l12 (Лекции)

6.3. Расчет цепей с несинусоидальными периодическими токами инапряжениямиРасчет линейных цепей при действии периодических несинусоидальных ЭДСпроводится по методу наложения. Представив все ЭДС и токи источников в виде рядовФурье, можно затем произвести расчет цепи отдельно по каждой из гармоник – понулевой гармонике (постоянному току), когда ЭДС и токи источников тока учитываютсятолько их постоянными составляющими, по первой гармонике, когда источникисчитаются синусоидальными с частотой ω и т.д. В результате определяются постоянная игармонические составляющие токов и напряжений цепи, которые затем в соответствии спринципом суперпозиции суммируются. Так, для некоторого тока имеемi(t )  I 0  i (1)  i (2)  i(k )  I 0  i (1)  i (2)  i(N ) ,I0 – постоянная, а i(k), k>1 – гармонические составляющие токаi ( k ) (t )  I km sin(k t  k ) , N – номер гармоники тока, обеспечивающий требуемуюгдеточность его вычисления.

Расчет первой и высших гармоник удобно проводитькомплексным методом, при этом обязательно переводя его результат в вещественную(временную) область, т.к. суммировать гармоники можно только в этой области. Какправило, при решении задач воздействующие функции заданы гармоническим рядом, N число гармоник для расчета определено и операция разложения e(t) и J(t) в ряд Фурьеисключается.При использовании комплексного метода необходимо пересчитывать комплексныесопротивления индуктивного X L(k ) k L  kX L(1)и емкостного X C(k )1X C (1)k Ckэлементов для каждой гармоники k = 1,2,…N. Таким образом, сопротивление резистораR принимается независящим от номера гармоники, индуктивное сопротивление растет повеличине пропорционально номеру k, а емкостное уменьшается обратнопропорционально.

При простоте выражений для комплексных сопротивлений идеальныхконденсаторов и катушек на k-ой гармонике расчет комплексных сопротивлений присоединении элементов требует аккуратности составления аналитических выражений исоответствующих вычислений. На отдельных гармониках комплексные сопротивленияотличаются не только знаками, но величинами, возможны резонансные явления.Действующиезначенияпериодическоготока,напряжения(показаниясоответствующих приборов) находят через действующие значения гармоник ипостоянную составляющую:NI  I 02  I12  I 22  ...

 I N2  I 02   I k2 ,k 1NU  U 02  U12  U 22  ...  U N2  U 02  U k2 ,k 1Показание ваттметра определяют как сумму показаний при действии постоянной ивсех гармонических составляющих тока и напряжения: PW  P0 NP .k 1k6.4. Измерения в цепях периодических токов и напряженийВ зависимости от исполнения прибора (вольтметра или амперметра) и устройства еговходного преобразователя он может показывать действующее значение измеряемойвеличины, ее среднее по модулю значение, усредненным за период положительным(отрицательным) значением и т.д.Магнитоэлектрические приборы показываютпостояннуюсоставляющуюизмеряемойвеличины,электромагнитные,электродинамические, электростатические и тепловые – ее действующее значение.Показания электронных приборов в зависимости от устройства входного преобразователямогут определяться действующим значением измеряемой величины, средним по модулю,максимальным или минимальным значением измеряемой величины.

Прибориндукционной системы и электронный прибор с конденсатором на входе определяетдействующее значение переменной составляющей измеряемой величины.6.5. Мощности в цепях с периодическими несинусоидальными ЭДС,напряжениями и токами.Мгновенную мощность на участке цепи с периодическим током и напряжениемопределяют как произведение мгновенных значений напряжения и тока на этом участке:p(t )  u(t )i(t ) . При этом гармонический состав напряжения и тока может быть разным.Исходя из общего определения, активнаямощность в цепи с периодическиминесинусоидальными токами и напряжениями может быть найдена как средняя за периодT1Т от мгновенной мощности, т.е. P   pdt .

Активная мощность при периодическихT0несинусоидальных токах и напряжениях может быть также определена как суммаактивных мощностей постоянной и всех гармонических составляющих тока инапряжения: P  P0 Pk 1kПолная мощность двухполюсникав рассматриваемых цепях определяется какпроизведение действующих значений: S  UI (U  U )( I   I k2 ) .20k 12k20k 1Активная мощность меньше полной (P < S);исключение – мощность чисторезистивного двухполюсника, для которого P = S. Отношение активной мощности кполной называют коэффициентом мощностиPUIP0   Pkk 1k 1k 1,  1.(U 02  U k2 )( I 02   I k2 )Для цепей с периодическими несинусоидальными токами и напряжениями такжевводится понятие реактивной или обменной мощности.

Общепринятого определенияреактивной мощности для цепей с периодическими несинусоидальными токами инапряжениями не существует. Формально его можно ввести как сумму реактивныхмощностей отдельных гармоникk 1k 1Q   Qk  U k I k sin k .При таком определении реактивной мощности для нее, также как и дляактивной мощности, будет соблюдаться баланс мощностей в цепи, т.е. сумма активныхмощностей всех элементов цепи, как и сумма реактивных мощностей всех элементовцепи будет равна нулю. При этом для каждого отдельного двухполюсного элементаS 2  P 2  Q2 , в отличие от равенства S 2  P 2  Q2 ,синусоидальныхтоковинапряжений.Иногдасправедливого для цепейD  S 2  P 2  Q 2 называютмощностью искажения.

В цепях, токи и напряжения которых близки к синусоидальным(коэффициенты искажения по напряжению и kи 1 и по току kи1),принимаютQ  Q1  U1I1 sin 1 (реактивной мощности первой гармоники). Баланс мощностей приэтом почти сходится. Такая ситуация характерна для электроэнергетики с хорошимкачеством передаваемой электроэнергии.

Реактивную мощность, определенную по первойгармонике, называют реактивной мощностью по Будяну, впервые предложившему такоеопределение и обозначают Q = QB.В цепях, токи и напряжения которых сильно отличаются от синусоидальных,используютдругоеопределениереактивноймощностичащеQ  S  P2 ,22называемой мощностью по Фризе Q = QF . При определении мощности по Фриземгновенный периодический ток i (t ) раскладывают на две составляющие - активную иреактивную i(t )  ia (t )  i p (t ) . Активная составляющая iа (t ) по форме совпадает снапряжением u (t ) и полностью определяет активную мощность элемента.

Реактивнаясоставляющая i р (t ) , дает нулевую мощностьTTTна элементе с напряжением u (t ) . Тогда111P   uidt   uia dt ,ui p dt  0 . Активная и реактивная составляющая можетT0T0T 0 P u , i p  i  ia . Тогда реактивная мощность по2 Uбыть определены по формулам ia  T1 2i p dt .Фризе определяется как: QF  UI p , где I p T 0T1 2ia dt . При этом I a2  I p2  I 2 , S 2  P2  QF2 1.Активная мощность P  UI a , I a T0Существуют и другие определения реактивной мощности для цепей снесинусоидальными токами и напряжениями.

Разложение тока на две составляющиеоказывается очень важным для практики, т.к. представляется возможным компенсацияреактивной мощности через компенсацию реактивной составляющей тока.1NQi 1FiПри этом реактивная мощность по Фризе не дает баланса реактивных мощностей для всей цепи:0.