Семинар 2 (Семинары)

Семинар 2Законы Кирхгофа, баланс мощности, метод контурных токов (МКТ)Основными законами электрического состояния любой цепи являются законыКирхгофа. Для линейных цепей постоянного тока на основании законов Кирхгофасоставляются линейные алгебраические уравнения. При составлении уравненийнеобходимо задать условные положительные направления токов и напряжений вэлементах цепи. Количество уравнений определяется числом неустранимых узлов(сечений) схемы и числом ветвей с неизвестными токами или напряжениями. Необходимоприобрести навык в составлении уравнений на основании законов Кирхгофа, правильноиспользовать законы при составлении уравнений для цепи, содержащей идеальныеисточники тока.

Линейную электрическую цепь можно также рассчитать методомконтурных токов. В электрической цепи выполняется равенство мощностей генераторов(источников) и приемников (нагрузок), определяемое как баланс мощности.Задача 2.1. Определить токи ветвей, составив уравнения по законам Кирхгофа.Проверить баланс мощности. Параметры элементов: R1 = 2 Ом, R2 = 3 Ом, Е1 = 20 В, J= 6 А.Решение. Схема электрической цепи содержит два узла (у=2) и две ветви снеизвестными токами (в=2). Ток ветви, содержащей источник тока J, считаетсяизвестным (заданным) и в расчетное число ветвей эта ветвь не включается. Такимобразом, число уравнений по первому закону Кирхгофа к I=у-1=1, по второму законуКирхгофа кII=в-(у-1)=1.Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для 1-го узла, согласно выбранномунаправлению токов ветвей:J  I 2  I1  0 .Для составления уравнений по второму закону Кирхгофа выберем контур из ветвей,не содержащих идеальный источник тока. В соответствии с направлением обхода контура,направлением ЭДС и направлением напряжений на резисторах имеем уравнение:E1   I1R1  I 2 R2 .Решаем уравнения совместно:6  I 2  I1  020  2 I1  3I 2Численное решение: I1  0,4 A , I 2  6,4 A .

Для составления баланса мощностиопределим напряжение на источнике тока: U J  2  1   I 2 R2  6,4  3  19,2 В.Мощность источников: Pист   E1I1  U J J  20  0,4  19,2  6  8  115,2  123,2 Вт.Мощность нагрузки (приемников):Pнагр  I12 R1  I 22 R2  0,42  2  6,42  3  123,2 Вт.Задача 2.2. Определить токи в ветвях, составив уравнения по законам Кирхгофа.Параметры элементов: R1 = 100 Ом, R2 = 2 кОм, R3 = 500 Ом,Е1 = 25 В, J2 = 125 мA.Решение: Схема электрической цепи содержит два узла (у=2) и три ветви снеизвестными токами (в=3). Ток ветви, содержащей источник тока J, считаетсяизвестным (заданным) и в расчетное число ветвей эта ветвь не включается. Такимобразом, число уравнений по первому закону Кирхгофа к I=у-1=1, по второму законуКирхгофа кII=в-(у-1)=2.Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для 1-го узла, согласно выбранномунаправлению токов ветвей:I 2  I3  I1  J 2  0 .Для составления уравнений по второму закону Кирхгофа выберем два независимыхконтура из ветвей, не содержащих идеальный источник тока.

В соответствии снаправлением обхода контура, направлением ЭДС и направлением напряжений нарезисторах имеем два уравнения:E1  I1R1  I 3 R30  I 3 R3  I 2 R2Решаем уравнения совместно:I 2  I 3  I1  0,125  025  100 I1  500 I 30  500 I 3  2000 I 2Численное решение: I1  0,05 A , I 2  0,015 A , I 3  0,06 A .Задача 2.3. В цепи амперметр показывает 8 А. Определить токи в других ветвях,пользуясь законами Кирхгофа.

Параметры элементов: R1 = 2 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 2 Ом,R4 = 2 Ом, R5 = 6 Ом, R6 = 3 Ом, Е1 = 120 В, Е4 = 6 В, Е5 = 80 В.Решение. Схема электрической цепи содержит четыре узла (у=4) и шесть ветвей (в=6).Таким образом, число уравнений по первому закону Кирхгофа к I=у-1=3, по второмузакону Кирхгофа кII=в-(у-1)=3.Применяя первый закон Кирхгофа для сечения ветвей 4-6, получим I 4  I 6  0 , т.е.I 4  I 6 . Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для 1-го, 2-гоузлов: I 4  I5  I3  0 ,  I1  I 4  I 2  0 .

Для составления уравнений по второму законуКирхгофа выберем независимые контура, обозначенные на схеме I (5-я и 3-я ветви), II (4я, 3-я, 6-я и 2-я ветви) и III (2-я и 1-я ветви). В соответствии с направлением обходаконтура, направлением ЭДС и направлением напряжений на резисторах имеем уравнения:E5  I 5 R5  I 3 R3 E4  I 4 R4  I 2 R2  I 6 R6  I 3 R3E1  I1R1  I 2 R2По условию задачи известен ток амперметра, при этом подключение приборасоответствует выбранному направлению тока 5-ой ветви, т.е.

I 5  8 A . Из уравненийКирхгофаI3 можноопределитьостальныетоки.Так,например,E5  I 5 R5 80  6  8 16 A , I 4  I3  I5  16  8  8 A и т.д.R32Численное решение: I1=21 А, I2=13 А, I3=16 А, I4= I6=8 А, I5=8 А.Задача 2.4. Определить токи в цепи задачи 2.1 методом контурных токов.Решение: Составим контурные уравнения. Пусть II – неизвестный контурный ток I-гоконтура, состоящего из первой ветви (R1 и Е1) и второй ветви (R2). Для учета токаисточника J введем “особый контур” с известным контурным током III= J. “Особыйконтур” включает ветвь с источником тока J и ветвь с резистором R2.Контурные уравнения:I I ( R1  R2 )  I II R2  E1I II  JРешаем контурные уравнения:I I (2  3)  6  3  20II 20  18 0,4 А.5Токи ветвей найдем их контурных токов:I1   I I  0,4 А, I 2   I I  I II  6,4 А.Задача 2.5.

Определить токи в цепи задачи 2.2 методом контурных токов.Решение: Составим контурные уравнения. Пусть II – неизвестный контурный ток I-гоконтура, состоящего из первой ветви (R1 и Е1) и третьей ветви (R3), III – неизвестныйконтурный ток II-го контура, состоящего из второй ветви (R2) и третьей ветви (R3). Дляучета тока источника J введем “особый контур” с известным контурным током IIII= J.“Особый контур” включает ветвь с источником тока J и ветвь с резистором R2.I I ( R1  R3 )  I II R3  E1I II ( R2  R3 )  I I R3  I III R2  0I III   JРешение контурных уравнений:I II  0,11 А, I I  0,05 А.Токи ветвей: I1  I I  0,05 А,I 2   I III  I II  0,015 А,I3  I I  I II  0,06 А.Задача 2.6.

Найти токи методом контурных токов. Параметры элементов: R1 = 4 Ом,R2 = 6 Ом, R3 = 1 Ом, R4 = 2 Ом, R5 = 6 Ом, Е1 = 48 В, Е2 = 10 В, Е3 = 40 В, J = 2 A.Решение. Схема электрической цепи содержит четыре узла (у=4) и пять ветвей снеизвестными токами (в=5). Таким образом, число уравнений по второму законуКирхгофа кII=в-(у-1)=2 определяет число независимых контуров, т.е. число неизвестныхконтурных токов.Пусть II – неизвестный контурный ток I-го контура, , III – неизвестный контурный токII-го контура.

Для учета тока источника J введем “особый контур” с известнымконтурным током IIII= J. “Особый контур” включает ветвь с источником тока J и ветвь срезистором R4 и ветвь с резистором R5. Составляем два контурных уравнения с учетомконтурного тока “особого контура”:( R1  R4  R3 )  I I  R3  I II  R4  I III  E1  E3RI IIRI IRI IIIEI R3  I I  ( R5  R2  R3 )  I II  R5  I III  E2  E3RII IRII IIRII IIIEIII III  JПодставляя численные данные, имеем уравнения:7 I I  I II  4 I I  13I II  38Искомые контурные токи: I I  1 A, I II  3 A .Определим токи ветвей:I1  I I  1 A, I 2  I II  3 A, I3  I II  I I  2 A, I 4  I III  I I  3 A, I 5   I III  I II  5 A.