7-8Линейная алгебра и аналитическая геометрия (Лекции по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия)
Описание файла
Файл "7-8Линейная алгебра и аналитическая геометрия" внутри архива находится в папке "Линейная алгебра и аналитическая геометрия". PDF-файл из архива "Лекции по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Линейная алгебра и аналитическая геометрияКраткий конспект лекций.Лекции 7-8Пространство арифметических векторов RnОпределение. Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел.Обозначается ̅, ,..., , числа , ,..., называются компонентами арифметическоговектора.Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметическихвекторов и умножение вектора на число: ̅, ,..., ,, ,..., , ̅,,...,, ̅,,...,,для любых ̅ и и любого числаОпределение. Множество арифметических векторов, для которых определены операциисложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов Rn.Вектор ̅ 0,0,..., 0называется нулевым вектором, а векторпротивоположным вектором для вектора ̅ .̅,—,...,Для любых ̅ , , ̅из Rn и любых чисел α , β справедливо:1.̅̅ , сложение коммутативно;2.̅̅̅̅, сложение ассоциативно;̅3.̅̅,̅,4.̅̅̅̅, умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;5.6.̅αβ ̅ , умножение на число ассоциативно;7.̅̅̅ , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложениячисел.8.1⋅ ̅̅.Примерами пространства арифметических векторов являются пространства геометрическихвекторов на плоскости, записанных в координатной форме.Линейная зависимость и линейная независимость в RnОпределение.
Линейной комбинацией векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ называется выражение̅ , где коэффициенты линейной комбинации , ,..., — некоторые числа.̅̅...Определение. Говорят, что вектор ̅ пространства Rn линейно выражается через векторы̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов̅ , ̅ ,..., ̅ , т.е. представить в виде ̅̅̅...̅ .Определение. Система ̅ , ̅ ,..., ̅ векторов из Rn называется линейно независимой если из̅ следует равенство нулю всех коэффициентов̅̅...̅0,0,...,0,∑0.Иными словами, линейная комбинация векторов равна нулю тогда и только тогда, когда всекоэффициенты линейной комбинации равны нулю.Определение. Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейнонезависимой.Иными словами, существуют такие коэффициенты линейной комбинации̅.0, что̅̅...̅равные нулю ∑,,...,, не всеИли: линейная комбинация векторов может обратиться в нуль, хотя не все коэффициенты линейнойкомбинации равны нулю.Пример.
Исследуем на линейную зависимость векторы̅1,0,0 , ̅Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулю:̅̅⋅ 1,0,0, ,̅⋅ 0,1,00,0,0 ⇔⋅ 0,0,10,, 0,0, 1,00,0.0,0,0,1,0 ,0,0,1 из R3.Т.е. линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все ее коэффициентынулевые — векторы ,̅ ,̅ линейно независимы.Пример.
Исследуем на линейную зависимость систему векторов ,̅ ̅ ,̅ ̅ и̅ з R3.Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулю:̅̅̅̅̅⋅ 1,0,0,⋅ 1,1,0⋅ 1,1,0̅ 0,0,0 ⇔,00, тогда̅̅̅, 0,00,̅ 0⋅ ̅,,0.1⋅ ̅,,0Пусть,1,1,̅̅1 ⋅ ̅например,̅ , т.е. существует нулевая линейная комбинация с отличными от нуля̅̅коэффициентами — векторы ,̅ ̅ ,̅ ̅ —̅ линейно зависимы.̅̅̅Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем функций1.Любая система векторов, содержащая нулевой вектор линейно зависима.2.Любая система векторов, содержащая пару взаимно противоположных векторов —линейно зависима.3.Любая система векторов, содержащая два равные вектора — линейно зависима.4.Любая подсистема линейно независимой системы векторов — линейно независима.5.Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система— линейно зависима.Докажем первое из этих утверждений: любая система векторов, содержащая нулевойвектор линейно зависима.
Рассмотрим произвольную систему векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ и̅ , т.е.добавим к ней нулевой вектор: ̅ , ̅ ,..., ̅ , ̅ . Тогда : 0 ⋅ ̅ 0 ⋅ ̅ ... 0 ⋅ ̅ 1 ⋅равна нулю линейная комбинация с одним ненулевым коэффициентом — векторылинейно зависимы, ч.т.д.Остальные утверждения доказываются аналогично. Докажите сами.Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системывекторов в RnСправедливо следующее утверждение.Теорема (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системывекторов).
Система ̅ , ̅ ,..., ̅ векторов из Rn линейно зависима тогда и только тогда,когда хотя бы один вектор системы векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ из Rn линейно выражается черезостальные векторы системы.Доказательство теоремы. Необходимость. Дано: векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно зависимы.Докажем, что хотя бы один из них линейно выражается через остальные .Векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно зависимы. Это означает, что существуют такие коэффициенты̅.линейной комбинации , ,..., , не все равные нулю, что̅̅...̅Не умаляя общности, предположим, что именно0.
Тогда из̅̅...̅ следует: ̅̅...̅ — вектор ̅ линейно выражается через ̅ ,..., ̅ .Необходимость доказана.̅Достаточность. Дано: один из векторов системы ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно выражается черезостальные. Докажем, что векторы линейно зависимы.Действительно, не умаляя общности, положим, что вектор ̅ линейно выражается через̅ и векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно̅ ,..., ̅ : ̅̅..̅ . Если все0,2,3,..., , то ̅зависимы (см. св-во 1). Если же среди ,2,3,..., есть хоть одно отличное от нуля число,̅̅..̅— имеем нулевую линейную комбинацию, не все коэффициентыто ̅которой равны нулю — система векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно зависима.
Достаточностьдоказана. Теорема доказана.Базис в Rn. Координаты вектора в заданном базисе. Линейные операции вкоординатной формеОпределение. Система векторов из Rn образует базис в Rn если:система векторов упорядочена;1.2.система векторов линейно независима;любой вектор из Rn линейно выражается через векторы системы.3.Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈nОбразует базис в Rn если любой вектор ̅, ,...,̅ из R может быть представлен в виде̅̅̅...̅ .Определение.
Выражение ̅̅̅...̅ называется разложением вектора вбазисе ̅ , ̅ ,..., ̅ , а числа , ,..., называются координатами вектора ̅ в базисе ̅ , ̅ ,..., ̅ .Пример. Нетрудно доказать, что система арифметических векторов̅1,0,0,..., 0,̅0,1,0,..., 0,0,0,1,..., 0,̅..........................,̅0,0,0,..., 1линейно независима (см. пример с ,̅ ,̅ ) и что для любого ̅ из Rn система векторов̅ , ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно зависима, поскольку любой вектор ̅ линейно выражается черезn̅ , ̅ ,..., ̅ : ̅, ,...,̅̅...̅ . Т.е.
в R существует базис, состоящийиз n векторов. Базис ̅1,0,0,..., 0, ̅0,1,0,..., 0,..., ̅0,0,0,..., 1 называется естественнымnбазисом в R , и компоненты вектора ̅, ,..., — его координаты в естественном базисе.Справедливо следующее утверждение.nТеорема (о единственности разложения вектора в базисе). Для любого вектора ̅ из Rразложение ̅̅̅...̅ вектора в базисе ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ единственно.Доказательство теоремы. «От противного». Пусть не так. Т.е. векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈образуют базис в Rn , помимо разложения ̅̅̅...̅ , существуетразложение ̅̅̅...̅ и не все коэффициенты Ci , Bi совпадают.Тогда ̅̅̅...̅̅̅...̅ , и, следовательно,̅̅̅....̅̅̅...̅ , откуда̅̅...̅Но векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ образуют базис, — они линейно независимы, и, следовательно,...0, т.е.,,...,— все коэффициентыразложений соответственно равны — разложения совпадают. Теорема доказана.Следствие.
Координаты вектора в заданном базисе определяются единственнымобразом.Теорема. В пространстве Rn существует базис из n векторов.Действительно, этот базис — естественный базис ̅1,0,0,..., 0, ̅0,1,0,..., 0,..., ̅0,0,0,..., 1Линейные операции в координатной формеПусть векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ образуют базис в Rn. Тогда для любых двух векторов ̅ ииз Rn однозначно определены разложения ̅̅̅...̅ ,̅̅n...̅ . Тогда из свойств арифметических операций в R следует:̅̅...̅̅...̅̅...̅ идля любого числа : ̅̅...̅̅...̅ .Иными словами, координаты суммы векторов в заданном базисе равны суммесоответствующих координат слагаемых, а координаты произведения вектора на число —произведению соответствующих координат вектора на число.Линейные подпространства в Rn, размерность подпространства, базис вподпространствеОпределение.
Множество L векторов из Rn , такое, что для любых ̅ и из L и любого числа αсправедливо ̅∈ , ̅ ∈ , называется линейным подпространством в Rn.Пример. Множество L арифметических векторов из Rn, у которыхнулевые, образует линейное подпространство в Rn:̅, ,...,,...,̅, 0,, ,...,,0 ∈ , ̅, 0, ̅ , ∈ ,,,...,последние компоненты —,0 ∈ .Нетрудно доказать, что для любого линейного подпространства справедливо:1. если вектор ̅ принадлежит линейному подпространству L, то и вектор̅ принадлежитлинейному подпространству L;2. любое линейное подпространство содержит нулевой элемент.Действительно, пусть ̅ ∈ ,но тогда и̅1 ⋅ ̅ ∈ , и, следовательно, ̅̅̅∈ .nУтверждение. Пространство R само является линейным подпространством в Rn.Это утверждение очевидно, поскольку сумма любых двух векторов из Rn и произведение любоговектора из Rn на любое число принадлежат Rn.Определение. Число k называется размерностью линейного подпространства L, если в Lсуществует система из k линейно независимых векторов, а любые k+1 вектора — линейнозависимы.
Обозначаем dimL=k.Нетрудно доказать следующее утверждение.Теорема. В k-мерном линейном подпространстве существует базис их k векторов.Доказательство теоремы. Действительно, если dimL=k, то существует система из k линейнонезависимых векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ , а любая система из k+1 вектора ̅ , ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ —линейно зависима, но тогда любой вектор ̅ ∈ линейно выражается через векторы :̅̅̅...̅ , т.е. ̅ , ̅ ,..., ̅ — базис в L.Справедливы также следующие утверждения (оставим их без доказательства).Теорема. Любая упорядоченная система из k линейно независимых векторов k-мерного линейногоподпространства является базисом в этом подпространстве.Теорема.