Семинар 3 (Семинары)

Семинар 3Метод наложения и метод эквивалентного генератораРасчет электрических цепей можно значительно упростить с помощью принципаналожения и основанного на его использовании метода наложения. При использованииметода наложения используются расчетные понятия входного сопротивления, входных ивзаимных проводимостей ветвей. При этом можно решать не только задачи прямогоанализа электрических цепей, но и обратные задачи, в которых часть параметров цепи сизвестной топологией неизвестна и подлежит определению, а в число известныхпараметров могут быть включены токи и напряжения некоторых ветвей цепи.Метод расчета цепи, основанный на использовании теоремы об активномдвухполюснике, называют методом эквивалентного генератора (МЭГ).

Этот методиспользуют для нахождения тока в любой ветви электрической цепи. В более общемслучае любой двухполюсник А1, соединенный с внешней цепью А2 или П2 можнозаменить эквивалентным генератором, не изменив распределения токов и напряжений вцепи А2 (П2). Параметрами эквивалентного генератора являются: Rэ=Rвх (Gэ=Gвх) –входное сопротивление (входная проводимость) двухполюсника А1 (при определении Rвхи Gвх активный двухполюсник А1 преобразуют в пассивный П1), Eэ = Ux или Jэ = Iкз, гдеUxх – напряжение холостого хода и Iк – ток короткого замыкания двухполюсника А1. Спомощью метода эквивалентного генератора можно в некоторых случаях определять токине только в тех ветвях, к которым она непосредственно применяется, но и в других ветвях,используя при этом принцип наложения.

Расчетная формула метода эквивалентногогенератора позволяет провести анализ изменения тока ветви от параметров элементовэтой ветви (сопротивления ветви и ЭДС источников ветви).Задача 3.1. Определить токи I1 и I2 методом наложения. При каком значении токаисточника J ток I1 станет в два раза больше и поменяет свое направление? Параметрыэлементов цепи: R1 = 2 Ом, Е1 = 20 В, R2 = 3 Ом,J 3= 6 А.Решение. По методу наложения ток находится как сумма частичных токов:I1  I1( E1 )  I1( J3 ) , I 2  I 2( E1 )  I 2( J3 ) .

Частичные токи рассчитываются по частичнымсхемам.Частичная схема от источника Е1 (J=0):I1( E1 )  I 2( E1 )  E120 4 AR1  R223Частичная схема от источника J (Е1=0):I1( J3 )  J 3R236 3,6 AR1  R223I 2( J3 )   J 3Токи ветвей: I1  I1( E1 )R12 6 2,4 AR1  R223 I1( J3 )  4  3,6  0,4 A ,I 2  I 2( E1 )  I 2( J3 )  4  2,4  6,4 AОпределим входную проводимость (коэффициент передачи по напряжению) первойI1( E1 ) 4ветви: g11  0,2 См (знак “–” указывает на то, что направление частичногоE120тока не совпадает с выбранным направлением тока ветви), коэффициент передачи по токуk13 I1( J3 ) 3,6 0,6 .J36Согласно принципу наложенияI1  I1( E1 )  I1( J3 )  g11E1  k13 J 3  0,2E1  0,6 J 3 .

Для того чтобы ток первой ветвистал в два раза больше и поменял свое направление, т.е. I1   I1  (0,4)  0,8 A приE1 = 20 В ток источника тока должен быть J 3 0,8  0,2  208 A.0,6Задача 3.2. Определить ток I5, применив метод наложения. Параметры элементов:R1 = 6 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 12 Ом, R4 = 4 Ом, R5 = 3 Ом, Е1 = 24 В, Е5 = 12 В, J6= 2 А.Замечание: При решении задачи будем использовать сокращенную запись определенияэквивалентного сопротивления участка, соответствующего параллельному включениюдвух резисторов R1 и R2 : R1 R2 R1  R2.R1  R2По методу наложения I 5  I 5( E1 ) I5( E5 )  I5( J6 ) .Частичная схема от источника Е1:Входная проводимостьg11 R1Rвх( E1 )вх( E1 )( E1 )Частичные токи: I1 g11E1 1См,9 ( R3 R4  R5 ) R2  R184A , I 5( E1 )  A .33Частичная схема от источника Е5:Входная проводимостьg55 R1Rвх( E5 )вх( E5 )( E5 )Частичный ток: I 5 g55 E5 1См,9 R1 R2  R3 R4  R54A.3Частичная схема от источника J6:Напряжение на источнике:U  J 6  Rвх( J6 )  4 В,Rвх( J 6 ) ( R1 R2  R5 ) R3 R4( J6 )Частичный ток: I 5U2  A.R1  R23 R5R1  R2Ток в ветви может быть найден как сумма частичных токов:I 5  I 5( E1 )  I 5( E5 )  I 5( J6 ) 4 4 2   2 A.3 3 3Задача 3.3.

Определить ток I 2 методом эквивалентного генератора. Параметрыэлементов: R1 = 2 Ом, R2 = 3 Ом, Е1 = 20 В, J = 6 А.Выделим ветвь с током I 2 . Оставшаяся часть схемы (выделена пунктиром)представляет собой активный двухполюсник. Последовательная схема замещенияактивного двухполюсника состоит из эквивалентного источника ЭДС Еэ=Uхх и резистораRэ=Rвх (схема эквивалентного генератора).Расчетные схемы эквивалентного генератора:I1х  J  6 А,U хх =а  b   I1х  R1  E1  32 В.Rвх  R1  2 Ом.По методу эквивалентного генератора I 2 U хх32 6,4 А.Rвх  R2 2  3Задача 3.4. Определить ток I2 методом эквивалентного генератора. Дано: R1 = 4 Ом,R2 = 4 Ом, R3 = 6 Ом, R4 = 10 Ом, R5 = 30 Ом, R6 = 5 Ом, R7 = 5 Ом, Е1 = 50 В, Е2 = 56 В,Е3 = 20 В, J= 4 А.Выделим ветвь с током I2. Оставшаяся часть схемы (выделена пунктиром)представляет собой активный двухполюсник.

Последовательная схема замещенияактивного двухполюсника состоит из эквивалентного источника ЭДС Еэ=Uхх и резистораRэ=Rвх (схема эквивалентного генератора).Схема эквивалентного генератора:I2 U хх  E2.Rвх  R2Расчет параметров эквивалентного генератора:1) после компенсации тока источника введение эквивалентной ЭДС E6  J 6  R6схема холостого хода имеет два узла. Расчет токов холостого хода проводим по формуледвух узлов.E6E  E3 1R6  R7 R1  R3 40 В, токи в схеме холостогоПусть 2  0 , тогда 1 111R6  R7 R1  R3 R4  R5  2  E1  E3  2хода I   1 3 А, I   1 1 А.R1  R3R4  R5Напряжение холостого хода: U ххab  a  b  I   R4  I   R1  E1  28 В.2) входное сопротивление может быть определено с помощью эквивалентныхпреобразований пассивных двухполюсников и трехполюсника («треугольник»преобразуется в эквивалентную «звезду»):R67  R6  R7  10 ОмR67  R4100 2 Ом,R67  R4  R5 50R67  R5300R  6 Ом,R67  R4  R5 50R4  R5300R  6 Ом.R67  R4  R5 50R Rвх  R1  R   R3  R  R  6 12  6  10 Ом.6  12 R1  R   R3  RПо методу эквивалентного генератора I 2 U ххab  E2 28  56 2 А.Rвх  R210  4Задача 3.5.

Определить сопротивление резистора R3 , при котором в нем выделяетсямаксимальная мощность, и вычислить значение этой мощности.Дано: R1 = 5 Ом, R2 = 3 Ом, R4 = 2 Ом, R5 = 12 Ом, R6 = 12 Ом, Е6 = 36 В, J= 10 А.Выделим ветвь с током I3. Максимальная мощность выделяется при выполненииусловия R3  Rвх . Значение максимальной мощности Pmax2U хх.4 RвхРасчет параметров эквивалентного генератора:1) определим напряжение холостого хода, применив эквивалентное преобразованиесхемы холостого хода (компенсируем ток источника J введением эквивалентной ЭДСEэ  J  R1  50 В):После эквивалентного преобразования рассчитаем токи в схеме холостого ходаметодом узловых потенциалов:EэE 6R1  R2  R4 R6a  Eэa  30 В, I1х  2 А,111RRR124 R1  R2  R4 R5 R6U хх  Eэ  I1х  ( R1  R2 )  34 В.2) определим Rвх:Rвх  (R5  R6 R4 ) ( R1  R2 )  4 Ом,R5  R6Максимальная мощность выделяется в резисторе при R3  Rвх  4 Ом,Pmax2U хх342 72,25 Вт.4 Rвх 4  4Задача 3.6.

Построить зависимость P3 ( I 3 ) для задачи 3.4.Решение. Согласно расчету методом эквивалентного генератора I 3 схемы эквивалентного генератора U 3  U хх  Rвх I 3 .U хх. ДляRвх  R3Мощность P3  U 3 I 3  I 3 R3 , следовательно2P3 ( I3 )  U3 I3  (U хх  Rвх I 3 ) I 3  U хх I 3  Rвх I 32  34I 3  4I 32 , максимальнаяdP3UIмощность определяется из условия 0 или U хх  2Rвх I3  0 , I 3  хх  кз .dI 32 Rвх2График зависимости P3 ( I 3 ) :.