8.⎧⎪⎨ 21 + 2 + 33 = 431 + 22 + 3 = −5⎪⎩ + + =01235.10.⎧⎪⎨ 1 + 2 − 3 = −141 − 32 + 3 = 9⎪⎩ 2 + − = 11235Задание 6.
Решить систему линейных уравнений, указать частное решение и фундаментальную систему решений соответствующей однороднойсистемы:⎧⎪⎨ 61 + 32 − 3 + 114 − 5 = 96.1.31 + 32 − 23 + 74 − 85 = 6⎪⎩ 6 + 4 − 2 + 12 − 6 = 10123456.2.⎧⎪⎨ 41 + 102 + 43 + 24 + 25 = 1621 + 72 + 33 + 25 = 13⎪⎩ 4 + 8 + 3 + 3 + = 11123456.3.⎧⎪⎨ 41 + 172 − 3 + 74 + 35 = 1−21 − 132 + 23 − 24 − 35 = 6⎪⎩ −4 − 20 + 2 − 6 − 4 = 3123456.4.⎧⎪⎨ 41 + 42 − 23 + 104 + 25 = 1821 + 42 − 33 + 74 − 35 = 17⎪⎩ −2 − 7 + 6 − 10 + 9 = −29123456.5.⎧⎪⎨ −81 + 2 + 23 − 174 − 65 = −971 − 22 − 3 + 84 + 55 = 9⎪⎩ −6 + + − 10 − 4 = −7123456.6.⎧⎪⎨ 121 − 52 − 3 + 24 + 35 = −7151 − 72 − 23 − 24 + 35 = −5⎪⎩ −12 + 6 + 2 + 4 − 2 = 2123456.7.⎧⎪⎨ 31 + 22 − 3 + 4 + 5 = 1−21 + 2 + 23 + 4 − 5 = 2⎪⎩ 6 + 4 − 2 + 2 + 2 = 3123456.8.⎧⎪⎨ 61 + 2 + 43 + 94 − 5 = 1641 + 2 + 33 + 74 + 5 = 13⎪⎩ 2 + 2 + 3 + 8 + 8 = 17123456.9.⎧⎪⎨ 41 − 62 − 3 + 74 + 35 = 11−21 + 92 + 23 − 54 − 35 = −7⎪⎩ 2 − 17 − 4 + 7 + 5 = 91234566.10.⎧⎪⎨ −21 + 32 − 3 + 94 − 5 = −531 − 22 + 3 − 44 + 5 = 6⎪⎩ 6 − + + 5 + 2 = 912345Задание 7.
Найти характеристический многочлен матрицы:⎛7.1.⎞1 −2 3⎜⎟4 2 ⎠ 7.2.⎝ −13 1 5⎛7.4.⎞1 −2 2⎜⎟2 4⎠⎝32 3 17.7.3 3 1⎟⎜⎝3 1 4⎠1 4 4⎜⎝⎞2 1 3⎟5 3 2⎠−4 2 3⎛7.3.⎞4 −1 3⎜⎟7.5. ⎝ −23 1 ⎠ 7.6.−1 2 3⎞⎛7.8.1 2 3⎟⎜⎝2 3 1⎠3 1 2⎞−3 1 2⎜⎟⎝ −1 2 1 ⎠3 1 4⎛⎞⎛⎛⎛⎞2 2 1⎜⎟⎝3 1 3⎠1 4 4⎛⎜7.9. ⎝⎞−1 4 2⎟3 −2 1 ⎠2 1 4⎞3 5 −2⎟⎜⎝ 2 1 −4 ⎠1 3 1⎛7.10.Задание 8. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей, приведённой ниже,и указать матрицу данного оператора в базисе из собственных векторов:(︃)︃(︃)︃(︃)︃(︃)︃−1 22 30 31 18.1.8.2.8.3.8.4.−6 63 21 2−3 5(︃8.5.(︃8.9.12 ,2 −6−2 1)︃9 −103 −2)︃(︃8.6.(︃8.10.11 3−2 4)︃−1 1−6 4)︃(︃8.7.8 −318 −7)︃(︃8.8.7 −96 −8)︃Задание 9.
а) Заданы комплексные числа 1 и 2 . Вычислить 1 ±2 , 1 2 ,¯1 , ¯2 и указать расположение чисел 1 и 2 на комплексной плоскости.б) Решить уравнение 2 + + = 0 в комплексных числах и представить7ответ в тригонометрической и показательнойформах.√9.1. 1 = 4 + , 2 = 2 − , = 3 3,√ = 9;9.2. 1 = −1 + , 2 = −2 − 3, =√ 3, = 1;9.3. 1 = −1 − , 2 = 2 − 3, = √2, = 1;9.4. 1 = 1 − , 2 = 2 + 3, = − 3, = 1;9.5. 1 = 2 + , 2 = 3 + , = 1, √ = 1;9.6.
1 = −3 + , 2 = 2 − , = 2, = 2;9.7. 1 = −3 − , 2 = 2 − , =√−1, = 1;, = 4;9.8. 1 = 3 − , 2 = 2 + , = 2 3√9.9. 1 = 3 + 2, 2 = 1 + 3, = − 2√, = 2;9.10. 1 = 3 − 2, 2 = 1 − 3, = −2 3, = 4.Образец выполнения контрольного домашнего задания№1Задание 1. Вычислить⎛⎞(︃)︃2(︃)︃ 1 22 03 0 1 ⎜⎟.⎝−1 1⎠ +3 10 1 11 0Решение.
Введём обозначения(︃=3 0 10 1 1)︃⎞⎛(︃)︃1 22 0⎟⎜., = ⎝ −1 1 ⎠ , =3 11 0Тогда — матрица размера 2×3, — матрица размера 3×2. Следовательно,произведение = определено и имеет размер 2 × 2. Введём обозначения(︃)︃11 12.=21 22Умножая матрицы по правилу «строчку на столбец», получаем, что11122122====3·13·20·10·2+ 0 · (−1)+ 0·1+ 1 · (−1)+ 1·1++++Таким образом,(︃)︃4 6=.0 181·11·01·11·0====4,6,0,1.Аналогично, — матрица размера 2 × 2. Следовательно, произведение = 2 = определено и имеет размер 2 × 2. Введём обозначения(︃)︃ (︃)︃ (︃)︃2 02 0 == 11 12 .3 121 223 1Тогда11122122====2·22·03·23·0++++0·30·11·31·1====4,0,9,1.Таким образом,)︃(︃4 0, =9 1)︃(︃86.
+ 2 = + =9 2Задание 2. Вычислить:⃒⃒ −1 21⃒⃒3⃒ 2 1⃒⃒ 1 1 −2⃒⃒⃒⃒⃒.⃒⃒Решение. Воспользуемся методом «молний». Запишем данный определитель дважды, указав в первом случае элементы, произведения которыхберутся с положительным знаком, а во втором случае — с отрицательнымзнаком:(−1)2121311(−2)=(−1)2121311(−2)== (−1) · 1 · (−2) + 1 · 2 · 3 + 1 · 2 · 1 − 1 · 1 · 1 − 2 · 2 · (−2) − (−1) · 1 · 3 == 20.9Задание 3. Вычислить:⃒⃒⃒ 2 −5⃒12⃒⃒⃒ −37 −1 4 ⃒⃒⃒⃒⃒.⃒ 5 −92 7⃒⃒⃒⃒ 4 −61 2⃒Решение.
Упростим определитель при помощи элементарных преобразований над строками. Будем вычитать первую строчку из остальных соответствующими коэффициентами так, чтобы на месте третьего столбца появился столбец единичной матрицы:2 −5 1 22 −5−3 7 −1 4 II + I−1 2=Δ=5 −9 2 7 III − 2I1 14 −6 1 2 IV − I2 −110002630Раскладываем по третьему столбцу. Благодаря тому, что почти все элементы этого столбца нулевые, у нас оказывается только одно ненулевое слагаемое:2 −5 1 2−1 2 6−1 2 0 6= (−1)1+3 · 1 · 1 1 3 + 0 + 0 + 0 =Δ=1 1 0 32 −1 02 −1 0 0−1 2 63 2 6=1 1 3 = 3 1 32 −1 00 −1 0I + 2IIРаскладываем по последней строке:Δ=3 2 63 1 30 −1 0= 0 + (−1)3+2 · (−1) ·3 6+0=3 3=3 63 3Выносим множитель 3 из одной строчки и множитель 3 из другой строчки:Δ=3 61 2=9= 9(1 · 1 − 1 · 2) = −9.3 31 110Задание 4. Найти матрицу, обратную к матрице⎛⎞2 0 0⎜⎟ = ⎝ 3 1 1 ⎠.0 0 2Выполнить проверку умножением.Решение.
Вычисляем миноры:⃒⃒⃒⃒⃒1 1⃒⃒3 1⃒⃒⃒⃒⃒11 = ⃒12 = ⃒⃒ = 1 · 2 − 0 · 1 = 2,⃒ = 3 · 2 − 0 · 1 = 6,⃒0 2⃒⃒0 2⃒⃒⃒⃒⃒⃒3 1⃒⃒0 0⃒⃒⃒⃒⃒13 = ⃒21 = ⃒⃒ = 3 · 0 − 0 · 1 = 0,⃒ = 0 · 2 − 0 · 0 = 0,⃒0 0⃒⃒0 2⃒⃒⃒⃒⃒⃒2 0⃒⃒2 0⃒⃒⃒⃒⃒22 = ⃒23 = ⃒⃒ = 2 · 2 − 0 · 0 = 4,⃒ = 2 · 0 − 0 · 0 = 0,⃒0 2⃒⃒0 0⃒⃒⃒⃒⃒⃒0 0⃒⃒2 0⃒⃒⃒⃒⃒31 = ⃒32 = ⃒⃒ = 0 · 1 − 1 · 0 = 0,⃒ = 2 · 1 − 3 · 0 = 2,⃒1 1⃒⃒3 1⃒⃒⃒⃒2 0⃒⃒⃒33 = ⃒⃒ = 2 · 1 − 3 · 0 = 2.⃒3 1⃒Сразу же можем вычислить определитель матрицы , например, разложив по последней строке:det = 0 + 0 + (−1)3+3 233 = 4.Матрица, составленная из элементов имеет вид⎛⎞2 6 0⎜⎟⎝ 0 4 0 ⎠.0 2 2Тогда матрица, составленная из элементов , получается транспонированием:⎛⎞2 0 0⎜⎟⎝ 6 4 2 ⎠.0 0 2Матрица, составленная из элементов (−1)+ ⎛⎞ ⎛2 −0 02⎜⎟⎜^ = ⎝ −6 4 −2 ⎠ = ⎝ −60 −0 2011имеет вид⎞0 0⎟4 −2 ⎠ .0 2Отсюда⎛−112⎜^⎜== ⎜ − 32det ⎝0001− 12012⎞⎟⎟⎟.⎠Проверка:⎛⎞⎛1202 0 0 ⎜⎜⎟⎜⎝ 3 1 1 ⎠ ⎜ −3⎝ 20 0 20⎛2· 12 +0·(− 32 )+0·0 2·0+0·1+0·0= ⎝ 3· 12 +1·(− 32 )+1·00· 12 +0·(− 32 )+2·03·0+1·1+1·00·0+0·1+2·00⎞⎟⎟=1 − 12 ⎟⎠102⎞12·0+0·(− 2 )+0· 213·0+1·(− 12 )+1· 21 ⎠ =0·0+0·(− 12 )+2· 21⎛⎞1 0 0⎜⎟= ⎝ 0 1 0 ⎠.0 0 1В другом порядке:⎛12⎜⎜ 3⎜−⎝ 2012 ·2+0·3+0·0(︃=12 ·0+0·1+0·000⎞⎛⎞200⎟⎟⎜⎟1 ⎟⎝ 3 1 1 ⎠ =1 −2 ⎠0 0 2102)︃12 ·0+0·1+0·2( )·2+1·3+( )·0 ( )·0+1·1+( )·0 ( )·0+1·1+(− 12 )·2− 32− 120·2+0·3+ 12 ·0− 32− 210·0+0·1+ 12 ·0− 23=0·0+0·1+ 12 ·2⎛⎞1 0 0⎜⎟= ⎝ 0 1 0 ⎠.0 0 1Задание 5.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
