Семинар 9 (Семинары)

Семинар 9Задача 9.1. Вычислить коэффициенты формы, амплитуды и искажения кривойнапряжения, уравнение которой u(t )  U1m sin t  U 2m sin 2t , U1m = 100 B, U 2m  30 B.Решение:Действующее значение напряжения, заданного суммой первой и второй гармоник:2222U  U  100   30 U   1m    2m      73,8 В. 2  2  2  2Среднее по модулю значениеU ср11U2U  (U1m sin t  U 2 m sin 2t )d t   (U1m cos t  2 m cos 2t )  1m  63,7 B .020Найдем максимальное значение u(t) из условия, чтоdu U1m cos t  2U 2 m cos 2t  0 .d(t )Учитываяcos 2t  2cos2 t  1,получаем120cos2 t  100cos t  2  0 , следовательно,квадратноеуравнениеcos t  0,0196, t  88,9.

Подставимзначение аргумента: U max  100sin t  30sin 2t t 88,9  101,2 В.Расчетные коэффициенты:kф 73,8 1,16,63,7ka 101, 2 1,37,73,8kи 100 / 2 0,96.73,8Задача 9.2. Напряжение, выражаемое прямоугольной кривой, подключено на цепь,содержащую только индуктивный элемент. Найти мгновенное значение кривой тока в1цепи. Построить график тока, составленный из основной и третьей гармоник. То же – сучетом пятой гармоники.Дано:Umax = 100 В,L = 4,76 мГн,частота основной гармоникиf = 50 Гц.U max =100 ВРешение: Для заданного напряжения u (t )  U max =  100 Взапишем ряд Фурье u (t ) 4U max0  t    t  211sin t  3 sin 3t  5 sin 5t  ... В.Применим метод наложения, рассчитаем ток в цепи i ( k ) (t ) при действии k–гармоники u ( k ) (t ) 4U max4U maxsin k t . В комплексном виде U m ( k ) 0 , реактивноеkkсопротивление катушки на частоте k  k  , где   2f  314 рад/с – частота первой(основной) гармоники, равно X L ( k )  k L  kL .Комплекс тока Im ( k ) U m( k )4U max 04U85 2 max   90  2   90 .

Для k  1,3,5,jk L k k L90 k Lk11i (t )  85  sin(t  90)  sin(3t  90)  sin(5t  90)  ... 925.11 85  cos t  cos3t  cos5t  ...  A.925График тока, составленный из основной и третьей гармоник:2График тока, составленный из основной, третьей и пятой гармоник:Задача 9.3. Напряжение, выражаемое прямоугольной кривой, подключено на цепь,содержащую резистор и емкостной элемент. Найти мгновенное значение кривой тока вцепи, учитывая три члена ряда. Дано: Umax = 100 В, С = 53 мкФ, частота основнойгармоники f = 50 Гц., сопротивление резистора R Решение: Для заданного напряжениязапишем ряд Фурье u (t ) 4U max1.CU max =100 Вu (t )  U max =  100 В0  t    t  211sin t  3 sin 3t  5 sin 5t  ... .Применим метод наложения, рассчитаем ток в цепи i ( k ) (t ) при действии k–гармоники u ( k ) (t ) 4U max4U maxsin k t .

В комплексном виде U m ( k ) 0 , реактивноеkkсопротивление конденсатора на частоте k  k  , где   2f  314 рад/с – частота первой3(основной) гармоники, равногармоники Z ( k )  R  jКомплекс тока Imk  1,3,5,(k )X C (k ) 11. Комплексное сопротивление k–k C k C1.k CU m(k )4U max 0 I km ( k ) ,11 1R jk1 j k CC k. Расчет трех членов ряда:Амплитуда k–гармоники токаНачальная фаза k–гармоникиI kmтока  ( k )11,54520,6718, 450, 41511,3k - номер гармоникиМгновенное значение токаi(t )  1,5sin(t  45)  0,67sin(3t  18,4)  0,415sin(5t  11,3) А.График тока, составленный из первой, третьей и пятой гармоник:Задача 9.4.

На вход цепи с параметрами элементов: R =30 Ом, R1 = 18 Ом, L = 60мГн приложено напряжение u(t )  120  200sin t  50sin(3t  30 ) В. Частота основнойгармоники f = 50 Гц. Определить мгновенное значение тока i(t), напряжение uab(t),4показания приборов: А1 и V1 (магнитоэлектрической системы), А2 и V2 (индукционнойсистемы), А3 и V3 (электродинамической системы).Решение:Приборы А1 и V1 показывают среднее значение тока и напряжения на входе, А2 иV2 действующее значение переменной составляющей тока и напряжения на входе, А 3 и V3действующее значение всего тока и напряжения на входе.Показания вольтметров: вольтметр V1 : U 0  120 В,2вольтметр V2 :2 200   50 U    =146 В, 2   222 200   50 вольтметр V3 : U  120    =189 В, 2   22Определим i(t) и напряжение uab(t), применив метод наложения:Постоянная составляющая:U0 = 120 B,I0 U0 2,5 А, U ab 0  I 0  R1  45 В.R  R1Показание амперметра магнитоэлектрическойсистемы: амперметр A1 : I 0  2,5 А.Первая гармоника:U m(1)  2000 ,   2f L  18,84 Ом.Z (1)  ( R  R1 )  jL  51,5421,4 Ом.Комплекс первой гармоники тока:Im(1) 5U m(1) 3,88  21, 4 А.Z (1)(1)Комплекс напряжения U mab:(1)U mab Im(1)  R1  jL   3,88  21,4 26,05746,3=101,124,9 В.Мгновенные значения:(1)(t )  101,1sin(t  24,9 ) В.i (1) (t )  2,5  3,88sin(t  21,4 ) А, uabТретья гармоника:U m(3)  50303L  56,5 Ом.Z (3)  ( R  R1 )  j3L  74,1449,7Комплекс третьей гармоники тока:Im(3) U m(3) 0,674  19,7 А.Z (3)(1)Комплекс напряжения U mab:(3)U mab Im(3)  R1  j3L   0,674  19,7 59,372,3=39,9752,6 В.Мгновенные значения тока и напряжения третьей гармоники:(3)(t )  39,97sin(3t  52,6 ) В.i (3) (t )  0,674sin(3t  19,7 ) А, uab22 3,88   0, 674 Показания амперметров: амперметр А2: I     =2,78 A, 2   2 22 3,88   0, 674 амперметр А3: I  2,5    =3,75 A . 2   2 2Мгновенные значения:i(t )  2,5  3,88sin(t  21,4 )  0,674sin(3t 19,7 ) А;uab (t )  45  101,1sin(t  24,9 )  39,97sin(3t  52,6 ) В.6.