l13 (Лекции)

7. Электрические цепи с четырехполюсными элементамиРанее рассматривались элементы с двумя выводами – двухполюсники. Любойпассивный двухполюсник может быть представлен схемой замещения с однимэквивалентным параметром - входным сопротивлением (проводимостью), активныйдвухполюсник - схемой замещения с двумя параметрами – эквивалентной ЭДС и входнымсопротивлением. Однако рассмотренный ранее трансформатор – четырехполюсныйэлемент, имеющий два входных и два выходных вывода. Широкое использованиеэлементов-четырехполюсников,кклассукоторыхотноситсятрансформатор,обусловливает необходимость рассмотрения особенностей анализа цепей, содержащихчетырехполюсные элементы.7.1. Четырехполюсники.

Основные понятия.Четырехполюсники- часть электрической цепи, подключенная к остальнымучасткам цепи двумя парами выводов (рис. 7.1): первичных 1 – 1′ и вторичных2 – 2′.Рис. 7.1Если четырехполюсник не содержит зависимых или независимых источниковэнергии или эти источники взаимно компенсируются, то его называют пассивным, впротивном случае – активным четырехполюсником.

Активные четырехполюсникипринято подразделять на автономные, содержащие независимые источники ЭДС и тока, инеавтономные, содержащие зависимые источники. Будем рассматривать пассивныечетырехполюсники с неизменными линейными параметрами при действии в цеписинусоидальных источников ЭДС или тока. Активный четырехполюсник может бытьприведен к пассивному с вынесенными за его выводы эквивалентными источниками ЭДСили тока.

Выбор первичных и вторичных выводов весьма условен, обычно полагают, что вкачестве первичных выводов берутся те, от которых идет поток энергии (подсоединенныхк источнику питания), в качестве вторичных – выводы, к которым движется этот потокэнергии (подсоединенных к приемнику). Будем обозначать токи и напряжения первичныхвыводовI1 и U1 , вторичных выводов I2 и U 2 . Условно-положительное направлениетоков и напряжений показано на рис.

7.1. Выбор направления для тока I2 возможен в двухвариантах, выбор конкретного направления оговаривается при использовании того илииного типа уравнений четырехполюсника.Уравнения7.2.четырехполюсника.ЭкспериментальноеопределениеегопараметровУравнения четырехполюсника связывают значениявходных и выходных токи инапряжения с помощью четырех констант, три из которых являются независимыми.Наиболее распространенной являются уравнения, в которых в качестве известных(заданных) считаются ток и напряжения вторичных выводов, а в качестве неизвестных(определяемых) – ток и напряжение первичных. Такие уравнения называют «уравнения вА-параметрах», направление выходного тока I2 выбирают слева направо (на рис.

7.1 вскобках). Уравнения имеют вид:U1  A11U 2  A12 I2.I1  A21U 2  A22 I2Коэффициенты, входящие в запись уравнения, называют А-параметрами, причем A11 иA22 из них безразмерны, A12 - имеет размерность сопротивления, A21 - проводимости.Если в качестве известных (заданных) считаются токи первичных и вторичныхвыводов, а в качестве неизвестных (определяемых) – напряжения, то коэффициенты взаписи уравнений имеет одинаковую размерность сопротивления,направлениевыходного тока I2 выбирают справа налево. Уравнения в Z - параметрах имеют вид:U1  Z11 I1  Z12 I2.U 2  Z 21 I1  Z 22 I2Если в качестве известных (заданных) считаются напряжения первичных и вторичныхвыводов, а в качестве неизвестных (определяемых) – токи, то коэффициенты в записиуравнений имеет одинаковую размерность проводимости, направление выходного тока I2выбирают справа налево.

Уравнения в Y - параметрах имеют вид:I1  Y11U1  Y12U 2.I2  Y21U1  Y22U 2Коэффициенты уравнений четырехполюсника называются егопараметрами. Для А-параметров справедливо уравнениепервичнымиA11 A22  A12 A21  1 , для Z -параметров Z12  Z 21 , Y - параметров Y12  Y21 . Таким образом, из четырех только трипараметра являются независимыми. В некоторых случаях направление тока I2 задаютодинаковым для всех типов уравнений (например, слева направо), тогда Z и Y параметры при токе I2 имеют обратный знак, Z12  Z 21 , Y12  Y21 .Используют также гибридные уравнения ( H и G - параметры), в матричном видеуравнения имеют вид:U 1 I1  I1 U 1  I   H U  и U   G  I  . 2 2  2 2При обратном питании в качестве известных (заданных) считаются ток инапряжения первичных выводов, а в качестве неизвестных (определяемых) – ток инапряжение вторичных (рис.

7.2). При выбранных направлениях токов уравнения будутиметь вид:U 2  A22U1  A12 I1.I2  A21U1  A11 I1Замечание: Уравнения получаются из уравнений в А-параметрах путем замены I2на  I2 , I1 на  I1 , и с учетом связи А-параметров A11 A22  A12 A21  1 .Рис. 7.2Четырехполюсник называется симметричным, если при прямом и обратном питаниираспределение токов и напряжений в оставшейся части цепи не изменится. Длясимметричного четырехполюсникаA11  A22 , т.е.

только два параметра являютсянезависимыми. Аналогично Z11  Z 22 и Y11  Y22 .Первичные параметры четырехполюсника определяют экспериментальным илирасчетным путем. В последнем случае должна быть задана схема четырехполюсника.Наиболее просто определяют А-параметры по данным опыта холостого хода икороткого замыкания. Этот способ используют для измерения параметров мощныхустройств, в которых режимы холостого хода и короткого замыкания не являютсяаварийными и мощность в этих режимах меньше мощности в номинальном режиме.В режиме холостого хода при прямом питании I2  0 .

Уравнения типа А принимаютвид:U1х  A11U 2х  A11 I1х  A21U 2хВ режиме короткого замыканияU1хU 2х.I A21  1хU 2хпри прямом питании U 2  0 . Уравнения типа Апринимают вид:Возможно определение А-параметров через входные сопротивления. Входныесопротивления четырехполюсника со стороны первичных выводов при нагрузке Z2нможно определить как Z 1вх U 1 A11U 2  A12 I 2(рис. 7.3,а).I 1 A21U 2  A22 I 2а)б)в)Рис.

7.3Учитывая, что Z 2н U2A Z  A12, получим Z 1вх  11 2н.I 2A21 Z 2н  A22В случае, когдаZ2н = 0 входное сопротивление называют сопротивлениемкороткого замыкания четырехполюсника Z 1к A12(рис. 7.3,б).A22В случае Z2н → ∞ входное сопротивление называют сопротивлением холостогохода четырехполюсника Z 1x A11(рис. 7.3,в).A21Входное сопротивление четырехполюсника со стороны вторичных выводов приобратномZ 2вх питанииинагрузкеZ1нможноопределитьU 2 A22U 1  A12 I 1 A22 Z 1н  A12(рис. 7.4,а):I2A21U 1  A11 I 1 A21 Z 1н  A11а)б)Рис. 7.4в)какВ случае, когдаZ1н = 0короткого замыкания Z 2к A12.A11В случае Z1н → ∞Z 2x A22A21(рис.

7.4,б) входное сопротивление - сопротивлениевходное сопротивление - сопротивление холостого хода(рис. 7.4,в). Сопротивления холостого хода и короткого замыкания связанысоотношением:Z 1к Z 2к.Z 1x Z 2xДля симметричного четырехполюсника Z 1к  Z 2к  Z к , Z 1x  Z 2x  Z x .А-параметры можно определить по входным сопротивлениям холостого хода икороткого замыкания:A11  Z1хZA, A12  A11Z 2к , A21  11 , A22  A21Z 2х  A11 2х .Z 2х  Z 2кZ1хZ1хАналогично по опытам холостого хода и короткого замыкания со стороныпервичных и вторичных выводов определяют Z и Y -параметры.Замечание. Для выбора знака A11 дополнительно определяют этот параметр по опытухолостого хода: A11 U1х.U 2х7.3.

Эквивалентные схемы четырехполюсниковТак как пассивный четырехполюсник определяется только тремя независимымипараметрами, простейшая эквивалентная схема замещения четырехполюсника должнасодержатьтолькотриэлемента.Двенаиболеепростыесхемызамещениячетырехполюсника называют Т – образной (рис.

7.5,а) и П – образной (рис. 7.5,б) схемамизамещения.а)б)Рис. 7.5Записав уравнения связи первичных тока I1 и напряжения U1 и вторичных тока I2 инапряжения U 2 для Т- и П- образных схем и сравнив эти связи с уравнениями в Апараметрах,можновыразитьпараметрыТ-иП-образныхсхемзамещениячетырехполюсника через его А-параметры.Для Т-образной схемы замещения:Y0  A21 , Z1 A11  1A 1, Z 2  22.A21A21Для П-образной схемы замещения:Z0  A12 , Y1 ДлясимметричногоA22  1A 1, Y2  11 .A12A12четырехполюсникаZ1  Z 2 ,Y1  Y2 .Длясимметричногочетырехполюсника принято таким образом задавать Т- и П- образные схем замещения(рис. 7.6):Рис.

7.6Связь А-параметров с параметрами схем замещения:A11  1 Z Z11для Т-образного; A22 , A12  Z 1 1  1  , A21 2Z 2Z2 4Z 2 A11  1 1 Z1 Z1 A22 , A12  Z 1 , A21 1  для П-образного.Z 2  4Z 2 2Z 2Замечание. При составлении Т- и П-образных схем по заданным A-параметрамвозможны отрицательные значения активных сопротивлений, чтоуказывает наневозможность физической реализации указанных схем замещения с помощью пассивныхэлементов электрической цепи.7.4. Схемы соединения четырехполюсниковОсновными типами соединений четырехполюсников являются каскадное (рис.7.7,а), параллельное (рис. 7.7,б) и последовательное (рис.

7.7,в) соединения.а)б)в)Рис. 7.7При замене каждого из этих соединений эквивалентным четырехполюсником егопараметры могут быть определены как произведение А-параметров ( A  A1  A2 ) прикаскадном, как сумма Y-параметров ( Y  Y1  Y2 ) при параллельном и как сумма Zпараметров ( Z  Z1  Z2 ) при последовательном соединении.Последовательность каскадных соединений называют цепной схемой (рис. 7.8).Рис. 7.8Эквивалентные А-параметры цепи со схемой рис. 7.8, рассматриваемой как одинчетырехполюсник с выводами 1 –1′ и 2 – 2′ определятся как Aö  A1  A2 этомвсе четырехполюсники i=1,2,… n - имеют An .

Если приодинаковые А-параметры, т.е.A1  A2  An  A , то Aц  A  A  A  An . Отдельные четырехполюсники называютзвеньями цепной схемы.7.5. Вторичные параметры четырехполюсникаВторичными параметрами четырехполюсника называются его характеристическиесопротивления Zс1 иZс2 и постоянная передачи Г. Характеристическими называютвходные сопротивления в режимесогласованнойнагрузки, когдавходноесопротивление численно равно нагрузочному: Z1вх = Z2н (при прямом питании) иZ2вх = Z1н (при обратном питании).питании Z1вх Z 2вх U2I2U1I1Z1н  Zc1Z 2н  Zc2A11U 2  A12 I2A21U 2  A22 I2A22U1  A12 I1A21U1  A11 I1Z1н  Zc1В режиме согласованной нагрузкиZ 2н  Zc2при прямомA11Z c2  A12 Z c1 и при обратном питанииA21Z c2  A22A22 Z c1  A12 Z c2 .A21Z c1  A11Для симметричного четырехполюсника Zс1= Zс2 , в режиме согласованной нагрузкидолжно выполняется численное равенство Z1вх приизвестныхА-параметрахявляетсяU1 U 2 Z н .