l17 (Лекции)

9. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХВ предыдущих разделах курса изучались линейные цепи в установившихся режимах;рассматривались режимы, которые устанавливались в таких цепях под воздействиемпостоянных или периодических ЭДС. Если в цепи действовали постоянные ЭДС, то вустановившемся режиме токи и напряжения такжебыли постоянные, при действиипериодических ЭДС токи и напряжения математически описывались периодическимифункциями. При этом конфигурация и параметры элементов линейной электрическойцепи не менялись.В инженерной практике очень важны не только установившиеся режимы, но ипереходные процессы.

Электромагнитные процессы, возникающие при переходе одногоустановившегося режима к другому, называются переходными процессами. Переходныепроцессы в цепи вызываются коммутацией, под которой понимают любое изменение вцепи, приводящее к возникновению переходного процесса.

Это может быть включениеили переключение источников, подключение или отключение участков электрическойцепи, изменение параметров элементов. Переходные процессы обычно являютсябыстротекущими, длительность их составляет десятые, сотые, миллиардные доли секунд,сравнительно редко это секунды или десятки секунд. Однако токи и напряжения во времяпереходного процесса могут достигать экстремальных значений с точки зренияпоследствий для электрической цепи. В некоторых случаях цепь выполняется такимобразом, чтобы в ней возникал требуемый переходной процесс, т.к. именно он являетсянеобходимым для эксплуатации электроустановки.При расчете переходных процессов коммутация понимается как моментальноеизменение параметров или топологической структуры цепи, т.е.

совершается за моментвремени t  0 . Момент внезапного изменения режима принимают за начальный(нулевой), относительно которого рассчитывают токи и напряжения, возникающие вовремя переходного процесса. Момент времени, предшествующий изменению обозначаютt  0 , первый момент времени после изменения t  0 . На электрической схеме процесскоммутации отображается замыканиемилиразмыканиемключа.В Таблице 9.1показано схемное изображение замыкания и размыкания ключа (а) и состояние до (б) ипосле коммутации (в) соответствующих участков электрической цепи.Таблица 9.1ЗамыканиеРазмыканиеа)а)б)б)в)в)После замыкания или размыкания ключа меняется система уравнений, описывающаяпроцессы в электрической цепи. При расчете переходных процессов используют законсохранения энергии, компонентные уравнения, определяющие математическую связьмежду током и напряжением на элементах цепи, и уравнения, составленные по законамКирхгофа.

Это решение линейной дифференциальной системы уравнений, описывающейпроцессы в цепи после коммутации. Математически корректной задача становится толькопосле задания начальных условий, т.е. определения значений токов и напряжений вмомент t  0 . При этом очень важно знать, какие из переменных токов и напряженийостанутся неизменными во время коммутации.9.1.

Законы коммутации и начальные условияЗначения токов и напряжений элементов цепи в момент t = 0+ называют начальнымиусловиями переходного процесса, которые подразделяют на независимые начальныеусловия (токи индуктивных элементов и напряжения емкостных элементов) и зависимыеначальные условия (токи резистивных, емкостных элементов, источников ЭДС инапряжения резистивных, индуктивных элементов и источников тока).

С энергетическойточки зрения невозможность скачков тока в индуктивном элементе и напряжения наемкостном элементе объясняется невозможностью мгновенного изменения запасенных вних энергии магнитного поля катушки и электрического поля конденсатора. Для этогопотребовалась бы бесконечно большая мощность. Исключение составляют случаи, когда врезультате коммутации образуются новые «особые» контуры, состоящие только иземкостных элементов или новые «особые» разрезы, состоящие только из индуктивныхэлементов (рис.

9.1). Такие коммутации часто называют «некорректными» и определениеначальных условий при таких коммутациях будет рассмотрено позже.Рис. 9.1 Образование «особого» контура и «особого» разреза.Законы коммутации: В момент коммутации остаются неизменными напряжения наемкостных элементах (конденсаторах) и токи в индуктивных элементах (катушках).uC (0 )  uC (0 )  uC (0)iL (0 )  iL (0 )  iL (0)Значения токов в катушке и напряжения на конденсаторе называют независимыминачальными условиями (н.н.у.). Независимые начальные условия определяются по схемедо коммутации и могут быть нулевыми и ненулевыми. После коммутации все остальныепеременные – напряжения на индуктивных катушках, токи в конденсаторах, токи инапряжения на резисторах - могут скачком изменить свое значение, поэтому их относят кзависимым начальным условиям (з.н.у.). Зависимые начальные условия определяют поуравнениям, составленным по законам Кирхгофа для схемы после коммутации.Пример 9.1.

Определение начальных условий для токов и напряжений цепи, схемакоторой представлена не рисунке.По закону коммутации uC (0 )  uC (0 )  0 . Ток в резисторе R2 скачком не изменится,т.к. i2 (t ) резистореi1 (0 ) uC (t )u (0 )и в момент t  0 значение тока i2 (0 )  C   0 . Значение тока вR2R2R1i1 (0 )зависит от значенияe(0 )и может измениться скачком:e(0 )  uC (0 ). Так при e(t )  E  const значение тока в момент коммутацииR1меняется скачком: i1 (0 ) E i1 (0 ) , т.к.

i1 (0 )  0 . Если e(t )  Em sin t , то e(0 )  0 иR1i1 (0 )  i1 (0 )  0 , скачка в значении тока не будет.9.2. Классический метод расчета переходных процессов в линейных электрическихцепяхСогласно классическому методу искомая переменная, например, ток i = i(t) внекоторой ветви представляется в виде суммы установившегося тока (установившейсясоставляющей) iуст и преходящего тока (преходящей составляющей) iпрех:i = iуст + iпрехИскомый ток i(t) называют переходным током.Установившимсятокомназываютпериодическийилипостоянныйток,устанавливающийся в электрической цепи после окончания переходного процесса придействии периодических или постоянных ЭДС (источников напряжения или тока).Преходящим током называют разность между переходным и установившимся током.Аналогично определяются установившаяся и преходящая составляющие переходногонапряжения.Замечание.

Математически нахождение искомой переменной – решение линейнойдифференциальной системы уравнений при заданных начальных условиях, т.е. решениезадачи Коши x  Ax  f , x(0)  x0 . Решение задачи Коши находится как сумма двухсоставляющих:1) свободной составляющей – решение однородного дифференциального уравненияx  Ax , т.е. решение «свободного процесса» без внешнего воздействия f  0сненулевыми начальными условиями: xсв (t )  eAt x(0) , x(0) - постоянная интегрирования.При нулевых начальных условиях свободная составляющая равна нулю. Свободнаясоставляющая содержит экспоненты, которые обращаются в ноль при t   .2)принужденнойсоставляющей–частноерешениенеоднородногодифференциального уравнения при f  0 .

Это решение соответствует процессам,определяемыхдействиемисточниковпринулевыхначальныхусловиях:tx прин (t )   e A (t  )f ( )d .Приэтомпринужденнаясоставляющаятакжесодержит0экспоненты, которые обращаются в ноль при t   .Пример 9.2. Найти uC (t ) после коммутации как сумму свободной и принужденнойсоставляющих, если до коммутации конденсатор был заряжен и uC (0)  2 E .Решение: Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для напряжений послекоммутации: CRuCсв (t )  e1tCRduCdu11 uC  E или C  uC E . Свободная составляющая:dtdtCRCRuC (0)  2Ee1tCR.Принужденная составляющая:tuCприн (t )   e1( t  )CRf ( )d 0t11111 t t t tECR CRCRCRCReedEee1EEeCR 0Полное решение: uC (t )  uCсв (t )  uCприн (t )  2 Ee1tCR E  Eeсвободная1tCR.принужденнаяДля инженерной практики удобнее объединить все слагаемые, которые при t  обращаются в ноль и формировать решение в виде суммы установившейся и преходящейсоставляющих:uC (t )  uCуст (t )  uCпрех (t )  2 EeEустановившаясяМатематическипреходящая1tCR Ee1tCR E  Ee1tCR.преходящаясоставляющая,какисвободная,естьрешениеоднородного дифференциального уравнения, но с начальными условиями по преходящейсоставляющей, определяемыми как xпрех (0)  x(0)  x уст (0) , т.е.