Семинар 5 (Семинары)

Семинар 5Применение комплексного метода. Закон Ома и законы Кирхгофа вкомплексном виде. Векторные и топографические диаграммы,энергетические соотношения в цепях синусоидального тока.Все методы расчета линейных электрических цепей при постоянных токах инапряжениях целиком распространяются на электрические цепи без взаимной индукциипри синусоидальных токах и напряжениях. При этом расчет ведется в комплекснойобласти, т.е. все токи и напряжения должны быть представлены в виде комплексныхамплитуд или комплексов действующего значения.

Под показанием амперметра ивольтметра понимается действующее значение I и U – модули действующих комплексов I i и напряжения U  Ue j  U u . Под показанием ваттметра –произведение P  U W I W cos(u  i ) при указанном положении «звездочек» натока I  Iejiuприборе. «Звездочки» («точки») определяют положительные направления токов инапряжений (от «звездочки» через прибор), изменение их положения меняет угол сдвигамежду напряжением и током W  u  i . Если задача связана с определениемпоказаний приборов, то расчет рекомендуется вести с помощью комплексовдействующего значения тока, напряжения и ЭДС (расчет по действующим значениям).Представление синусоидальных токов, напряжений и ЭДС комплексными числамипозволяет изображать их на комплексной плоскости в виде векторов, отображая действия,производимые над этими числами в процессе расчета цепей, в виде построенийсоответствующих векторных диаграмм (ВДТ) и топографических диаграмм напряжения(ТДН).

Для определения энергетических соотношений в цепях синусоидального токавводятся понятия мгновенной мощности, полной и активнойи реактивноймощности. При расчете цепей в комплексной области используют также понятиекомплексной мощности. Сумма комплексных мощностей всех элементов цепи равна нулю(баланс мощности).Задача 5.1. Дано: I3  50 A , R1=X1=X3=10 Ом, R2=X2=8 Ом. Построить векторнуюдиаграмму токов и топографическую диаграмму цепи. Вычислитьнапряжение U.приложенноеРешение. 1 способ.

Рассчитаем комплексные токи и напряжения, приняв d  0 .Одновременно с расчетом проводим построение ВДТ и ТДН.1) d  0,2) U bd  jX 3 I3  j 50 B,3) I2 U bdj 50 5143 A,R2  jX 2 6  j84) U cd  R2 I2  30143 B,5) U bc   jX 2 I2  ( j8)  5143  4053 B,6) I1  I2  I3  (4  j 3)  5  3, 271,5 A,7) U ab  R1 I1  3271,5 B,8) U df  jX 1 I1  32161,5 B,9) U  a   f  U ab  U bd  U df  3271,5  j50 32161,5 10 j 3030 j10 20  j 90  93102 B.2 способ. Представим всю цепь по отношению к источнику ЭДС как пассивныйдвухполюсник.Комплекс входного сопротивления этого двухполюсника можно определить инепосредственно путем преобразования ("свертывания") электрической схемыдвухполюсника.

Представим эту схему в виде последовательного и параллельногосоединения комплексных сопротивлений:Z1  R1  jX1  10  j10 Ом, Z2  R2  jX 2  8  j8 Ом, Z3  jX 3  j10 Ом,Z 2 Z3. Численный расчет Zвх  29,130,5  25,1  j14,8 Ом.Z 2  Z3Z вх  Z1 Далее расчет токов проводят, пользуясь законом Ома: I1 E1, токи I2 и I3Z вхопределяют по «формуле разброса».Задача 5.2. Дано: E0  6090 B , E1  300 B , E2  25 2  135 B , R1=20Ом, XС1=10 Ом, XL2=5 Ом, XС3=5 Ом.1. Определить токи в ветвях.2. Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму цепи.3. Определить показания приборов электромагнитной системы.Решение.

Комплексные сопротивления ветвей: Z1  20  j10 Ом, Z 2  j 5Ом, Z3   j5 Ом.Применяем формулу двух узлов:  f  a EE Z .1 ZE1  E0 E2 30  j 60 25  j 25 13  j16А,Z1Z 2 20  j10j55Z11 Z  Z1111111 См.Z 2 Z3 20  j10 j5  j5 20  j10 f  a  E Z1 Z13  j16(20  j10)  20  j90 В.5Токи в ветвях определим по обобщенному закону Ома:I1 I2 I3 (a   f )  E1  E0Z1(a   f )  E2Z2 f  aZ3(20  j90)  (30  j 60) 5  j5  5 2  45 А,20  j10(20  j90)  (25  j 25) 23  j1  23177,5 А,j520  j90 18  j 4  18,5  167,5 А. j5Проверка: I3  I1  I2  (5  j5)  (23  j1)  18  j 4  18,5  167,5 A .Комплексные потенциалы:Топографическая диаграмма:a  0,b  a  jX 1 I1  ( j10)(5  j 5)  50  j 50 B,c  b  E1  (50  j 50)  30  80  j 50 B,d  c  R1 I1  (80  j 50)  20(5  j 5)  20  j150 B, f  d  E0  (20  j150)  ( j 60)  20  j 90 B, g   f  E2  (20  j 90)  (25  j 25)  5  j115 B, g  a  jX 2 I2  (23  j1)  ( j 5)  5  j115 B.Задача 5.3.

В двухпроводную линию, соединяющую два активных двухполюсника,включен ваттметр. Комплексные напряжение и ток в линии: U  22020 B ,I  15  30 A .1) Вычислить показание ваттметра.2) Определить направление передачи электрической энергии.Решение. На схеме у ваттметра * - обозначения для указания условно положительныхнаправлений тока I W в последовательной (неподвижной) катушке ваттметра инапряжения U W в параллельной (подвижной) катушке ваттметра. Показание ваттметравычисляется в следующем виде: P  U W I W cos(u  i )*или PW  Re U W I W .1) PW > 0 – стрелка ваттметра отклоняется по шкале;2) PW < 0 – стрелка ваттметра отклоняется не по шкале, а в противоположномнаправлении; в этом случае для получения показания (отклонения стрелки по шкале)необходимо переключить зажимы параллельной катушки ваттметра.Ваттметр измеряет среднюю или активную мощность потока электрической энергии,проходящей вдоль линии через сечение, соответствующее точкам подключенияпараллельной катушки ваттметра.

Поэтому, зная схему включения ваттметра, можно поусловно положительным направлениям I W и U W показать условно положительноенаправление потока энергии. Тогда, если PW > 0, то действительное направление потокасовпадает с условно положительным, если PW < 0 – противоположно.В соответствии со схемой включения прибора: U W  U  22020 В,*IW   I  15150 А, I W  15  150 А.*U W I W  2202015  150=3300  130 =  2120  j 2530 ,*откуда PW  Re U W I W  2120 Вт.PWУсловно положительное направление потока энергии выбрано от А2 к А1.

Поскольку< 0, то действительное направление потока энергии противоположно – от А1 к А2.Задача 5.4. Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника:u(t )  100sin(314t  20 ) В, i(t )  10sin(314t  10 ) А.1) Построить качественно векторную диаграмму, показав векторы напряжения, тока иих активных и реактивных составляющих.2) Найти мгновенные значения активных и реактивных составляющих напряжения итока.3) Определить параметры двух эквивалентных схем двухполюсника:с последовательным соединением R и X и с параллельным соединением G и B.4) Определить активную, реактивную и полную мощности на входе двухполюсника.Решение. 1) Комплексные амплитуды напряжения и тока: U m  10020 В,Im  10  10 А. Комплексы действующих значений:UU  m  70,720  66,436  j 24,181 В,2II  m  7,07  10  6,963  j1,228 А.2Векторная диаграмма:Активные и реактивные составляющие комплексных напряжения и тока:2) Из треугольника напряжений и треугольника токов:U a  70,7 cos30  61, 228 B,I a  7,07 cos30  6,123 A,U p  70,7sin 30  35,35 BI p  7,07sin 30  3,535 A.Комплексные амплитуды составляющих напряжения и тока:U mа  2  61,228  10  86,331  10 В,U mр  2  35,35(10  90)  49,84480 В;Imа  2  6,12320  8,63320 А,Imр  2  3,535(20  90)  4,984  70 А.Мгновенные значения:uа (t )  86,331sin(314t  10 ) В, u р (t )  49,844sin(314t  80 ) В;iа (t )  8,633sin(314t  20 ) А, i р (t )  4,984sin(314t  70 ) А.3) Параметры схем замещения пассивного двухполюсника:Комплексное сопротивление Z U70,720 1030  8,66  j5 Ом,I 7,07  10комплексная проводимостьY1 I 7,07  10  0,1  30  0,0866  j 0,05 См.Z U 70,720Параметры последовательной схемы замещения: R=8,66 Ом, Х=5 Ом.Параметры параллельной схемы замещения: G=8,66 См, B=5 См.Параметры схем замещения можно было определить из рассчитанных составляющихнапряжения и тока:RUU а 61,22835,35 8,66 Ом, X  р  5 Ом;I7,07I7,07II а 6,1233,535 0,0866 См, B  р  0,05 См.U70,7U 70,74) Активная мощность P  UI cos(u  i )  U а I  UI а  432,88 Вт, реактивнаямощность Q  UI sin(u  i )  U р I  UI р  249,92 Вар.

Полная мощностьGS  UI  P 2  Q 2  500 ВА. Активная и реактивные мощности также могут бытьопределены из параметров схем замещения: P  I R  U G  432,87 Вт,2Q  I 2 B  U 2 B  249,92 Вар.2.