Семинар 20 (Семинары)

Семинар 20. Цепи с распределенными параметрами. Линии без потерьЛиния без потерь - упрощение понятия длинной линии при условии отсутствиятепловых (активных) при передаче энергии потерь вдоль линии. При анализеявлений в линиях без потерь конечной длины вводятся понятия прямых и обратныхволн, движущихся в противоположных направлениях. Для линии без потерьамплитуды прямых и обратных волн остаются неизменными по направлениюдвижения. Расчет распределения токов и напряжений в линии, подключенной ксинусоидальному источнику, проводят комплексным методом с помощью понятийкомплексного волнового сопротивления, для линий без потерь являющегосявещественным числом (как активное сопротивление) и коэффициентараспространения, содержащего только мнимую часть.

Уравнения линии с потерями- уравнения с тригонометрическими функциями. В линии без потерь возможновозникновение режима стоячих волн, чисто бегущих волн, наложения стоячих ибегущих волн.Задача 20.1. Определить первичные параметры воздушной линии без потерь,волновое сопротивление которой равно 600 ом.Решение: Z c L0 L0 600 Ом , vф  c0 C01 3 105 км/с , следовательноL0  C0ZC1 2, 0 мГн/км , С0  5,5 нФ/кмZC  с0с0Задача 20.2. На входе линии с параметрами L0=2 10-3 Гн/км, С0=8 10-9 Ф/км, R0  0 ,G0  0 напряжение u1 (t )  100 2 sin t , f=10 КГц. Длина линии l =40 км.В конце линии: а) Zн=Zс б) Zн=в) Zн=0.Определить волновое (характеристическое) сопротивление Zс, фазовую скорость vф,длину волны , записать выражения для мгновенных значений напряжения и тока внагрузке.Решение:Zc Характеристическое(волновое)L02 103 500 Ом, фазовая скорость vф C08 109волны  vфfсопротивлениелинии1 250 103 =250 км/с, длинаL0C0250 103 25 км.104а) Согласованный режим в линии Zн=Zс, уравнение линии U1  U 2e jl .

По условиюU1  1000 . Рассчитаем l U2 2360l40  576  360  216 , тогда25UU1 100  216 B , I2  2  0, 2  216 A .jlZнeМгновенные значения напряжения и тока в нагрузке:u2 (t )  100 2 sin(t  216) B , i2 (t )  0,2 2 sin(t  216) Aб) Разомкнутая на конце линия ( I2  0 , Z Н   ), уравнение линииследовательно U 2 U1  U 2 cos l ,U11000 123,6180 B .cos l cos 216Мгновенные значения напряжения и тока в нагрузке:u2 (t )  123,6 2 sin(t  180) B , i2 (t )  0 A .в) Короткозамкнутая линия ( U 2  0 , Z Н  0 ), уравнение линии U1  jZс I2 sin l ,следовательно I2 U11000  j 0,34 AjZ с sin l j500sin 216Мгновенные значения напряжения и тока в нагрузке:i2 (t )  0,34 2 sin(t  90) A , u2 (t )  0 B .Задача 20.3.

В начале воздушной линии l =12 м с волновым сопротивлением Zс= 400Ом включен генератор Е = 2000 В с внутренним сопротивлением R = 400 Ом. Длинаволны =2,5 м. Линия нагружена на сопротивление Zн=640 + j 480 Ом. Определить ток инапряжение в начале и конце линии, активную мощность нагрузки.Решение: Уравнения длинной линии без потерь:U1  U 2 cos l  jZс I2 sin l , I1  jU2sin l  I2 cos l , U 2  Zн I2 .ZсВходное сопротивление линии длиной l: Z вх  Z сТок в начале линииI1 Z H  jZ сtgl 145  3  145 Ом .Z с  jZ HtglE20000 3, 67 A , напряжение в начале линииR  Z вх545U1  Zвх I1  5320 B .Ток в конце линии I2 U1 1,74549,6 A .

Напряжение в конце линииZ н cos l  jZ с sin lU 2  Zн I2  139686,6 B .МощностьнавходеP1  U1I1 cos 1  1952,44Вт.МощностьнаP2  I 22 RН  1948,82 Вт. Для линии без потерь P1  P( x)  P2 : 1952,44  1948,82 .нагрузкеЗадача 20.4. Измерено напряжение U2=120 В в конце линии без потерь с волновымсопротивлением Zс=600 Ом.

Длина линии l сопротивлениеXС=Zс.Найтинапряжениев2. Линия нагружена на емкостноеначалелинии,построитьграфикраспределения действующего значения напряжения вдоль линии, откладывая расстояние вотносительных единицах x/λ, где λ - длина волны.Решение:а) Задачу можно решать несколькими способами.1 способ: заменим сосредоточенное емкостное сопротивление ZН= -jXС эквивалентнымраспределенным участком линии длиной y< λ/4, разомкнутой на конце, так чтобы режим влинии не изменился.Условие эквивалентной замены: Zвх ( y)   jX C ,   jZcctgy   jX C ,ctgy XC,  y   4,  y   8 .ZcРасстояние до первого узла напряжения: x0 = y  .

Пучность напряжения можно48определить из уравнения разомкнутой линии длиной y: U 2  U maxcosy  U max  120 2 .Напряжение в начале линии:U1  U max cos(l  y )  120 2cos2  ( + )=-120=120180 В. 2 82 способ: через комплексный коэффициент отражения, связывающий в сечении 2-2’комплексное напряжение падающей (U2пр) и отраженной (U2обр) волн:Z H  Z c  j 600  600  j1  1  90 .Z H  Z c  j 600  600U 2  U 2пр  U 2обр  U 2пр (1  )  U 2пр U2120 60  j 60  84,8545 ;(1  ) 1  j U 2обр  U 2пр  60  j 60  84,85  45 .U1пр  U 2прe jl  84,85(45  180)  84,85225 ,U1обр  U 2обрe j l  84,85(45  180)  84,85  225 .U1пр  U1пр  U1обр  84,85225  84,85  225  120180 .Из взаимного расположения векторов U2пр и U2обр определим, что x0 =Umax=|Uпр |+|Uобр |=84,85+84,85=169,7= 120 2 ; x max  x0 4 45 :4.Задача 20.5.

Для измерения величины емкости конденсатора при высокой частотенайдено положение узлов напряжения вдоль линии без потерь, в конце которой включенконденсатор, в начале – генератор высокой частоты. Определить емкость конденсатора,если расстояние от конца воздушной линии с волновым сопротивлением Zс= 550 Ом доближайшего узла напряжения x0  10 см . Частота генератора f  150 МГц .Решение:1 способ: Заменим сосредоточенное емкостное сопротивление эквивалентнымраспределенным участком линии длиной y< λ/4, разомкнутой на конце, так чтобы режимв линии не изменился, т.е.

Zвх ( y)   jZс ctg y   jX C . Длина волны воздушной линииvфf3 108 2 м . Ближайшее расстояние между узлом и пучностью равно  0,5 м ,841,5 10следовательно, y Тогда X C 4 x0  0,5  0,1  0, 4 м .1360 Z с ctg y  550ctg 0, 4  178,71 Ом , емкость С=5,94 пФ.2fC22 способ: Входное сопротивление участка линии, нагруженной на емкостноесопротивление  jX C   jнулю(узел1, относительно сечения x0 , в котором напряжение равно2fCнапряжения),1 jZ с tg x02fCZ вх ( x0 )  Z с01 Zс  j   j tg x0 2fC такжеравноjC1 5,94 пФ.2fZ с tg x0иjнулю.1 jZс tg  x0  0 .2fCСледовательно,Определим.