Семинар 15 (Семинары)

Семинар 15Операторный метод расчета переходных процессов в линейныхэлектрических цепях. Использование формул Дюамеля для расчетапереходных процессов при импульсном воздействии.Задача 15.1. Дано: Е = 120 В, R = R1 = R1 = 10 Ом, L = 0,2 Гн, С = 200 мкФ. Найтизакон изменения токов i1 и i2 после коммутации операторным методом.Решение: Ненулевые начальные условия i2(0) = i2 (0–) = i2 (0+) = 4 А (ток вкатушке), uC(0) = uC (0–) = uC(0+) = 40 В. Эквивалентная операторная схема дляоператорных изображений ( i1 (t )  I1 ( p) i2 (t )  I 2 ( p) ) после коммутации:Для определения операторных изображений II(p), III (p) используем метод контурныхтоков:E Li2 (0)pu (0)1 I I ( p)[ R2  pL]  I II ( p)[ R2  pL ] C Li2 (0)pCpI I ( p)[ R1  R2  pL]  I II ( p)[ R2  pL] После подстановки численных данныхи решения системы уравнений операторныеизображения:3, 2 103 p 2  0,96 p  120 8 p 2  2400 p  3 105p(4 104 p 2  0, 22 p  20) p( p 2  550 p  5 104 )4 p  200I II ( p)  I 3 ( p)  2p  550 p  5 104I I ( p)  I1 ( p) Для перехода к оригиналам применим теорему разложения: I1 ( p) корниi1 (t ) F1 ( p),pF3 ( p)F3(p) = p2+ 550p + 5·104 = 0, p1 = –115 1/с, p2 = – 435 1/с.F1 (0)F (p ) ptF ( p ) p t 3 105 8 1152  2400 115  3 105 115t 1 1 e1  1 2 e2 eF3 (0) p1 F3( p1 )p2 F3( p2 )5 104(115)(2 115  550)8  4352  2400  435  3 105 435te 6  3,53e 115t  5,53e 435t A,(435)(2  435  550)F ( p)4 p  200I 3 ( p)  2 1,4p  550 p  5 10F2 ( p)i3 (t ) F1 ( p1 ) p1tF ( p ) p t 4 115  200 115t 4  435  200 435te  1 2 e2 eep1 F3( p1 )p2 F3( p2 )2 115  5502  435  550) 0,813e 115t  4,813e 435t A.Задача 15.2.

Дано: E = 50 B, R1 = 7 Ом, R2 = 10 Ом, С1 = 500 мкФ, С2 = 150 мкФ.Определить uC1(t) операторным методом.Решение: Начальные условия: uC1(0+) = uC1(0–) = 50 B, uC2(0+) = uC2(0–) = 0.Составляем операторную схему и определяем изображение искомой переходнойвеличины: UC1 ( p)  uC1 (t ). При этом UC1(p) = U12(p). Применим метод двух узлов.U (0)1 E pC1 C1[ E  pC1 R1U C1 (0)](1  pC2 R2 )R1 ppU C1 ( p ) 11p[(1  pC1 R1 )(1  pC2 R2 )  pC2 R1 ] pC1 R1R2  1/ pC250( p 2  950 p  19 104 ) F1 ( p).p( p 2  1150 p  19 104 ) pF3 ( p)Корни уравнения F2(p)= pF3(p) = 0; p1 = 0.Характеристическое уравнение F3(p) = p2 + 1150 p + 19∙104 = 0, p2,3 = – 575 ± 375,корни p2 = – 200 с–1, p3 = – 950 с–1.Определяем оригинал uC1(t), применяя теорему разложения.

При наличии нулевого корня:uC1 (t ) F (p ) p tF1 (0)F (p ) p t 1 2 e 2  1 3 e 3.F3 (0) p2 F3( p2 )p3 F3( p3 )F1 (0)  50 19 104 F3 (0)  19 104F1 (0) 50F3 (0)F1 ( p2 )  50[(200) 2  350(200)  19 104 ]  50  4 104 p2 F3( p2 )  (200)[2(200)  1150]  15 104F1 ( p2 )200 104 13,3.p2 F3( p2 )15 104F1 ( p3 )  50[(950) 2  950(950)  19 10 4 ]  9,5 105 p3 F3( p3 )  (950)[2(950)  1150]  7,15 105F1 ( p3 )9,5 106 13,3.p3 F3( p3 ) 7,15 105После подстановки: uC1 (t )  50  13,3e200t  13,3e950t B.Задача 15.3. Дано: Цепь включается под действие напряжения, закон изменения которогопредставлен на рисунке. Параметры цепи R = 1 Ом и L = 0,5 Гн. Определить значениетока в момент t1 = 0,5 с и t2= 1,5 с цепи и построить кривую тока.Решение: Воздействующая функция и производная:0  t 1 c5  10t ,u (t )  t 1 c0,0  1 c10u( )  t 1 c0Переходная проводимость g (t )  i(t )u ( t )1( t ):Применим классический метод решения: g (t )  1  0,5e1t A.Используем формулы Дюамеля:1.

Для интервала 0  t  1 c :tt00i (t )  u (0) g (t )   u( ) g (t   )d  5[1  0,5e 1t ]   ( 10)[1  0,5e 1( t  ) ]d t 5  2,5e1t   (10)d  5e1t e  10  10t  7,5e 1t .t00Значение тока в момент времени t  0,5 c равно i(0,5)  0,451 A2. Для интервала t  1 c :1i (t )  u (0) g (t )   u ( ) g (t   )d  [0  u (1)]g (t  1)  5[1  0,5e 1t ] 0t  (10)[1  0,5e 1(t  ) ]d  5[1  0,5e 1(t 1) ] 01 5  2,5e 1t  10 0  5e t e  5  2,5e  t e1  e 1t [7,5  2,5e]  0, 704e 1t ,10Значение тока в момент времени t  1,5 c равно i(1,5)  0,704e1,5  0,157 A .Задача 15.4.

Дано: Цепь включается под действие источника тока, закон изменения токапредставлен на рисунке. Параметры цепи R1 = 5∙103 Ом, R2 = 10∙103 Ом, С = 1 мкФ, дляимпульсаТ0 =0,01 с.Решение:1. Вычисляем переходную функцию hC(t), на вход подаем единичную функцию тока1 A, t  01(t )  0, t  0Решаем классическим методом: uC (0)  0 ,Z âõ ( p)  R2 1110 p  4 100 c-1.6pCR2C10 10Решение: hC (t )  1 e100t А.1.

Переходный процесс в интервале 0 ≤ t ≤ T0: I1 (t )  const  100 мА  I1( )  0.J1 (0)  100 мАtiC (t )  J1 (0)hC (t )   J1( )hC (t   )d  100e 100t мА.0Значение тока в момент t = T0: iC (T0 )  37 мА.2. В интервале T0 ≤ t ≤ 2T0:t100J 2 (t )  100(2  ) мА, J 2 ( )  J 2 (t ) t    104 мА/сT0T0T0T000iC (t )  J1 (0)hC (t )   J1( )hC (t   )d   J 2 ( )hC (t   )d ,hC (t   )  1 e100t 100e,tiC (t )  100e100t  104 e100t  e100 d  100(1  3,72e100t ) мА.T0Значение тока в момент t = 2T0: iC (2T0 )  49,5 мАПолное решение:100t0  t  T0 ,100eiC (t )  100 t)T0  t  2T0100(1  3, 72e, мА..