l23 (Лекции)

Метод условной линеаризации11.5.Методика использования этого метода заключаетсявольтамперных,вольт-кулонныхивебер-амперныхвзамене нелинейныххарактеристикнелинейныхрезистивных, емкостных и индуктивных элементов на рабочем участке линейнойхарактеристикой с последующим формированием системы линейных уравнений цепи.Рассмотрим задачу расчета переходного процесса, возникающего в цепи послеразмыкания ключа (рис. 11.1). Нелинейный элемент – катушка с ферромагнитнымсердечником, задана однозначная зависимость  (i) .Рис. 11.1Составимдифференциальноеуравнениецепипослекоммутации:d Ri ( )  E , где R = R1 + R2.dtОпределим рабочий участок характеристики  (i) .

В момент коммутации (t = 0) ток вкатушкенеизменяетсяскачком,установившемся режиме i(t  ) т.е.i(0 )  i(0 ) ER3 I0 ,R1R2  R2 R3  R1R3вE I .R1  R2Таким образом, начальная точка а на рабочем участке (рис. 9.1) имеет координаты:i(0)= I0,Ψ(0) = Ψ0; конечная точка с имеет координаты i(∞) = I∞; Ψ (∞) = Ψ∞. Во времяпереходного процесса значения тока и потокосцепления меняются в пределах:I0≤ i(t) ≤ I∞ и Ψ0≤ Ψ(t) ≤ Ψ∞.Рис.

11.2Заменим характеристику  (i) на рабочем участке (рис. 11.2) отрезком ас прямой(не проходящей через начало координат), уравнение которой i ( )   0,Lэгде Lэ – эквивалентная индуктивность участка. Эквивалентную индуктивность определимпо приращениям: Lэ   0.I  I0Подставив в исходное дифференциальное уравнение цепи уравнение i ( ) получим: уст  Lэ  0,L0d RR   E   0 . Найдем его решение в виде (t )   уст  Ae pt , гдеdt LэLэE  0 . Корень характеристическогоR(0 )  (0 )   0находимпостоянную интегрирования А.(t )     ( 0    )e pt . Для тока i(t ) 11.6.уравнения: p  R1/с. Из условияLэТаким образом,   ( 0    )e pt   0.LэМетод кусочно-линейной аппроксимацииДля повышения точности расчета рабочий участок характеристики заменимотрезками нескольких прямых, в рассматриваемой задаче по условию отрезками ab, bc(рис.

11.2). Расчет для каждого участка выполним так же, какПостоянныеинтегрированиянайдемизусловиядля линейной цепи.непрерывностиизменениярассматриваемой величины при переходе с одного участка на другой. Для каждогоучастка определим момент времени, соответствующий переходу на следующий участок.Рассмотрим решение на каждом участке.I. Первый участок ab. На этом участке в интервале времени 0≤ t ≤ t1 значение тока ипотокосцепления изменяются в пределах I0≤ i(t) ≤ Ib и Ψ0≤ Ψ(t) ≤ Ψb , т.е. эквивалентнаяиндуктивность на первом участке LI  I  b   0iIIb  I 0.Переходной ток на линейном участке определим классическим методом:iI (t )  iIуст  iIпрех (t ) Ept AIe I ,R1  R2гдекореньхарактеристическогоуравненияR1  R21/c. Из условия i(0+) = i(0–) = I0 находим постоянную интегрирования AI .LIpI  Время t1, соответствующее моменту перехода на второй участок определим из условияi(t1) = Ib: t1 I i1ln 0 Iуст .pI I b  iIустII. Второй участок bс.

На этом участке в интервале времени t1≤ t ≤ ∞ значение тока ипотокосцепления изменяются в пределах Ib ≤ i(t) ≤ I∞ и Ψ b ≤ Ψ(t) ≤ Ψ∞, т.е. эквивалентнаяиндуктивность на втором участке: LII Токприt  t1 II     b.iIII  IbiII (t )  iIIуст  iIIпрех (t ) уравнения р2 = − (R1 + R2)/LIIEp ( t t ) AIIe II 1 , корень характеристическогоR1  R21/с. Учитывая, что i(t1) = Ib,находим постояннуюинтегрирования AII .На втором участке вследствие насыщения (LII< LI) постоянная времени меньше,чем на первом.11.7.Метод аналитической аппроксимации нелинейной характеристикиМетод аналитической аппроксимации предполагает возможность интегрированиянелинейного дифференциального уравнения цепи с учетом выбранной аппроксимацииi ( )  k  2 :d Rk  2  E.dtРазделяя переменные в полученном уравнении dt вычислимоткуда1d1t2Rk  (0) E / Rk  2 RkEe2RkEtd,E  Rk  2E / RK   , lnE / RK     (0)E / RK   E / RK  .E / RK   E / RK  или после подстановки значений параметров аналитически выражают зависимость  (t ) .и ток i (t ) через заданную аппроксимацию i  k  2 .Полученное аналитическое решение позволяет анализировать в общем видевлияние отдельных параметров цепи на зависимости тока и потокосцепления от времени.Замечание: Для выражения нелинейной зависимости  (i) или i( ) применяетсямножестворазличныханалитическихформул:полиномы,гиперболическиеитригонометрические функции.

Если в течение рассматриваемого промежутка времени токменяет направление, то для выражения кривых намагничивания следует пользоватьсянечетными функциями, если переходной процесс происходит на некоторой части циклаперемагничивания, то в аналитическое выражение необходимо ввести постояннуюсоставляющую тока или потокосцепления.11.8.Метод усредненияМетод усреднения при решении многих задач по существу совпадает с методоммедленно меняющихся амплитуд. Он применяется при расчете переходных процессов иустановившихся процессов в электрических цепях, обладающих фильтрующими ирезонансными свойствами для основной гармоники; при анализе учитывают толькоосновную гармонику, а высшими гармониками пренебрегают.Дифференциальное уравнение цепи с источниками э.д.с или токов и двумяреактивными элементами можно свести относительно некоторой переменной х к виду:d2 x dx  2 x  f  x, , t  ,2dt dt где ε – малый параметр, определяющий близость закона изменения переменной х кгармоническому; f- функция, определяемая нелинейными характеристиками элементовцепи.

Точность метода тем выше, чем меньше параметр ε, т.е. чем ближе колебания кгармоническим. При решении конкретных задач часто параметр ε не выносится, аблизость к гармоническому закону определяется малостью значений коэффициентовправой части или другими соображениями, например, данными эксперимента.Решение дифференциального уравнения ищется в видеx  a(t )cos ;dx a(t )sin ,dtгде Ψ = [ωt – φ(t)] – полная фаза. При этом уравнения установления амплитуды а = а(t) иφ = φ(t) фазы переменной х, или укороченные уравнения, имеют вид:2daf (a cos , a sin , t )sin d;dt2 0ddt 2a2 f (a cos , a sin , t ) cos d.0Малый параметр ε в правой части указывает на медленные изменения амплитуды аи фазы φ. Поэтому при интегрировании в течение периода (усреднении) амплитуда и фазав подынтегральных выражениях принимаются постоянными.При решении задач можно вместо времени t ввести безразмерное время τ = ωt..