Семинар 14 (Семинары)

Семинар 14Классический метод расчета переходных процессов в линейныхэлектрических цепяхЗадача 14.1. Дано: R1 = R2= 10 Ом, С = 1 мкФ, Е = 10 В. Определить i1(t) и uC(t) послекоммутации и построить графики переходного тока и напряжения.Решение:1. Рассмотрим режим до коммутации ( t  0 ). Так как ветвь с емкостным элементомисточник не была подключена к источнику, то для напряжения на емкостном элементенулевые начальные условия uC (0 )  0 . Закон коммутации uC (0 )  uC (0 )  02.

Рассмотрим установившийся режим после коммутации ( t   ).установившегося режима после коммутации:Расчетная схемаОпределим ток и напряжение в установившемсярежиме:E10i1 уст  0,5 А,R1  R2 10  10uCуст ER2  5 В.R1  R23. Рассчитаем переходной процесс в цепи с одним накопителем классическим методом,т.е. найдем решение как сумму двух составляющих: i1 (t )  i1 уст  i1прех  0,5  Ae pt иuC (t )  uC уст  uC прех  5  Be pt4.Определимкореньхарактеристическогоуравнения.

Составим пассивную схему цепи после1коммутации с заменой С→, найдем входноеpCсопротивление.Характеристическое уравнение: Z вх ( p) R1 R210R1  R2 pCКорень характеристического уравнения: p  2 105 1/c.5. Для t  0 составим уравнения по законам Кирхгофа для определения зависимогоначального условия i1 (0 ) .i1 (t ) В момент t  0 : i1 (0 ) E  uC (t ).R1E  uC (0 ) 10  0 1.R110Определим постоянные интегрирования, подставив в полное решение переходного токаi1 (t ) и напряжения uC (t ) момент времени t  0 (с учетом e p0  1 ) и приравняв полученноевыражение к найденному значению i1 (0 ) и uC (0 ) :i1 (0 )  0,5  A  1  A  0,5uC (0 )  5  B  0  B  56. Ответ:55 t ti1 (t )  0,5(1  e210) A, uC (t )  5(1  e210) B.Задача 14.2.

Дано: e  200sin(314t  30 ) B , R1 = 400 Ом, R2 = 200 Ом, С = 10 мкФ.Определить uС(t) в цепи после коммутации, происходящейв момент t = 0.Решение:1. Рассмотрим режим до коммутации ( t  0 ): ключразомкнут, режим установившийся. В цепи действуетсинусоидальный источник, расчет проводим комплекснымметодом.1Em  20030 В, X C  318,5 Ом.CКомплексный ток до коммутации Im Em20030 0, 29558 А,R1  R2  jX C 679  28UCm    jX C  Im   318,5  90 0, 29558  93,96  32В.Мгновенноезначениенапряжения на конденсаторе до коммутации: uC (t ) / t 0  93,96sin(314t  32 ) В, значение вмомент времени t  0 : uC (0 ) / t 0  93,96sin(32 )  49,79 В.Закон коммутации uC (0 )  uC (0 )  49,79 В.2.

Рассмотрим установившийся режим после коммутации ( t   ): ключ замкнут, режимустановившийся. Источник синусоидальный, расчет проводим комплексным методом.Em20030КомплексныйтокА,комплексноеIm  0,53287,8R2  jX C 376  57,8напряжение UCm    jX C  Im   318,5  90 0,53287,8   169, 44  2, 2 В.Установившееся значение напряжения на конденсаторе после коммутации:uC (t ) уст  169, 44sin(314t  2, 2 ) В,3. Полное решение: uC (t )  uC уст  uC прех  169, 44sin(314t  2, 2 )  Ae pt4.

Схема для нахождения р найдем корень характеристическое уравнения Zвх(р) = 0Z вх ( p)  R2 p  5001 0,pC1.с5. Определение постоянной интегрирования:uC (0 )  uC уст (0 )  uC прех (0 )  169, 44sin(2, 2 )  A  uC (0 )  49,796,5  A  49,79  A  43,296. Ответ: uC (t )  169,44sin(314t  2,2 )  43,29e500t B.Задача 14.3. Дано: R1 = R2 = R3 = 5 Ом, L = 10 мГн, Е = 15 В. Определить i1(t) и uL(t) вцепи после коммутации и построить их графики.Решение:1.

t  0 нулевые начальные условия iL (0 )  0 .Закон коммутации iL (0 )  iL (0 )  02. t   расчетная схема установившегося режима после коммутации:i1 уст E 2 А,R2 R3R1 R2  R3uLуст  0 В.3. Решение классическим методом:i1 (t )  i1 уст  i1прех  2  Ae ptuL (t )  uL уст  uCLпрех  0  Be pt4. p  ?Z вх ( p) R1R2 R3  pL  0R1  R2p  750 1/c5. t  0 схема после коммутации:Уравнения Кирхгофа после коммутации:i1 (t )  i2 (t )  iL (t ) , E  i1 (t ) R1  i2 (t ) R2 , uL (t )  E  i1 (t ) R1  iL (t ) R2В момент t  0 : i1 (0 )  i2 (0 )  iL (0 )  i2 (0 )  0 ,E  i1 (0 ) R1  i2 (0 ) R2  i1 (0 )( R1  R2 ) i1 (0 ) E 1,5 А, uL (0 )  E  i1 (0 ) R1  iL (0 ) R2  7,5 В.R1  R2i1 (0 )  2  A  1,5  A  0,5uL (0 )  0  B  7,5  B  7,56.

Ответ:i1 (t )  2  0,5e750t A,uL (t )  7,5e750t B.Задача 14.4. Дано: R = 10 Ом, L = 0,01 Гн, e(t )  100 2 sin(1000t  15 ) B . Определить i(t)в цепи после замыкания рубильника, происходящего в момент t = 0.Решение:1. t  0 нулевые начальные условия iL (0 )  0 .Закон коммутации iL (0 )  iL (0 )  02. t   Установившейся режим после коммутации, источник синусоидальный, расчетведется комплексным методом.Em  100 215 В, X L   L  10 Ом.Im Em 10  30 А, iуст (t )  10sin(t  30) А.R  jX L3.

Полное решение: i(t )  iуст (t )  iпрех (t )  10sin(t  30)  Ae pt .4. Zвх ( p)  R  pL  0 , p  1000 1/с.5. Определим постоянную интегрирования: iL (0 )  10sin(30)  A  0  A  56. Ответ: i(t )  10sin(1000t  30 )  5e1000t A.Задача 14.5. Дано: Е = 100 В, R1 = R3 = 10 Ом, L = 1 Гн, С = 10–3 Ф.

Определить i3(t) послекоммутации и построить график.1.t  0нулевыеначальныеусловияuC (0 )  0, iL (0 )  0 .Законы коммутации uC (0 )  uC (0 )  0, iL (0 )  iL (0 )  02. t   . В установившемся режиме ток в емкостном элементе при постоянномвоздействии: i3 уст  0 А3. Решение классическим методом: i3 (t )  i3 уст  i3прех  0  i3прех4.

Определим корни характеристического уравнения p1,2  ?Z вх ( p) R1 pL1 R3  0 , после подстановки численных данныхR1  pL pC20 p 2  1100 p  104  0 или p 2  55 p  500  0, D  1025  32p1,2 55  32 43,51/c , корни вещественные и различные, следовательно,{11,52процесс апериодический: i3прех  А1e43,5t  A2e11,5t , i3 (t )  i3 уст  i3прех  0  А1e43,5t  A2e11,5t5. t  0 Определение постоянных интегрирования. В выражение полного тока и первойпроизводной подставим момент времени t  0 :i3 (0 )  0  А1  A2di3/ t 0  (43,5) А1  (11,5) A2dtДля определения значения тока и его производной в момент t  0 применим теоремукомпенсации (известно значение uC (0 )  0, iL (0 )  0 ).Расчетная схема для i3 (0 ) :i3 (0 ) E 5 А,R1  R3uL (0 )  i3 (0 ) R 3  50 ВИзвестно, чтоduCi (0 ) i (0 )diu (0 )/ t 0  C   3   5 103 В/с, L / t 0  L   50 А/сdtCCdtLРасчетная схема дляdi3/ t 0 :dtпо методу наложенияduC diL dt / t 0di3R1/ t 0   / t  0  275 А/сdt R1  R3    R1  R3  dtСистема уравнений для определения А1 и А2:A1  A2  5 A1  6,81, A2  1,81 .43,5 A1  11,5 A2  2756.

Ответ:i2 (t )  6,81e43,5t  1,81e11,5t A.